Partialbruchzerlegung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie eine Partialbruchzerlegung abläuft.

Notwendiges Vorwissen

Grundlagen

Eine gebrochenrationale Funktion \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\),
deren Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist,
heißt echt gebrochen (> Echter Bruch).

Beispiel

\[f(x) = \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} \qquad \Rightarrow \quad \text{Zählergrad (2)} < \text{ Nennergrad (3)}\]

Eine gebrochenrationale Funktion \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\),
deren Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist,
heißt unecht gebrochen (> Unechter Bruch).

Beispiel

\[f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 - 29x - 26}{x+3} \qquad \Rightarrow \quad \text{Zählergrad (3)} > \text{ Nennergrad (1)}\]

Jede unecht gebrochenrationale Funktion lässt sich durch Polynomdivision als Summe einer ganzrationalen Funktion
und einer echt gebrochenrationalen Funktion darstellen.

Beispiel

\[f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 - 29x - 26}{x+3} = x^2 - 7x - 8 - \frac{2}{x+3}\]

Partialbruchzerlegung - Schritt für Schritt

Vorgehensweise

  1. Polynomdivision (falls Funktion unecht gebrochen!)
  2. Nullstellen des Nenners berechnen
  3. Jeder Nullstelle ihren Partialbruch zuordnen
  4. Ansatz zur Partialbruchzerlegung aufstellen
  5. Koeffizienten bestimmen

zu 1.)

Falls die gegebene gebrochenrationale Funktion unecht gebrochen ist, führen wir eine Polynomdivision durch. Dabei entsteht eine ganzrationale und eine echt gebrochenrationale Funktion. Letztere lässt sich noch in Partialbrüche zerlegen (siehe Schritt 2 - 5).

zu 2.)

Bei der Berechnung der Nennernullstellen hat man es oft mit einer kubischen Gleichung zu tun. Diese lässt sich mit Hilfe der Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen.

Quadratische Gleichungen lösen wir gewöhnlich mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel. Dabei kann es zu zwei (einfachen) reellen Lösungen, einer (zweifachen) reellen Lösung oder keiner reellen Lösung kommen. Welcher Fall vorliegt, lässt sich bereits an der Diskriminante erkennen.

Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, gibt es keine reelle Lösung. Die Berechnung einer komplexen Lösung (> Komplexe Zahlen) kann man sich allerdings sparen, da in diesem Fall dem quadratischen Term \(x^2 + px + q\) einfach direkt ein Partialbruch zugeordnet wird.

zu 3.)

Jeder Nullstelle des Nenners wird ein Partialbruch in folgender Weise zugeordnet:

a) Reelle Nullstellen

\(x_1\): Einfache Nullstelle       \(\rightarrow\) \(\frac{A}{x - x_1}\)

\(x_1\): Zweifache Nullstelle     \(\rightarrow\) \(\frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}\)

 \(\vdots\)

\(x_1\): \(r\)-fache Nullstelle         \(\rightarrow\) \(\frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + \dots + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}\)

b) Nichtreelle Nullstellen

Einfacher quadratischer Term       \(\rightarrow\) \(\frac{Ax + B}{x^2 + px + q}\)
\((x^2 + px + q)\)

Zweifacher quadratischer Term     \(\rightarrow\) \(\frac{A_{1}x + B_{1}}{x^2 + p_{1}x + q_{1}} + \frac{A_{2}x + B_{2}}{(x^2 + p_{1}x + q_{1})^2}\)
\((x^2 + px + q)^2\)

             \(\vdots\)

\(r\)-facher quadratischer Term         \(\rightarrow\) \(\frac{A_{1}x + B_{1}}{x^2 + p_{1}x + q_{1}} + \frac{A_{2}x + B_{2}}{(x^2 + p_{1}x + q_{1})^2} + \dots + \frac{A_{r}x + B_{r}}{(x^2 + p_{1}x + q_{1})^r}\)
\((x^2 + px + q)^r\)

zu 4.)

Die echt gebrochenrationale Funktion ist als Summe aller Partialbrüche darstellbar.

Beispiel

Führe für die Funktion \(f(x) = \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}\) eine Partialbruchzerlegung durch.

1.) Polynomdivision

Da die Funktion echt gebrochen ist (Zählergrad 2 < Nennergrad 3),
kann man auf eine Polynomdivision verzichten.

2.) Nullstellen des Nenners berechnen

Ansatz: \(x^3 + 3x^2 + 6x + 4 = 0\)

Wir haben es hier mit einer kubischen Gleichung zu tun.

Durch Raten finden wir die Nullstelle \(x_1 = -1\).

Jetzt können wir eine Polynomdivision durchführen:
\((x^3 + 3x^2 + 6x + 4):(x+1) = x^2 + 2x + 4\)

Bei \(x^2 + 2x + 4 = 0\) handelt es sich um eine quadratische Gleichung,
die wir z. B. mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen können.

Wir lösen die quadratische Gleichung mit Hilfe der pq-Formel:

\[x_{2,3} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-4}\]

\[\phantom{x_{1,2}} = -1 \pm \sqrt{-3}\]

Da die Diskriminante kleiner Null ist, besitzt die quadratische Gleichung keine reelle Lösung.

3.) Jeder Nullstelle ihren Partialbruch zuordnen

\(\phantom{x^2 + 2x}-1\): Einfache reelle Nullstelle               \(\rightarrow\) \(\frac{A}{x + 1}\)

\(x^2 + 2x + 4\): Einfacher quadratischer Term       \(\rightarrow\) \(\frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4}\)

4.) Ansatz zur Partialbruchzerlegung aufstellen

\[\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4}\]

Im Folgenden lernen wir ein Verfahren kennen, um die Koeffizienten (\(A\), \(B\), \(C\)) zu bestimmen.

5. Koeffizienten bestimmen (durch Koeffizientenvergleich)

5.1 Brüche gleichnamig machen
5.2 Brüche addieren
5.3 Zähler ausmultiplizieren
5.4 Zähler nach Potenzen von \(x\) zusammenfassen
5.5 Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich aufstellen
5.6 Gleichungssystem lösen
5.7 Lösungen in den Ansatz zur Partialbruchzerlegung einsetzen

5.1) Brüche gleichnamig machen

\[\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A(x^2 + 2x + 4)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(Bx + C)(x+1)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)}\]

5.2) Brüche addieren

\[\phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{A(x^2 + 2x + 4)+(Bx + C)(x+1)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)}\]

5.3) Zähler ausmultiplizieren

\[\phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{Ax^2 + 2Ax + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)}\]

5.4) Zähler nach Potenzen von \(x\) zusammenfassen

\[\phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{Ax^2 + Bx^2 + 2Ax  + Bx + Cx + 4A + C}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)}\]

\[\phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{x^2(A+B) + x(2A+B+C) + (4A + C)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)}\]

5.5) Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich aufstellen

\[\frac{{\color{red}5}x^2 + {\color{green}8}x + {\color{blue}9}}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{x^2({\color{red}A+B}) + x({\color{green}2A+B+C}) + ({\color{blue}4A + C})}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)}\]

\(\begin{align*}
{\color{red}A + B} &= {\color{red}5}\\
{\color{green}2A + B + C} &= {\color{green}8} \quad \Rightarrow \quad\\
{\color{blue}4A + C} &= {\color{blue}9}
\end{align*}\)\(\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 5\\ 2 & 1 & 1 & 8\\ 4 & 0 & 1 & 9 \end{array}\right)\)

5.6) Gleichungssystem lösen

Das Gleichungssystem

\(\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 5\\ 2 & 1 & 1 & 8\\ 4 & 0 & 1 & 9 \end{array}\right)\)

können wir z. B. mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen.

Ergebnis: \(A = 2\), \(B = 3\) und \(C = 1\)

5.7) Lösungen in den Ansatz zur Partialbruchzerlegung einsetzen

Die Lösungen des Gleichungssystems setzen wir in die Formel aus Schritt 4 ein:

\[\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4}\]

\[\phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}}
= \frac{2}{x + 1} + \frac{3x + 1}{x^2 + 2x + 4}\]

Die Partialbruchzerlegung ist damit abgeschlossen!

Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.

  Kriterium
Zählergrad bestimmen Höchste Potenz im Zähler
Nennergrad bestimmen Höchste Potenz im Nenner
Asymptoten berechnen  
> Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
> Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad
                oder
Zählergrad = Nennergrad
> Schiefe Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1
> Asymptotische Kurve Zählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen berechnen \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)
Polstelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\)
Hebbare Definitionslücke \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\)
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion  
Partialbruchzerlegung  

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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