Lineare Ungleichungen
mit zwei Variablen

In diesem Kapitel lernst du, wie man lineare Ungleichungen (mit zwei Variablen) löst.

Bei einer linearen Ungleichung handelt es sich um eine Ungleichung ersten Grades. "Erster Grad" bedeutet, dass die Variablen (hier: \(x\) bzw. \(y\)) lediglich in einfacher Ausführung vorkommen - also nicht potenziert (z.B. \(x^2\) oder \(y^3\))..

Beispiele für lineare Ungleichungen mit zwei Variablen

\(x - y < 8\)

\(7x + 5y \geq 3x - 4\)

\(x - 3 \leq 3 (y-1) + 5\)

Normalformen linearer Ungleichungen mit zwei Variablen

  • \(ax + by < c\)
  • \(ax + by > c\)
  • \(ax + by \leq c\)
  • \(ax + by \geq c\)

Jede lineare Ungleichung mit zwei Variablen lässt sich in eine der obigen Darstellungen umformen. Diese Darstellungen bezeichnet man deshalb auch als die "Normalformen linearer Ungleichungen mit zwei Variablen".

Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen lösen

Vorgehensweise

  1. Ungleichung nach \(y\) auflösen
  2. Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen
  3. Lösung graphisch ermitteln

zu 2.)

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.

a) Geschlossene Halbebene

Gegeben ist folgende lineare Ungleichung

\(5x + 2y \geq 10\)

1.) Ungleichung nach \(y\) auflösen

\(5x + 2y \geq 10\)

\(5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y \geq 10 {\color{red}\:-\:5x}\)

\(2y \geq 10 - 5x\)

\[\frac{2y}{{\color{red}2}} \geq \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}}\]

\(y \geq 5 - 2,5x\)

\(y \geq - 2,5x + 5\)

2.) Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen

Im zweiten Schritt interpretieren wir die lineare Ungleichung als Geradengleichung

\(y = - 2,5x + 5\)

und zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein:

Die eingezeichnete Gerade teilt das Koordinatensystem in zwei Halbebenen. Die Gerade selbst heißt in diesem Zusammenhang Randgerade, da sie den Rand der Halbebenen markiert.

Zur Lösungsmenge der linearen Ungleichung gehört wegen dem \(\geq\) (Größergleichzeichen) alles oberhalb der (Rand-)Geraden sowie die Gerade selbst (durchgezogene Linie!).

Es handelt sich um eine geschlossene Halbebene, wenn die Lösung die Punkte der Randgeraden enthält (im Graph an der durchgezogenen Linie zu erkennen). Dies ist bei einer Ungleichung mit \(\leq\) (Kleinergleichzeichen) oder \(\geq\) (Größergleichzeichen) der Fall.

b) Offene Halbebene

Gegeben ist folgende lineare Ungleichung

\(5x + 2y < 10\)

1.) Ungleichung nach \(y\) auflösen

\(5x + 2y < 10\)

\(5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y < 10 {\color{red}\:-\:5x}\)

\(2y < 10 - 5x\)

\[\frac{2y}{{\color{red}2}} < \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}}\]

\(y < 5 - 2,5x\)

\(y < - 2,5x + 5\)

2.) Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen

Im zweiten Schritt interpretieren wir die lineare Ungleichung als Geradengleichung

\(y = - 2,5x + 5\)

und zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein:

Die eingezeichnete Gerade teilt das Koordinatensystem in zwei Halbebenen. Die Gerade selbst heißt in diesem Zusammenhang Randgerade, da sie den Rand der Halbebenen markiert.

Zur Lösungsmenge der linearen Ungleichung gehört wegen dem \(<\) (Kleinerzeichen) alles unterhalb der (Rand-)Geraden. Die Gerade selbst gehört nicht zur Lösungsmenge (gestrichelte Linie!).

Es handelt sich um eine offene Halbebene, wenn die Lösung die Punkte der Randgeraden nicht enthält (im Graph an der gestrichelten Linie zu erkennen). Dies ist bei einer Ungleichung mit \(<\) (Kleinerzeichen) oder \(>\) (Größerzeichen) der Fall.

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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