Lineare Ungleichungen

In diesem Kapitel lernst du, wie man lineare Ungleichungen (mit einer Variablen) löst.

Bei einer linearen Ungleichung handelt es sich um eine Ungleichung ersten Grades.
"Erster Grad" bedeutet, dass die Variable \(x\) lediglich in einfacher Ausführung vorkommt
- also nicht potenziert (z.B. \(x^2\)).

Beispiele für lineare Ungleichungen

\(x - 5 < 8\)

\(7x + 5 \geq 3x - 4\)

\(x - 3 \leq 3 (x-1) + 5\)

Normalformen linearer Ungleichungen

  • \(ax + b < 0\)
  • \(ax + b > 0\)
  • \(ax + b \leq 0\)
  • \(ax + b \geq 0\)

Jede lineare Ungleichung lässt sich in eine der obigen Darstellungen umformen. Diese Darstellungen bezeichnet man deshalb auch als die "Normalformen linearer Ungleichungen".

Lineare Ungleichungen lösen

Vorgehensweise

  1. Ungleichung nach \(x\) auflösen

...dazu dürfen wir:

  • auf beiden Seiten der Ungleichung eine Zahl addieren/subtrahieren
  • beide Seiten der Ungleichung mit einer Zahl multiplizieren bzw. durch eine Zahl dividieren
    Wichtig: Multipliziert/dividiert man die Ungleichung mit einer negativen Zahl,
                   dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

Beispiel 1

\(x - 5 < 8\)

1.) Ungleichung nach \(x\) auflösen

\(x - 5 < 8\)

\(x -5 {\color{red}\:+\:5} < 8 {\color{red}\:+\:5}\)

\(x < 13\)

In Intervallschreibweise lautet die Lösung der linearen Ungleichung:
\(\mathbb{L} = \left]-\infty;13\right[\)
oder
\(\mathbb{L} = \left(-\infty;13\right)\)

Beispiel 2

\(x - 3 \leq 3 (x-1) + 5\)

1.) Ungleichung nach \(x\) auflösen

Klammer ausmultiplizieren

\(x - 3 \leq {\color{red}3} (x-1) + 5\)

\(x - 3 \leq {\color{red}3} \cdot x + {\color{red}3} \cdot (-1) + 5\)

\(x - 3 \leq 3x - 3 + 5\)

Zusammenfassen

\(x - 3 \leq 3x + 2\)

Ungleichung nach \(x\) auflösen

\(x {\color{red}\:-\:3x} - 3 \leq 3x {\color{red}\:-\:3x} + 2\)

\(-2x - 3 \leq 2\)

\(-2x - 3 {\color{red}\:+\:3} \leq 2 {\color{red}\:+\:3}\)

\(-2x \leq 5\)

Um die Lösung zu erhalten, müssen wir durch -2 dividieren.
Wichtig: Bei der Division durch eine negative Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

\[\frac{-2x}{{\color{red}-2}} \geq \frac{5}{{\color{red}-2}}\]

\[x \geq \frac{5}{-2}\]

oder in Dezimalschreibweise

\(x \geq -2,5\)

In Intervallschreibweise lautet die Lösung der linearen Ungleichung:
\(\mathbb{L} = \left[-2,5;\infty\right[\)
oder
\(\mathbb{L} = \left[-2,5;\infty\right)\)

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)
Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!