Bruchungleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Bruchungleichungen sind.

Beispiele für Bruchungleichungen

\[\frac{x^2 - 5}{x-1} < 8\]

\[\frac{7x + 5}{4x^2+3} \geq \frac{1}{2}\]

Bruchungleichungen lösen

a) Rechte Seite der Ungleichung \(\neq\) 0

Vorgehensweise

  1. Bruch auflösen durch Fallunterscheidung
  2. Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen
  3. Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen

zu 1.)

\(\begin{equation*}
\frac{\text{Z}}{\text{N}} > c =
\begin{cases}
\frac{\text{Z}}{\text{N}} \cdot \text{N} > c \cdot \text{N}&\text{für \(\text{N} > 0\)} \\[5pt]
\frac{\text{Z}}{\text{N}} \cdot \text{N} < c \cdot \text{N}&\text{für \(\text{N} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Das Auflösen des Bruchs geschieht durch Multiplikation der Ungleichung mit dem Nenner des Bruchs. Dabei muss man jedoch eine Fallunterscheidung vornehmen, ob der Nenner positiv oder negativ ist. Ist der Nenner negativ, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Auf der linken Seite der Ungleichung lässt sich der Nenner herauskürzen.

\(\begin{equation*}
\frac{\text{Z}}{\text{N}} > c =
\begin{cases}
\frac{\text{Z}}{\cancel{\text{N}}} \cdot \cancel{\text{N}} > c \cdot \text{N}&\text{für \(\text{N} > 0\)} \\[5pt]
\frac{\text{Z}}{\cancel{\text{N}}} \cdot \cancel{\text{N}} < c \cdot \text{N}&\text{für \(\text{N} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Übrig bleibt:

\(\begin{equation*}
\frac{\text{Z}}{\text{N}} > c =
\begin{cases}
\text{Z} > c \cdot \text{N}&\text{für \(\text{N} > 0\)} \\[5pt]
\text{Z} < c \cdot \text{N}&\text{für \(\text{N} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

zu 2.)

Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an.

zu 3.)

Die Lösung der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.

Beispiel

\[\frac{2}{x+1} < 2\]

1.) Bruch auflösen durch Fallunterscheidung

Ansatz

\(\begin{equation*}
\frac{2}{x+1} < 2 =
\begin{cases}
2 < 2 \cdot (x+1) &\text{für \({\color{green}x+1 > 0}\)} \\[5pt]
2 > 2 \cdot (x+1) &\text{für \({\color{red}x+1 < 0}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach \(x\) auf, um zu berechnen,
für welches \(x\) der Term im Nenner größer (1. Fall) bzw. kleiner Null (2. Fall) ist.

Fall 1: \(x + 1 > 0\)

\(x + 1 > 0\)

\(x + 1 {\color{gray}\:-\:1} > 0 {\color{gray}\:-\:1}\)

\(x > -1\)

Fall 2: \(x + 1 < 0\)

\(x + 1 < 0\)

\(x + 1 {\color{gray}\:-\:1} < 0 {\color{gray}\:-\:1}\)

\(x < -1\)

Zusammenfassend gilt:

\(\begin{equation*}
\frac{2}{x+1} < 2 =
\begin{cases}
2 < 2 \cdot (x+1) &\text{für \({\color{green}x > -1}\)} \\[5pt]
2 > 2 \cdot (x+1) &\text{für \({\color{red}x < -1}\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Für \(x = -1\) ist die Ungleichung \(\frac{2}{x+1} < 2\) nicht definiert.
Grund dafür ist, dass ein Bruch niemals Null werden darf.

2.) Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

Fall 1: \(x > -1\)

Für \(x > -1\) können wir die Ungleichung \(\frac{2}{x+1} < 2\) umschreiben zu

\(2 < 2 \cdot (x+1)\)

Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach \(x\) auflösen:

\(2 < 2 \cdot x + 2 \cdot 1\)

\(2 {\color{gray}\:-\:2} < 2x + 2 {\color{gray}\:-\:2}\)

\(0 < 2x\)

\(0 {\color{gray}\:-\:2x} < 2x {\color{gray}\:-\:2x}\)

\(-2x < 0\)

\[\frac{-2x}{{\color{gray}-2}} > \frac{0}{{\color{gray}-2}}\]

\(x > 0\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_1\) muss
sowohl die Bedingung \(x > -1\) (1. Fall) als auch \(x > 0\) (Lösung 1. Fall) erfüllen:
\(\mathbb{L}_1 = ]0;\infty[\)

Fall 2: \(x < -1\)

Für \(x < -1\) können wir die Ungleichung \(\frac{2}{x+1} < 2\) umschreiben zu

\(2 > 2 \cdot (x+1)\)

Jetzt müssen wir noch die Ungleichung nach \(x\) auflösen:

\(2 > 2 \cdot x + 2 \cdot 1\)

\(2 {\color{gray}\:-\:2} > 2x + 2 {\color{gray}\:-\:2}\)

\(0 > 2x\)

\(0 {\color{gray}\:-\:2x} > 2x {\color{gray}\:-\:2x}\)

\(-2x > 0\)

\[\frac{-2x}{{\color{gray}-2}} < \frac{0}{{\color{gray}-2}}\]

\(x < 0\)

Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}_2\) muss
sowohl die Bedingung \(x < -1\) (2. Fall) als auch \(x < 0\) (Lösung 2. Fall) erfüllen:
\(\mathbb{L}_2 = ]-\infty;-1[\)

3.) Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen

\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_2 \cup \mathbb{L}_1 =]-\infty;-1[ \: \cup \: ]0;\infty[\)

Graphische Betrachtung

Zur Lösung gehört alles, was unterhalb der roten Linie (\(y = 2\)) liegt - unter Beachtung der Definitionslücke bei \(x = -1\).

b) Rechte Seite der Ungleichung \(=\) 0

Vorgehensweise

  1. Definitionsbereich bestimmen
  2. Nullstellen berechnen
  3. Intervallweise Betrachtung

Beispiel

\[\frac{x^2 - 4}{x+1} > 0\]

1.) Definitionsbereich bestimmen

Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null werden. Der Nenner wird Null, wenn gilt

\[x + 1 = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = -1\]

Der Definitionsbereich ist dementsprechend: \(D_f = \mathbb{R}\backslash\{-1\}\)

2.) Nullstellen berechnen

Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler gleich Null ist.

\(x^2 - 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{4}\)

\(x = \pm 2\)

3.) Intervallweise Betrachtung

Die Intervallgrenzen ergeben sich aus der Definitionslücke (-1) und den Nullstellen (-2; 2). Für jedes Intervall wird das Vorzeichen des Zählers bzw. des Nenners angegeben. Dies geschieht dadurch, dass man aus dem jeweiligen Intervall einen beliebigen Wert auswählt und entsprechend in den Zähler oder Nenner einsetzt. Im Anschluss daran schaut man sich an, welches Vorzeichen der Bruch insgesamt hat. Ist z.B. im Zähler und im Nenner ein negatives Vorzeichen, so hat der Bruch insgesamt ein positives Vorzeichen -> "minus geteilt durch minus ergibt plus".

\[\begin{array}{c|cccc}
& \left]-\infty;-2\right[ & \left]-2;-1\right[& \left]-1;2\right[ & \left]2;\infty\right[\\
\hline
\text{Zähler} & + & - & - & + \\
\text{Nenner}& - & - & + & + \\
\text{Gesamt} & - & + & - & +
\end{array}\]

In der letzten Reihe der Tabelle können wir ablesen,
in welchen Intervallen der Term größer als Null ist.

Für unser Beispiel ergibt sich demnach die Lösungsmenge:
\(\mathbb{L} = \left]-2;-1\right[ \: \cup \: \left]2;\infty\right[\)

Graphische Betrachtung

Zur Lösung gehört alles, was oberhalb der roten Linie (\(y = 0\)) liegt - unter Beachtung der Definitionslücke bei \(x = -1\).

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Bruchungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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