Ungleichungen

Dieser Artikel soll einen ersten Einblick in das Thema Ungleichungen gegeben.
Was sind Ungleichungen, wie sehen sie aus und welche Typen gibt es?

Wiederholung: Was sind Gleichungen?

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme.
Gleichungen sind am Gleichheitszeichen ("\(=\)") zu erkennen.

Beispiele

\(3 = 3\)

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(y = x^2 - 5 \)

Was sind Ungleichungen?

Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichzeichen
\(<\) (Kleinerzeichen),
\(\leq\) (Kleinergleichzeichen),
\(>\) (Größerzeichen) oder
\(\geq\) (Größergleichzeichen)
verbunden sind.

Beispiele

\(3 < 4\)

\(x \geq 3,75\)

\((a+b) > (c+d)\)

Ungleichungen dienen der Formulierung und Untersuchung von Größenvergleichen.

Ungleichungen und Vergleichszeichen

  Ungleichung richtig aussprechen Bedeutung
\(a < b\) "a kleiner b" a ist kleiner als b.
\(a \leq b\) "a kleiner gleich b" a ist kleiner oder gleich b.
\(a > b\) "a größer b" a ist größer als b.
\(a \geq b\) "a größer gleich b" a ist größer oder gleich b.

Merkhilfe: Der "Winkelhaken" ist immer nach der größeren Seite hin geöffnet. In der Grundschule stellt man sich diesen "Winkelhaken" auch als Krokodilmaul vor und da das Krokodil schlau ist, frisst es immer den größeren Teil.

Ungleichungen: Eigenschaften

  1. \(a \leq a\) (Reflexivität)

  2. Ist \(a > b\) und \(b > c\), dann ist \(a > c\) (Transitivität)
    Die anderen Rechenzeichen sind ebenfalls transitiv.

  3. Ist \(a \leq b\) und \(b \leq a\), dann gilt \(a = b\) (Antisymmetrie)

Ungleichungen: Rechenregeln

  • Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden
    \(a < b \quad \longleftrightarrow \quad b > a\)

  • Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden
    \(a \leq b \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+c\)

  • Zwei gleichgerichtete Ungleichungen dürfen addiert werden
    \(a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+d\)
    \(a < b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c < b+d\)

  • Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen (!) Zahl multipliziert werden
    \(a \leq b \quad\text{und}\quad c \geq 0 \quad \Rightarrow \quad ac \leq bc\)

  • WICHTIG:
    Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (oder dividiert),
    so dreht sich das Ungleichheitszeichen um
    \(a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq 0 \quad \Rightarrow \quad ac \geq bc\)

  • Wenn die Seiten der Ungleichung entweder beide positiv oder beide negativ sind, gilt:
    Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert,
    so dreht sich das Ungleichheitszeichen um
    \[a \leq b \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\]

Ungleichungen lösen

Enthält eine Ungleichung eine (oder mehrere) Unbekannte, so bezeichnet man die Suche nach einer Lösung für die Unbekannte auch als das "Lösen von Ungleichungen".

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Jetzt mit einer positiven Bewertung bedanken!

Kundenbewertungen & Erfahrungen zu Mathebibel. Mehr Infos anzeigen.
Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

Wenn du einen Fehler gefunden hast, würde ich mich freuen, wenn du mir Bescheid gibst.