Betrag
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag einer Zahl ist.
Definition
Der Absolutbetrag (oder einfach Betrag) $\lvert x \rvert$ einer reellen Zahl $x$ entspricht auf der Zahlengerade dem Abstand der Zahl $x$ vom Nullpunkt.
Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt veranschaulichen:
Der Abstand von $-3$ zum Nullpunkt ist $3$.
In mathematischer Schreibweise: $\lvert -3 \rvert = 3$.
Der Abstand von $3$ zum Nullpunkt ist $3$.
In mathematischer Schreibweise: $\lvert 3 \rvert = 3$.
Offenbar gilt:$$ \lvert -3 \rvert = \lvert 3 \rvert $$
Da Abstände nicht negativ sind, gilt
$\lvert x \rvert = x$ für $x \geq 0$
Beispiel: $\lvert 3 \rvert = 3$
$\lvert x \rvert = -x$ für $x < 0$
Beispiel: $\lvert -3 \rvert = -(-3) = 3$
Mit diesem Wissen können wir den Betrag einer reellen Zahl endlich definieren:
Definition des Betrags
$$ \lvert x \rvert = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$
$\lvert x - a \rvert$ ist der Abstand der Zahl $\boldsymbol{x}$ von der Zahl $\boldsymbol{a}$.
$$ \lvert 2 - 5 \rvert = \lvert -3 \rvert = 3 $$
$2$ und $5$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $3$.
$$ \lvert 5 - 2 \rvert = \lvert 3 \rvert = 3 $$
$5$ und $2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $3$.
$$ \lvert -2 - 5 \rvert = \lvert -7 \rvert = 7 $$
$-2$ und $5$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$.
$$ \lvert 5 - (-2) \rvert = \lvert 5 + 2 \rvert = \lvert 7 \rvert = 7 $$
$5$ und $-2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$.
Eigenschaften und Rechenregeln
Für alle $a,b \in \mathbb{R}$ gilt:
$\lvert x \rvert \geq 0$ (Beträge sind nicht negativ!)
$$ \lvert x \rvert = 0 \Leftrightarrow x = 0 $$
$\lvert a \cdot b \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert$
Daraus folgt: $\lvert a^n \rvert = \lvert a \rvert^n$ für $n \in \mathbb{N}$
$\lvert \frac{a}{b} \rvert = \frac{\lvert a \rvert}{\lvert b \rvert}$ für $b \neq 0$
Daraus folgt: $\lvert \frac{1}{a^n} \rvert = \frac{1}{\lvert a \rvert^n}$ für $n \in \mathbb{N}$, $a \neq 0$
$\lvert a+b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$ (Dreiecksungleichung)
Anwendungen
Im Folgenden findest du einige Anwendungen des Betrags:
| Beispiele | |
|---|---|
| Betragsgleichungen | $\lvert x+1 \rvert = 3$ |
| Betragsungleichungen | $\lvert x+1 \rvert < 3$ |
| Betragsfunktion | $y = \lvert x \rvert$ |
