Bruch­ungleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Bruchungleichungen sind und wie man sie löst.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ungleichungen, bei denen mindestens einmal die Lösungsvariable im Nenner eines Bruchs vorkommt, heißen Bruchungleichungen.

Beispiel 1 

$$ \frac{x^2 - 5}{x-1} < 8 $$

Beispiel 2 

$$ \frac{7x + 5}{4x^2+3} \geq \frac{1}{2} $$

Bruchungleichungen lösen 

Rechte Seite der Ungleichung $\neq$

Bruch durch Fallunterscheidung auflösen

Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

Lösungsmenge der Bruchungleichung bestimmen

zu 1)

$$ \begin{equation*} \frac{\text{Z}}{\text{N}} > c = \begin{cases} \frac{\text{Z}}{\text{N}} \cdot \text{N} > c \cdot \text{N} &\text{für } \text{N} > 0 \\[5px] \frac{\text{Z}}{\text{N}} \cdot \text{N} < c \cdot \text{N} &\text{für } \text{N} < 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Das Auflösen des Bruchs geschieht durch Multiplikation der Ungleichung mit dem Nenner des Bruchs. Dabei müssen wir jedoch eine Fallunterscheidung vornehmen. Ist der Nenner nämlich negativ, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Auf der linken Seite der Ungleichung lässt sich der Nenner herauskürzen.

$$ \begin{equation*} \frac{\text{Z}}{\text{N}} > c = \begin{cases} \frac{\text{Z}}{\cancel{\text{N}}} \cdot \cancel{\text{N}} > c \cdot \text{N} &\text{für } \text{N} > 0 \\[5px] \frac{\text{Z}}{\cancel{\text{N}}} \cdot \cancel{\text{N}} < c \cdot \text{N} &\text{für } \text{N} < 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Übrig bleibt:

$$ \begin{equation*} \frac{\text{Z}}{\text{N}} > c = \begin{cases} \text{Z} > c \cdot \text{N} &\text{für } \text{N} > 0 \\[5px] \text{Z} < c \cdot \text{N} &\text{für } \text{N} < 0 \end{cases} \end{equation*} $$

zu 2)

Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an.

zu 3)

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.

Beispiel 3 

$$ \frac{2}{x+1} < 2 $$

Bruch durch Fallunterscheidung auflösen

$$ \begin{equation*} \frac{2}{x+1} < 2 = \begin{cases} 2 < 2 \cdot (x+1) &\text{für } {\color{green}x+1 > 0} \\[5px] 2 > 2 \cdot (x+1) &\text{für } {\color{red}x+1 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$

Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach $x$ auf, um zu berechnen, für welches $x$ der Term im Nenner größer (1. Fall) bzw. kleiner Null (2. Fall) ist.

Fall 1: $x + 1 > 0$

$$ x + 1 > 0 $$

$$ x + 1 {\color{gray}\:-\:1} > 0 {\color{gray}\:-\:1} $$

$$ x > -1 $$

Fall 2: $x + 1 < 0$

$$ x + 1 < 0 $$

$$ x + 1 {\color{gray}\:-\:1} < 0 {\color{gray}\:-\:1} $$

$$ x < -1 $$

Zusammenfassung

$$ \begin{equation*} \frac{2}{x+1} < 2 = \begin{cases} 2 < 2 \cdot (x+1) &\text{für } {\color{green}x > -1} \\[5px] 2 > 2 \cdot (x+1) &\text{für } {\color{red}x < -1} \end{cases} \end{equation*} $$

Anmerkung

Für $x = -1$ ist die Ungleichung $\frac{2}{x+1} < 2$ nicht definiert. Grund dafür ist, dass ein Bruch niemals Null werden darf.

Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

Fall 1: $x > -1$

Für $x > -1$ können wir die Ungleichung $\frac{2}{x+1} < 2$ umschreiben zu

$$ 2 < 2 \cdot (x+1) $$

Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach $x$ auflösen:

$$ 2 < 2 \cdot x + 2 \cdot 1 $$

$$ 2 {\color{gray}\:-\:2} < 2x + 2 {\color{gray}\:-\:2} $$

$$ 0 < 2x $$

$$ 0 {\color{gray}\:-\:2x} < 2x {\color{gray}\:-\:2x} $$

$$ -2x < 0 $$

$$ \frac{-2x}{{\color{gray}-2}} > \frac{0}{{\color{gray}-2}} $$

$$ x > 0 $$

Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_1$ muss sowohl die Bedingung $x > -1$ (1. Fall) als auch $x > 0$ (Lösung 1. Fall) erfüllen:

$$ \mathbb{L}_1 = ]0;\infty[ $$

Fall 2: $x < -1$

Für $x < -1$ können wir die Ungleichung $\frac{2}{x+1} < 2$ umschreiben zu

$$ 2 > 2 \cdot (x+1) $$

Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach $x$ auflösen:

$$ 2 > 2 \cdot x + 2 \cdot 1 $$

$$ 2 {\color{gray}\:-\:2} > 2x + 2 {\color{gray}\:-\:2} $$

$$ 0 > 2x $$

$$ 0 {\color{gray}\:-\:2x} > 2x {\color{gray}\:-\:2x} $$

$$ -2x > 0 $$

$$ \frac{-2x}{{\color{gray}-2}} < \frac{0}{{\color{gray}-2}} $$

$$ x < 0 $$

Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_2$ muss sowohl die Bedingung $x < -1$ (2. Fall) als auch $x < 0$ (Lösung 2. Fall) erfüllen:

$$ \mathbb{L}_2 = ]-\infty;-1[ $$

Lösungsmenge der Bruchungleichung bestimmen

$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_2 \cup \mathbb{L}_1 =]-\infty;-1[ \: \cup \: ]0;\infty[ $$

Graphische Betrachtung

Zur Lösung gehört alles, was unterhalb der roten Linie ($y = 2$) liegt – unter Beachtung der Definitionslücke bei $x = -1$.

Abb. 1 

Rechte Seite der Ungleichung $=$

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen berechnen

Intervallweise Betrachtung

Beispiel 4 

$$ \frac{x^2 - 4}{x+1} > 0 $$

Definitionsbereich bestimmen

Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null werden. Der Nenner wird Null, wenn gilt

$$ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 $$

Der Definitionsbereich ist dementsprechend: $D_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}$

Nullstellen berechnen

Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler gleich Null ist.

$$ x^2 - 4 = 0 $$

$$ x^2 = 4 $$

$$ \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{4} $$

$$ x = \pm 2 $$

Intervallweise Betrachtung

Die Intervallgrenzen ergeben sich aus der Definitionslücke ($-1$) und den Nullstellen ($-2$ und $+2$). Für jedes Intervall wird das Vorzeichen des Zählers bzw. des Nenners angegeben. Dies geschieht dadurch, dass man aus dem jeweiligen Intervall einen beliebigen Wert auswählt und entsprechend in den Zähler oder Nenner einsetzt. Im Anschluss daran schaut man sich an, welches Vorzeichen der Bruch insgesamt hat. Ist z. B. im Zähler und im Nenner ein negatives Vorzeichen, so hat der Bruch insgesamt ein positives Vorzeichen, denn minus geteilt durch minus ergibt plus.

$$ \begin{array}{c|cccc} & \left]-\infty;-2\right[ & \left]-2;-1\right[ & \left]-1;2\right[ & \left]2;\infty\right[ \\ \hline \text{Zähler} & + & - & - & + \\ \text{Nenner} & - & - & + & + \\ \text{Gesamt} & - & + & - & + \end{array} $$

In der letzten Reihe der Tabelle können wir ablesen, in welchen Intervallen der Term größer als Null ist.

Für unser Beispiel ergibt sich demnach die Lösungsmenge:

$$ \mathbb{L} = \left]-2;-1\right[ \: \cup \: \left]2;\infty\right[ $$

Graphische Betrachtung

Zur Lösung gehört alles, was oberhalb der roten Linie ($y = 0$) liegt – unter Beachtung der Definitionslücke bei $x = -1$.

Abb. 2 

Online-Rechner 

Bruchungleichungen online berechnen

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