Konstante Funktionen
In diesem Kapitel lernst du konstante Funktionen kennen.
Kontext
In unserem Alltag können wir Abhängigkeiten zwischen Größen beobachten.
Beispiele aus der Geometrie
- Die Fläche eines Quadrats ist abhängig von der Seitenlänge des Quadrats.
\(\text{Seitenlänge eines Quadrats} \mapsto \text{Fläche eines Quadrats}\) - Die Fläche eines Kreises ist abhängig vom Radius des Kreises.
\(\text{Radius eines Kreises} \mapsto \text{Fläche eines Kreises}\)
Beispiele aus der Physik
- In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstärke abhängig von der angelegten Spannung.
\(\text{Spannung} \mapsto \text{Stromstärke}\) - Beim freien Fall ist der Fallweg abhängig von der Zeit.
\(\text{Zeit} \mapsto \text{Fallweg}\)
Das mathematische Werkzeug, um Abhängigkeiten zu beschreiben, sind Funktionen.
Problemstellung
Neben Abhängigkeitsbeziehungen begegnen uns auch Unabhängigkeiten zwischen Größen.
Beispiel aus der Wirtschaft
Bei einer Festnetz-Flatrate ist die monatliche Gebühr unabhängig von der Telefonnutzung.
\(\text{Nutzung} \mapsto \text{Gebühr}\)
Das kennst du ja aus eigener Erfahrung: Egal, wie viel du telefonierst, am Ende des Monats zahlst du zahlen deine Eltern immer nur die monatliche Gebühr, z. B. in Höhe von 19,99 €.
\(\text{0 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
\(\text{10 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
\(\text{100 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
\(\text{1000 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
Die Gebühr bleibt also gleich...und laut Duden ist der Fachbegriff für gleichbleibend zufälligerweise konstant, was Mathematiker in ihren Formeln mit \(\text{const.}\) abkürzen.
\(x \text{ Gesprächsminuten} \mapsto \text{ 19,99 € } = y = \text{const.}\)
Zur Beschreibung von Unabhängigkeiten dienen konstante Funktionen.
Definition einer konstanten Funktion
Eine Funktion \(f\) mit
\(f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})\)
heißt konstante Funktion.
\(c\) ist ein beliebiges Element der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\).
Charakteristische Eigenschaft
Im Funktionsterm konstanter Funktionen kommt keine Variable (hier: \(x\)) vor.
| Bezeichnung | Normalform | Beispiel |
| Konstante Funktionen | \(f(x) = c\) | \(f(x) = 5\) |
| Lineare Funktionen | \(f(x) = m{\color{red}x} + b\) | \(f(x) = 2{\color{red}x} + 5\) |
| Quadratische Funktionen | \(f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c\) | \(f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4\) |
| Kubische Funktionen | \(f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d \) | \(f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2\) |
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f\) ist die Menge aller \(x\)-Werte, die in die Funktion \(f\) eingesetzt werden dürfen. In konstante Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
\(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\)
Wertemenge
Die Wertemenge \(\mathbb{W}_f\) ist die Menge aller \(y\)-Werte, die die Funktion \(f\) unter Beachtung ihrer Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f\) annehmen kann. Bei konstanten Funktionen kommt am Ende immer der Funktionswert \(y = c\) heraus, unabhängig davon, was wir für \(x\) einsetzen:
\(\mathbb{W}_f = \{c\}\)
Graph einer konstanten Funktion
Der Graph einer konstanten Funktion ist eine waagrechte Gerade.
Alternativ können wir auch horizontale Gerade oder Parallele zur \(x\)-Achse sagen.
Beispiel 1
\(f(x) = 2\)
Nullstellen: Keine!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = 2\)
Beispiel 2
\(f(x) = -3\)
Nullstellen: Keine!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = -3\)
Spezialfälle konstanter Funktionen
Die Funktion \(f\) mit
\(f(x) = 0\)
heißt Nullfunktion.
Nullstellen: Unendlich viele!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = 0\)
Die Funktion \(f\) mit
\(f(x) = 1\)
heißt Einsfunktion.
Nullstellen: Keine!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = 1\)
Konstante Funktionen als Spezialfall
Manche Mathematiker definieren konstante Funktionen als Spezialfall linearer Funktionen:
Lineare Funktionen mit einer Steigung von \(m = 0\) heißen konstante Funktionen.
Die meisten Mathematiker betrachten lineare und konstante Funktionen jedoch - aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften - getrennt voneinander. Wir folgen der gängigen Lehrmeinung.
Zusammenfassung wichtiger Eigenschaften
| Funktionsgleichung | \(f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})\) |
| Definitionsmenge | \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\) |
| Wertemenge | \(\mathbb{W_f} = \{c\}\) |
| Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse | Keine (Ausnahme: Für \(c = 0\) unendlich viele) |
| > Nullstellen | Keine (Ausnahme: Für \(c = 0\) unendlich viele) |
| Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse | \(S_y(0|c)\) |
| > \(y\)-Achsenabschnitt | \(y = c\) |
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