Echter Bruch
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein echter Bruch (eigentlicher Bruch) ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Bruch?
Definition I
In der Schule definiert man einen echten Bruch meist folgendermaßen:
Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner:
$$ \text{Zähler} < \text{Nenner} $$
Veranschaulichung
Echte Brüche veranschaulicht
$$ \text{Zähler} < \text{Nenner} $$
$\Rightarrow$ Weniger als eine ganze Torte (z. B. $\frac{1}{4}$)
Anders formuliert:
Wird ein echter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt, so ist das Ergebnis immer kleiner als 1,0.
Unechte Brüche veranschaulicht
Fall 1
$\text{Zähler} = \text{Nenner}$$\Rightarrow$ Eine ganze Torte (z. B. $\frac{4}{4}$)
Fall 2
$\text{Zähler} > \text{Nenner}$$\Rightarrow$ Mehr als eine ganze Torte (z. B. $\frac{5}{4}$)
Anders formuliert:
Wird ein unechter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt, so ist das Ergebnis immer größer oder gleich 1,0.
Definition II
$-\frac{1}{2}$ oder $-\frac{3}{5}$ sind selbstverständlich auch echte Brüche.
Damit das gilt, müssen wir die Definition umformulieren zu:
Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Betrag des Zählers kleiner ist als der des Nenners:
$$ |\text{Zähler}| < |\text{Nenner}| $$
Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.
Schreibweise
Der Betrag einer Zahl $x$ wird meist mit $|x|$ bezeichnet.
Erklärung
Aus dem Kapitel Brüche wissen wir, dass man $-\frac{1}{2}$ auch als $\frac{-1}{2}$ oder $\frac{1}{-2}$ schreiben kann. Prüfen wir allerdings den Bruch $\frac{1}{-2}$ darauf, ob er nach der schulischen Definition (Zähler < Nenner) ein echter Bruch ist, stellen wir fest: $1 > -2$ - also $\frac{1}{-2}$ ist kein echter Bruch. Dagegen wäre $\frac{-1}{2}$ wegen $-1 < 2$ ein echter Bruch. Ein Ausweg aus diesem Dilemma schafft die Definition über den Betrag, da gilt: $\frac{|1|}{|-2|} = \frac{|-1|}{|2|} = \frac{1}{2}$ und damit $1 < 2$, d. h. bei $\frac{-1}{2}$ und $\frac{1}{-2}$ handelt es sich in beiden Fällen um echte Brüche!
