Lineare Ungleichungssysteme
mit zwei Variablen

In diesem Kapitel lernst du, wie man lineare Ungleichungssysteme (mit zwei Variablen) löst.

Notwendiges Vorwissen

Es werden Kenntnisse aus dem vorangegangenen Artikel "Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen lösen" als bekannt vorausgesetzt. Du solltest wissen, worum es sich bei einer Randgeraden handelt und wie sich eine abgeschlossene Halbebene von einer offenen Halbebene unterscheidet.

Vorgehensweise

  1. Ungleichungen nach \(y\) auflösen
  2. Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

zu 2.)

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.

Beispiel 1

Gegeben ist das folgende lineare Ungleichungssystem

\(\begin{align*}
5x + 2y &\geq 10 \\
x + 2y &\leq 4
\end{align*}\)

1.) Ungleichungen nach \(y\) auflösen

Ungleichung 1

\(5x + 2y \geq 10\)

\(5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y \geq 10 {\color{red}\:-\:5x}\)

\(2y \geq 10 - 5x\)

\[\frac{2y}{{\color{red}2}} \geq \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}}\]

\(y \geq 5 - 2,5x\)

\(y \geq - 2,5x + 5\)

Ungleichung 2

\(x + 2y \leq 4\)

\(x {\color{red}\:-\:x} + 2y \leq 4 {\color{red}\:-\:x}\)

\(2y \leq 4 - x\)

\[\frac{2y}{{\color{red}2}} \leq \frac{4}{{\color{red}2}} - \frac{x}{{\color{red}2}}\]

\(y \leq 2 - 0,5x\)

\(y \leq -0,5x + 2\)

2.) Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Im zweiten Schritt interpretieren wir die linearen Ungleichungen als Geradengleichungen

\(y = - 2,5x + 5\)

\(y = -0,5x + 2\)

und zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein:

Im Koordinatensystem ist erste Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.

Wegen dem \(\geq\) (Größergleichzeichen) gehört auch die Randgerade zur Lösungsmenge, was an der durchgezogenen Linie zu erkennen ist.

Im Koordinatensystem ist zweite Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.

Wegen dem \(\leq\) (Kleinergleichzeichen) gehört auch die Randgerade zur Lösungsmenge, was an der durchgezogenen Linie zu erkennen ist.

Im Koordinatensystem sind beide Geraden mit ihren jeweiligen Lösungsmengen eingezeichnet.

Die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden individuellen Lösungen: \(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2\). Die Randgeraden, die die Lösungsmenge umschließen, gehören in diesem Fall auch noch zur Lösung.

Beispiel 2

Gegeben ist das folgende lineare Ungleichung

\(\begin{align*}
5x + 2y &< 10\\
-x + 4y &< 4
\end{align*}\)

1.) Ungleichungen nach \(y\) auflösen

Ungleichung 1

\(5x + 2y < 10\)

\(5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y < 10 {\color{red}\:-\:5x}\)

\(2y < 10 - 5x\)

\[\frac{2y}{{\color{red}2}} < \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}}\]

\(y < 5 - 2,5x\)

\(y < - 2,5x + 5\)

Ungleichung 2

\(-x + 4y < 4\)

\(-x {\color{red}\:+\:x} + 4y < 4 {\color{red}\:+\:x}\)

\(4y < 4 + x\)

\[\frac{4y}{{\color{red}4}} < \frac{4}{{\color{red}4}} + \frac{x}{{\color{red}4}}\]

\(y < 1 + 0,25x\)

\(y < 0,25x + 1\)

2.) Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Im zweiten Schritt interpretieren wir die linearen Ungleichungen als Geradengleichungen

\(y = - 2,5x + 5\)

\(y = 0,25x + 1\)

und zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein:

Im Koordinatensystem ist erste Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.

Wegen dem \(<\) (Kleinerzeichen) gehört die Randgerade nicht zur Lösungsmenge, was an der gestrichelten Linie zu erkennen ist.

Im Koordinatensystem ist zweite Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.

Wegen dem \(<\) (Kleinerzeichen) gehört die Randgerade nicht zur Lösungsmenge, was an der gestrichelten Linie zu erkennen ist.

Im Koordinatensystem sind beide Geraden mit ihren jeweiligen Lösungsmengen eingezeichnet.

Die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden individuellen Lösungen: \(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2\). Die Randgeraden, die die Lösungsmenge umschließen, gehören in diesem Fall nicht zur Lösung.

PS: Bei linearen Ungleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen geht man genauso vor!

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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