Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen
In diesem Kapitel lernst du, wie man lineare Ungleichungssysteme (mit zwei Variablen) löst.
Erforderliches Vorwissen
Anleitung
Lineare Ungleichungen nach $\boldsymbol{y}$ auflösen
Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
zu 2)
Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.
Beispiele
In den folgenden beiden Beispielen beschränken wir uns der Einfachheit halber auf lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen. Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen und mehr als zwei Gleichungen werden aber genauso gelöst.
Gegeben ist das folgende lineare Ungleichungssystem
$$ \begin{align*} 5x + 2y &\geq 10 \\ x + 2y &\leq 4 \end{align*} $$
Lineare Ungleichungen nach $\boldsymbol{y}$ auflösen
Ungleichung 1
$$ 5x + 2y \geq 10 $$
$$ 5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y \geq 10 {\color{red}\:-\:5x} $$
$$ 2y \geq 10 - 5x $$
$$ \frac{2y}{{\color{red}2}} \geq \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}} $$
$$ y \geq 5 - 2{,}5x $$
$$ y \geq - 2{,}5x + 5 $$
Ungleichung 2
$$ x + 2y \leq 4 $$
$$ x {\color{red}\:-\:x} + 2y \leq 4 {\color{red}\:-\:x} $$
$$ 2y \leq 4 - x $$
$$ \frac{2y}{{\color{red}2}} \leq \frac{4}{{\color{red}2}} - \frac{x}{{\color{red}2}} $$
$$ y \leq 2 - 0{,}5x $$
$$ y \leq -0{,}5x + 2 $$
Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
Wir tauschen die Relationszeichen durch Gleichheitszeichen aus:
$$ y = - 2{,}5x + 5 $$
$$ y = -0{,}5x + 2 $$
Dadurch erhalten wir zwei Geradengleichungen, die wir in ein Koordinatensystem einzeichnen können:
Im Koordinatensystem ist erste Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.
Wegen dem $\geq$ (Größergleichzeichen) gehört auch die Randgerade zur Lösungsmenge, was an der durchgezogenen Linie zu erkennen ist.
Im Koordinatensystem ist zweite Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.
Wegen dem $\leq$ (Kleinergleichzeichen) gehört auch die Randgerade zur Lösungsmenge, was an der durchgezogenen Linie zu erkennen ist.
Im Koordinatensystem sind beide Geraden mit ihren jeweiligen Lösungsmengen eingezeichnet.
Die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden individuellen Lösungen: $\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2$. Die Randgeraden, die die Lösungsmenge umschließen, gehören in diesem Fall auch noch zur Lösung.
Gegeben ist das folgende lineare Ungleichung
$$ \begin{align*} 5x + 2y &< 10 \\ -x + 4y &< 4 \end{align*} $$
Lineare Ungleichungen nach $\boldsymbol{y}$ auflösen
Ungleichung 1
$$ 5x + 2y < 10 $$
$$ 5x {\color{red}\:-\:5x} + 2y < 10 {\color{red}\:-\:5x} $$
$$ 2y < 10 - 5x $$
$$ \frac{2y}{{\color{red}2}} < \frac{10}{{\color{red}2}} - \frac{5x}{{\color{red}2}} $$
$$ y < 5 - 2{,}5x $$
$$ y < - 2{,}5x + 5 $$
Ungleichung 2
$$ -x + 4y < 4 $$
$$ -x {\color{red}\:+\:x} + 4y < 4 {\color{red}\:+\:x} $$
$$ 4y < 4 + x $$
$$ \frac{4y}{{\color{red}4}} < \frac{4}{{\color{red}4}} + \frac{x}{{\color{red}4}} $$
$$ y < 1 + 0{,}25x $$
$$ y < 0{,}25x + 1 $$
Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
Wir tauschen die Relationszeichen durch Gleichheitszeichen aus:
$$ y = - 2{,}5x + 5 $$
$$ y = 0{,}25x + 1 $$
Dadurch erhalten wir zwei Geradengleichungen, die wir in ein Koordinatensystem einzeichnen können:
Im Koordinatensystem ist erste Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.
Wegen dem $<$ (Kleinerzeichen) gehört die Randgerade nicht zur Lösungsmenge, was an der gestrichelten Linie zu erkennen ist.
Im Koordinatensystem ist zweite Gerade eingezeichnet. Die Lösungsmenge (Halbebene) der Ungleichung ist farblich hervorgehoben.
Wegen dem $<$ (Kleinerzeichen) gehört die Randgerade nicht zur Lösungsmenge, was an der gestrichelten Linie zu erkennen ist.
Im Koordinatensystem sind beide Geraden mit ihren jeweiligen Lösungsmengen eingezeichnet.
Die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden individuellen Lösungen: $\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2$. Die Randgeraden, die die Lösungsmenge umschließen, gehören in diesem Fall nicht zur Lösung.
