Lineare Ungleichungen

In diesem Kapitel lernst du, wie man lineare Ungleichungen (mit einer Variablen) löst.

Bei einer linearen Ungleichung handelt es sich um eine Ungleichung ersten Grades.
"Erster Grad" bedeutet, dass die Variable \(x\) lediglich in einfacher Ausführung vorkommt
- also nicht potenziert (z.B. \(x^2\)).

Beispiele für lineare Ungleichungen

\(x - 5 < 8\)

\(7x + 5 \geq 3x - 4\)

\(x - 3 \leq 3 (x-1) + 5\)

Normalformen linearer Ungleichungen

  • \(ax + b < 0\)
  • \(ax + b > 0\)
  • \(ax + b \leq 0\)
  • \(ax + b \geq 0\)

Jede lineare Ungleichung lässt sich in eine der obigen Darstellungen umformen. Diese Darstellungen bezeichnet man deshalb auch als die "Normalformen linearer Ungleichungen".

Lineare Ungleichungen lösen

Vorgehensweise

  1. Ungleichung nach \(x\) auflösen

...dazu dürfen wir:

  • auf beiden Seiten der Ungleichung eine Zahl addieren/subtrahieren
  • beide Seiten der Ungleichung mit einer Zahl multiplizieren bzw. durch eine Zahl dividieren
    Wichtig: Multipliziert/dividiert man die Ungleichung mit einer negativen Zahl,
                   dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

Beispiel 1

\(x - 5 < 8\)

1.) Ungleichung nach \(x\) auflösen

\(x - 5 < 8\)

\(x -5 {\color{red}\:+\:5} < 8 {\color{red}\:+\:5}\)

\(x < 13\)

In Intervallschreibweise lautet die Lösung der linearen Ungleichung:
\(\mathbb{L} = \left]-\infty;13\right[\)
oder
\(\mathbb{L} = \left(-\infty;13\right)\)

Beispiel 2

\(x - 3 \leq 3 (x-1) + 5\)

1.) Ungleichung nach \(x\) auflösen

Klammer ausmultiplizieren

\(x - 3 \leq {\color{red}3} (x-1) + 5\)

\(x - 3 \leq {\color{red}3} \cdot x + {\color{red}3} \cdot (-1) + 5\)

\(x - 3 \leq 3x - 3 + 5\)

Zusammenfassen

\(x - 3 \leq 3x + 2\)

Ungleichung nach \(x\) auflösen

\(x {\color{red}\:-\:3x} - 3 \leq 3x {\color{red}\:-\:3x} + 2\)

\(-2x - 3 \leq 2\)

\(-2x - 3 {\color{red}\:+\:3} \leq 2 {\color{red}\:+\:3}\)

\(-2x \leq 5\)

Um die Lösung zu erhalten, müssen wir durch -2 dividieren.
Wichtig: Bei der Division durch eine negative Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

\[\frac{-2x}{{\color{red}-2}} \geq \frac{5}{{\color{red}-2}}\]

\[x \geq \frac{5}{-2}\]

oder in Dezimalschreibweise

\(x \geq -2,5\)

In Intervallschreibweise lautet die Lösung der linearen Ungleichung:
\(\mathbb{L} = \left[-2,5;\infty\right[\)
oder
\(\mathbb{L} = \left[-2,5;\infty\right)\)

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Jetzt mit einer positiven Bewertung bedanken!

Kundenbewertungen & Erfahrungen zu Mathebibel. Mehr Infos anzeigen.
Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

Wenn du einen Fehler gefunden hast, würde ich mich freuen, wenn du mir Bescheid gibst.