Betragsungleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Betragsungleichung löst.

Notwendiges Vorwissen: Betrag

Definition des Betrags

\(\begin{equation*}
|a| =
\begin{cases}
a&\text{für \(a \geq 0\)} \\
-a&\text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Beispiel

\(|5| = 5\)

\(|-5| = -(-5) = 5\)

Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.

Betragsungleichung rechnerisch lösen

Im Folgenden schauen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man Betragsungleichungen löst.
Betragsungleichungen lassen sich durch Fallunterscheidung oder durch Quadrieren lösen.

Das Quadrieren hat den Nachteil, dass man dadurch meist die Ungleichung verkompliziert und somit der Lösungsweg länger wird. Die Standardmethode ist deshalb die Fallunterscheidung.

a) Fallunterscheidung

Vorgehensweise

  1. Betrag auflösen durch Fallunterscheidung
  2. Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
  3. Lösungsmenge der Betragsungleichung bestimmen

zu 1.)

Aus der Definition des Betrags

\(\begin{equation*}
|a| =
\begin{cases}
a&\text{für \(a \geq 0\)} \\
-a&\text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

ergeben sich folgende zwei Fälle:

Wenn der Term im Betrag größer oder gleich Null ist (\(a \geq 0\)),
können wir den Term einfach ohne Betragsstriche schreiben (\(|a| = a\)).

Wenn der Term im Betrag kleiner als Null ist \(a < 0\),
müssen wir die Vorzeichen des Terms umdrehen,
um die Betragsstriche weglassen zu können (\(|a| = -a\)).

zu 2.)

Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an.

zu 3.)

Die Lösung der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.

Beispiel

\(|x + 1| < 3\)

1.) Betrag auflösen durch Fallunterscheidung

Aus der Definition des Betrags ergibt sich

\(\begin{equation*}
|x + 1| =
\begin{cases}
x + 1 &\text{für \({\color{green}x + 1 \geq 0}\)} \\
-(x + 1) &\text{für \({\color{red}x + 1 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach \(x\) auf, um zu berechnen, für welches \(x\) der Term im Betrag größer oder gleich Null (1. Fall) bzw. kleiner Null (2. Fall) ist.

1. Fall: \(x + 1 \geq 0\)

\(\begin{align*}
x + 1 &\geq 0 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
x &\geq -1
\end{align*}\)

2. Fall: \(x + 1 < 0\)

\(\begin{align*}
x + 1 &< 0 &&{\color{gray}| -1}\\[5pt]
x &< -1
\end{align*}\)

Zusammenfassend gilt:

\(\begin{equation*}
|x + 1| =
\begin{cases}
x + 1 &\text{für \({\color{green}x \geq -1}\)} \\
-(x + 1) &\text{für \({\color{red}x < -1}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

2.) Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

Fall 1: \(x \geq -1\)

Für \(x \geq -1\) können wir Ungleichung \(|x + 1| < 3\) umschreiben zu

\(x + 1 < 3\)

Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach \(x\) auflösen:

\(x + 1 {\color{gray}\:-\:1} < 3 {\color{gray}\:-\:1}\)

\(x < 2\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_1\) muss
sowohl die Bedingung \(x \geq -1\) (1. Fall) als auch \(x < 2\) (Lösung 1. Fall) erfüllen:
\(\mathbb{L}_1 = [-1;2[\)

Fall 2: \(x < -1\)

Für \(x < -1\) können wir Ungleichung \(|x + 1| < 3\) umschreiben zu

\(-(x + 1) < 3\)

Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach \(x\) auflösen:

\(-x - 1 < 3\)

\(-x - 1 {\color{gray}\:+\:1} < 3 {\color{gray}\:+\:1}\)

\(-x < 4\)

\(-x {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} > 4 {\color{gray}\:\cdot\:(-1)}\)

\(x > -4\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_2\) muss
sowohl die Bedingung \(x < -1\) (2. Fall) als auch \(x > -4\) (Lösung 2. Fall) erfüllen:
\(\mathbb{L}_2 = \; ]-4;-1[\)

3.) Lösungsmenge der Betragsungleichung bestimmen

\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_2 \cup \mathbb{L}_1 = \; ]-4;-1[ \: \cup \: [-1;2[ \; = \; ]-4;2[\)

b) Quadrieren

Vorgehensweise

  1. Ungleichung quadrieren
  2. Ungleichung lösen

zu 1.)

Durch Quadrieren verschwindet der Betrag, denn es gilt: \(|a|^2 = a^2\).

Beispiel

\(|x + 1| < 3\)

1.) Ungleichung quadrieren

\(\begin{align*}
|x + 1| &< 3 &&{\color{gray}| \phantom{x}^2}\\[5pt]
|x + 1|^2 &< 3^2\\[5pt]
(x+1)^2 &< 3^2\\[5pt]
x^2 + 2x + 1 &< 9
\end{align*}\)

2.) Ungleichung lösen

Bei \(x^2 + 2x + 1 < 9\) handelt es sich um eine quadratische Ungleichung.

2.1) Quadratische Gleichung lösen

\(\begin{align*}
x^2 + 2x + 1 &< 9 &&{\color{gray}| -9}\\[5pt]
x^2 + 2x - 8 &< 0
\end{align*}\)

Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2 + 2x - 8 = 0\) sind:
\(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\)

2.2) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

Die möglichen Lösungsintervalle der quadratischen Ungleichung \(x^2 + 2x - 8 < 0\) sind:
\(\mathbb{L}_1 = ]-\infty;-4[\), \(\mathbb{L}_2 = ]-4;2[\) und \(\mathbb{L}_3 = ]2;\infty[\)

2.3) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Durch Einsetzen von Werten überprüfen wir, welche Intervalle zur Lösung gehören.

Aus dem 1. Intervall \(\mathbb{L}_1 = ]-\infty;-4[\) setzen wir \({\color{maroon}-5}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 + 2x - 8 < 0\)
\(({\color{maroon}-5})^2 + 2 \cdot ({\color{maroon}-5}) - 8 < 0 \qquad \rightarrow 7 < 0 \quad{\color{red}\times}\)

Aus dem 2. Intervall \(\mathbb{L}_2 = ]-4;2[\) setzen wir \({\color{maroon}0}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 + 2x - 8 < 0\)
\({\color{maroon}0}^2 + 2 \cdot {\color{maroon}0} - 8 < 0 \qquad \rightarrow -8 < 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 3. Intervall \(\mathbb{L}_3 = ]2;\infty[\) setzen wir \({\color{maroon}3}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2 + 2x - 8 < 0\)
\({\color{maroon}3}^2 + 2 \cdot {\color{maroon}3} - 8 < 0 \qquad \rightarrow 7 < 0 \quad{\color{red}\times}\)

Zusammenfassend gilt:

Die quadratische Ungleichung \(x^2 + 2x - 8 < 0\) ist nur für \(-4 < x < 2\) erfüllt.
\(\Rightarrow \mathbb{L} = \; ]-4;2[\)

Betragsungleichung graphisch lösen

Die Betragsungleichung \(|x + 1| < 3\), die wir im obigen Abschnitt rechnerisch gelöst haben, können wir auch graphisch lösen. Dazu interpretieren wir die linke und die rechte Seite der Gleichung als Funktionen. Deren Funktionsgraphen zeichnen wir in ein Koordinatensystem.
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind die Intervallgrenzen des Lösungsintervalls.

Zunächst zeichnen wir die linke Seite der Ungleichung ohne Betragsstriche ein.

\(f(x) = x+1\) ist eine lineare Funktion.

Den Graphen der Betragsfunktion \(|f(x)| = |x+1|\) erhält man, indem man alles, was unterhalb der x-Achse liegt (gestrichelte Linie) an der x-Achse spiegelt.

Bei der rechten Seite der Ungleichung (\(g(x) = 3\)) handelt es sich um eine konstante Funktion. Diese wurde in rot eingezeichnet.

Da die Betragsungleichung \(|x + 1| < 3\) lautet, ist für das Lösungsintervall alles, was größer 3 ist, irrelevant (gestrichelte Linie).

Das Lösungsintervall lautet dementsprechend \(\mathbb{L} = ]-4;2[\)

Hätte man es mit der Ungleichung \(|x + 1| \leq 3\) zu tun, wäre das Lösungsintervall \(\mathbb{L} = [-4;2]\). Die Randlösungen wären also in der Lösungsmenge enthalten.

Betragsungleichungen mit mehreren Beträgen

Beispiel 1

\(|x+3| + |x+4| - 9 < 0\)

Es handelt es sich um eine Betragsungleichung mit zwei Beträgen.

Wir lösen die Ungleichung durch Fallunterscheidung.

1.) Betrag auflösen durch Fallunterscheidung

Zunächst lösen wir den ersten Betrag auf:

\(\begin{equation*}
|x+3| + |x+4| - 9 =
\begin{cases}
x+3 + |x+4| - 9 &\text{für \({\color{green}x + 3 \geq 0}\)} \\
-(x+3) + |x+4| - 9 &\text{für \({\color{red}x + 3 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach \(x\) auf, um zu berechnen,
für welches \(x\) der Term im Betrag größer oder gleich Null bzw. kleiner Null ist:

\(\begin{equation*}
|x+3| + |x+4| - 9 =
\begin{cases}
{\color{green}x+3 + |x+4| - 9} &\text{für \({\color{green}x \geq -3}\quad\)}{\color{orange}\text{Fall 1}} \\
{\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} &\text{für \({\color{red}x < -3\quad}\)}{\color{orange}\text{Fall 2}}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Da noch ein Betrag übrig ist, müssen wir beide Fälle noch einmal unterteilen:

\({\color{orange}\text{Fall 1}}\)

\(\begin{equation*}
{\color{green}x+3 + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
x+3 + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x+4 \geq 0}\)} \\
x+3 -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x+4 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wir lösen die Bedingungen nach \(x\) auf

\(\begin{equation*}
{\color{green}x+3 + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
x+3 + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x \geq -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 1a}} \\
x+3 -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x < -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 1b}}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\({\color{orange}\text{Fall 2}}\)

\(\begin{equation*}
{\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
-(x+3) + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x+4 \geq 0}\)} \\
-(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x+4 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Wir lösen die Bedingungen nach \(x\) auf

\(\begin{equation*}
{\color{red}-(x+3) + |x+4| - 9} =
\begin{cases}
-(x+3) + x+4 - 9 &\text{für \({\color{green}x \geq -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 2a}} \\
-(x+3) -(x+4) - 9 &\text{für \({\color{red}x < -4}\quad\)}{\color{#ff8000}\text{Fall 2b}}
\end{cases}
\end{equation*}\)

2.) Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

\({\color{#ff8000}\text{Fall 1a}}\)

Für \({\color{green}x \geq -3}\) (Fall 1) und \({\color{green}x \geq -4}\) (Fall 1a) gilt:

\(\begin{align*}
x+3 + x+4 - 9 &< 0\\[5pt]
2x - 2 &< 0 &&{\color{gray}|+2}\\[5pt]
2x &< 2 &&{\color{gray}|:2}\\[5pt]
x &< 1
\end{align*}\)

Das Lösungsintervall \(\mathbb{L}_{1a}\) muss folgende Bedinungen erfüllen

\(x \geq -3\) (Fall 1)
\(x \geq -4\) (Fall 1a)
\(x < 1\) (Lösung Fall 1a)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{1a} = [-3;1[\)

\({\color{#ff8000}\text{Fall 1b}}\)

Für \({\color{green}x \geq -3}\) (Fall 1) und \({\color{red}x < -4}\) (Fall 1b) gilt:

\(\begin{align*}
x+3 -(x+4) - 9 &< 0\\[5pt]
x + 3 - x - 4 - 9 &< 0\\[5pt]
-10 &<0
\end{align*}\)

Das Lösungsintervall \(\mathbb{L}_{1b}\) muss folgende Bedinungen erfüllen

\(x \geq -3\) (Fall 1)
\(x < -4\) (Fall 1b)
\(-10 < 0\) (Lösung Fall 1b) [Muss nicht beachtet werden, da immer gültig.]

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{1b} = \{\}\)

\({\color{#ff8000}\text{Fall 2a}}\)

Für \({\color{red}x < -3}\) (Fall 2) und \({\color{green}x \geq -4}\) (Fall 2a) gilt:

\(\begin{align*}
-(x+3) + x+4 - 9 &< 0\\[5pt]
-x - 3 + x + 4 - 9 &< 0\\[5pt]
-8 < 0
\end{align*}\)

Das Lösungsintervall \(\mathbb{L}_{2a}\) muss folgende Bedinungen erfüllen

\(x < -3\) (Fall 2)
\(x \geq -4\) (Fall 2a)
\(-8 < 0\) (Lösung Fall 2a) [Muss nicht beachtet werden, da immer gültig.]

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{2a} = [-4;-3[\)

\({\color{#ff8000}\text{Fall 2b}}\)

Für \({\color{red}x < -3}\) (Fall 1) und \({\color{red}x < -4}\) (Fall 2b) gilt:

\(\begin{align*}
-(x+3) -(x+4) - 9 &< 0\\[5pt]
-x - 3 -x - 4 - 9 &< 0\\[5pt]
-2x - 16 &< 0 &&{\color{gray}|+16}\\[5pt]
-2x &< 16 &&{\color{gray}|:(-2)}\\[5pt]
x &> -8
\end{align*}\)

Das Lösungsintervall \(\mathbb{L}_{2b}\) muss folgende Bedinungen erfüllen

\(x < -3\) (Fall 2)
\(x < -4\) (Fall 2b)
\(x > -8\) (Lösung Fall 2b)

\(\Rightarrow \mathbb{L}_{2b} = \; ]-8;-4[\)

3.) Lösungsmenge der Betragsungleichung bestimmen

\(\begin{align*}
\mathbb{L}
&= \mathbb{L}_{1a} \; \cup \; \mathbb{L}_{1b} \; \cup \; \mathbb{L}_{2a} \; \cup \; \mathbb{L}_{2b}\\[5pt]
&= [-3;1[ \;\cup\; \{\} \cup [-4;-3[ \;\cup\; ]-8;-4[\\[5pt]
&= \; ]-8;-4[ \;\cup\; [-4;-3[ \;\cup\; [-3;1[\\[5pt]
&= \; ]-8;1[
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(|x-1|<|x-3|\)

Es handelt es sich um eine Betragsungleichung mit zwei Beträgen.

In diesem Fall ist es einfacher die Ungleichung zu quadrieren:

1.) Ungleichung quadrieren

\(\begin{align*}
|x-1| &< |x-3| &&{\color{gray}| \phantom{x}^2}\\[5pt]
|x-1|^2 &< |x-3|^2\\[5pt]
x^2 - 2x + 1 &< x^2 - 6x + 9
\end{align*}\)

2.) Ungleichung lösen

\(\begin{align*}
x^2 - 2x + 1 &< x^2 - 6x + 9 &&{\color{gray}| -x^2+6x-9}\\[5pt]
4x - 8 &< 0
\end{align*}\)

Bei \(4x - 8 < 0\) handelt es sich um eine lineare Ungleichung.

\(\begin{align*}
4x - 8 &< 0 &&{\color{gray}| +8}\\[5pt]
4x &< 8 &&{\color{gray}| :4}\\[5pt]
x &< 2
\end{align*}\)

\(\Rightarrow \mathbb{L} = \; ]-\infty;2[\)

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)
Andreas Schneider

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