Lineare Ungleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Ungleichungen sind und wie man sie löst. Dabei beschränken wir uns auf linearen Ungleichungen mit einer Variable.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Ungleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen in eine der Formen

  • $ax + b < 0$
  • $ax + b > 0$
  • $ax + b \leq 0$
  • $ax + b \geq 0$

bringen lässt, heißt lineare Ungleichung mit einer Variable.

Tipp: Wir können lineare Ungleichungen mit einer Variable daran erkennen, dass die Variable nur in der 1. Potenz auftritt – also kein $x^2$, $x^3$, … enthalten.

Beispiel 1 

$$ x - 5 < 8 $$

Beispiel 2 

$$ 7x + 5 \geq 3x - 4 $$

Beispiel 3 

$$ x - 3 \leq 3 (x-1) + 5 $$

Anleitung 

Ungleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

Lösungsmenge aufschreiben

zu 1)

Äquivalenzumformungen

  • Terme auf beiden Seiten der Ungleichung zusammenfassen

  • Denselben Term auf beiden Seiten der Ungleichung addieren/subtrahieren

  • Beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven* Zahl multiplizieren

  • Beide Seiten der Ungleichung durch dieselbe positive* Zahl dividieren

* Bei der Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl müssen wir das Ungleichungszeichen umdrehen.

zu 2)

Die Lösungsmenge geben wir als Intervall an. Dabei gibt es zwei verschiedene Schreibweisen.

Beispiele 

Beispiel 4 

$$ x - 5 < 8 $$

Ungleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$$ x - 5 < 8 $$

$$ x -5 {\color{red}\:+\:5} < 8 {\color{red}\:+\:5} $$

$$ x < 13 $$

Lösungsmenge aufschreiben

Es gibt zwei mögliche Schreibweisen:

$$ \mathbb{L} = \left]-\infty;13\right[ $$

oder

$$ \mathbb{L} = \left(-\infty;13\right) $$

Beispiel 5 

$$ x - 3 \leq 3 (x-1) + 5 $$

Ungleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

Ausmultiplizieren

$$ x - 3 \leq {\color{red}3} (x-1) + 5 $$

$$ x - 3 \leq {\color{red}3} \cdot x + {\color{red}3} \cdot (-1) + 5 $$

$$ x - 3 \leq 3x - 3 + 5 $$

Zusammenfassen

$$ x - 3 \leq 3x + 2 $$

Ungleichung nach $x$ auflösen

$$ x {\color{red}\:-\:3x} - 3 \leq 3x {\color{red}\:-\:3x} + 2 $$

$$ -2x - 3 \leq 2 $$

$$ -2x - 3 {\color{red}\:+\:3} \leq 2 {\color{red}\:+\:3} $$

$$ -2x \leq 5 $$

Um die Lösung zu erhalten, müssen wir durch $-2$ dividieren.

Zur Erinnerung: Bei der Division durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

$$ \frac{-2x}{{\color{red}-2}} \geq \frac{5}{{\color{red}-2}} $$

$$ x \geq \frac{5}{-2} $$

oder in Dezimalschreibweise

$$ x \geq -2{,}5 $$

Lösungsmenge aufschreiben

Es gibt zwei mögliche Schreibweisen:

$$ \mathbb{L} = \left[-2{,}5;\infty\right[ $$

oder

$$ \mathbb{L} = \left[-2{,}5;\infty\right) $$

Online-Rechner 

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