Betrag
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag einer Zahl ist.
Definition
Der Absolutbetrag (oder einfach Betrag) $|x|$ einer reellen Zahl $x$ entspricht auf der Zahlengerade dem Abstand der Zahl $x$ vom Nullpunkt.
Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt veranschaulichen:
Der Abstand von $-3$ zum Nullpunkt ist $3$.
In mathematischer Schreibweise: $|-3| = 3$.
Der Abstand von $3$ zum Nullpunkt ist $3$.
In mathematischer Schreibweise: $|3| = 3$.
Offenbar gilt:$$ |-3| = |3| $$
Da Abstände nicht negativ sind, gilt
$|x| = x$ für $x \geq 0$
Beispiel: $|3| = 3$
$|x| = -x$ für $x < 0$
Beispiel: $|-3| = -(-3) = 3$
Mit diesem Wissen können wir den Betrag einer reellen Zahl endlich definieren:
Definition des Betrags
$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$
$|x - a|$ ist der Abstand der Zahl $\boldsymbol{x}$ von der Zahl $\boldsymbol{a}$.
$$ |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 $$
$5$ und $-2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$.
Eigenschaften und Rechenregeln
Für alle $a,b \in \mathbb{R}$ gilt:
$|x| \geq 0$ (Beträge sind nicht negativ!)
$$ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 $$
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
Daraus folgt: $|a^n| = |a|^n$ für $n \in \mathbb{N}$
$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ für $b \neq 0$
Daraus folgt: $|\frac{1}{a^n}| = \frac{1}{|a|^n}$ für $n \in \mathbb{N}$, $a \neq 0$
$|a+b| \leq |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
Anwendungen
Im Folgenden findest du einige Anwendungen des Betrags:
| Beispiele | |
|---|---|
| Betragsgleichungen | $|x+1| = 3$ |
| Betragsungleichungen | $|x+1| < 3$ |
| Betragsfunktion | $y = |x|$ |
