Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Ungleichungen mit zwei Variablen sind und wie man sie löst.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Ungleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen in eine der Formen

  • $ax + by + c < 0$
  • $ax + by + c > 0$
  • $ax + by + c \leq 0$
  • $ax + by + c \geq 0$

bringen lässt, heißt lineare Ungleichung mit zwei Variablen.

Tipp: Wir können lineare Ungleichungen mit zwei Variablen daran erkennen, dass die Variablen nur in der 1. Potenz auftreten – also weder $x^2$, $x^3$, … noch $y^2$, $y^3$, … enthalten.

Beispiel 1 

$$ x - y < 8 $$

Beispiel 2 

$$ 7x + 5y \geq 3x - 4 $$

Beispiel 3 

$$ x - 3 \leq 3 (y-1) + 5 $$

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen lösen 

Ungleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen

Lösung graphisch ermitteln

zu 2)

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.

Geschlossene Halbebene 

Beispiel 4 

Gegeben ist folgende lineare Ungleichung

$$ 5x + 2y \geq 10 $$

Ungleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$$ 5x + 2y \geq 10 $$

$$ 5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y \geq 10 {\color{red}\:-\:5x} $$

$$ 2y \geq 10 - 5x $$

$$ \frac{2y}{{\color{red}2}} \geq \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}} $$

$$ y \geq 5 - 2{,}5x $$

$$ y \geq - 2{,}5x + 5 $$

Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen

Im zweiten Schritt interpretieren wir die lineare Ungleichung als Geradengleichung

$$ y = - 2{,}5x + 5 $$

und zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein:

Lösung graphisch ermitteln

Die eingezeichnete Gerade teilt das Koordinatensystem in zwei Halbebenen. Die Gerade selbst heißt in diesem Zusammenhang Randgerade, da sie den Rand der Halbebenen markiert.

Zur Lösungsmenge der linearen Ungleichung gehört wegen dem $\geq$ (Größergleichzeichen) alles oberhalb der (Rand-)Gerade sowie die Gerade selbst (durchgezogene Linie!).

Abb. 1 

Es handelt sich um eine geschlossene Halbebene, wenn die Lösung die Punkte der Randgerade enthält (im Graph an der durchgezogenen Linie zu erkennen). Dies ist bei einer Ungleichung mit $\leq$ (Kleinergleichzeichen) oder $\geq$ (Größergleichzeichen) der Fall.

Offene Halbebene 

Beispiel 5 

Gegeben ist folgende lineare Ungleichung

$$ 5x + 2y < 10 $$

Ungleichung nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$$ 5x + 2y < 10 $$

$$ 5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y < 10 {\color{red}\:-\:5x} $$

$$ 2y < 10 - 5x $$

$$ \frac{2y}{{\color{red}2}} < \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}} $$

$$ y < 5 - 2{,}5x $$

$$ y < - 2{,}5x + 5 $$

Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen

Im zweiten Schritt interpretieren wir die lineare Ungleichung als Geradengleichung

$$ y = - 2{,}5x + 5 $$

und zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein:

Lösung graphisch ermitteln

Die eingezeichnete Gerade teilt das Koordinatensystem in zwei Halbebenen. Die Gerade selbst heißt in diesem Zusammenhang Randgerade, da sie den Rand der Halbebenen markiert.

Zur Lösungsmenge der linearen Ungleichung gehört wegen dem $<$ (Kleinerzeichen) alles unterhalb der (Rand-)Gerade. Die Gerade selbst gehört nicht zur Lösungsmenge (gestrichelte Linie!).

Abb. 2 

Es handelt sich um eine offene Halbebene, wenn die Lösung die Punkte der Randgerade nicht enthält (im Graph an der gestrichelten Linie zu erkennen). Dies ist bei einer Ungleichung mit $<$ (Kleinerzeichen) oder $>$ (Größerzeichen) der Fall.

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern