Konstante Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was konstante Funktionen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Einordnung
In unserem Alltag können wir Abhängigkeiten zwischen Größen beobachten.
Beispiele aus der Geometrie
Die Fläche eines Quadrats ist abhängig von der Seitenlänge des Quadrats.
$$ \text{Seitenlänge eines Quadrats} \mapsto \text{Fläche eines Quadrats} $$
Die Fläche eines Kreises ist abhängig vom Radius des Kreises.
$$ \text{Radius eines Kreises} \mapsto \text{Fläche eines Kreises} $$
Beispiele aus der Physik
In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstärke abhängig von der angelegten Spannung.
$$ \text{Spannung} \mapsto \text{Stromstärke} $$
Beim freien Fall ist der Fallweg abhängig von der Zeit.
$$ \text{Zeit} \mapsto \text{Fallweg} $$
Das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Abhängigkeiten sind Funktionen.
Neben Abhängigkeitsbeziehungen begegnen uns auch Unabhängigkeiten zwischen Größen.
Beispiel aus der Wirtschaft
Bei einer Festnetz-Flatrate ist die monatliche Gebühr unabhängig von der Telefonnutzung.
$$ \text{Nutzung} \mapsto \text{Gebühr} $$
Das kennst du ja aus eigener Erfahrung: Egal, wie viel du telefonierst, am Ende des Monats zahlst du oder deine Eltern immer nur die monatliche Gebühr, z. B. in Höhe von 19,99 €.
$$ \text{0 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$
$$ \text{10 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$
$$ \text{100 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$
$$ \text{1000 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$
Die Gebühr bleibt also gleich.
Laut Duden ist der Fachbegriff für gleichbleibend
zufälligerweise konstant
, was Mathematiker in ihren Formeln mit
abkürzen.$\text{const.}$
$$ x \text{ Gesprächsminuten} \mapsto \text{ 19,99 € } = y = \text{const.} $$
Das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Unabhängigkeiten sind konstante Funktionen.
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R}) $$
heißt konstante Funktion.
$c$ ist eine beliebige reelle Zahl.
Charakteristische Eigenschaft
Im Funktionsterm konstanter Funktionen kommt keine Variable (hier: $x$) vor.
| Bezeichnung | Allgemeine Form | Beispiel |
|---|---|---|
| Konstante Funktionen | $f(x) = c$ | $f(x) = 5$ |
| Lineare Funktionen | $f(x) = m{\color{red}x} + b$ | $f(x) = 2{\color{red}x} + 5$ |
| Quadratische Funktionen | $f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c$ | $f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4$ |
| Kubische Funktionen | $f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d $ | $f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2$ |
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In konstante Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Bei konstanten Funktionen kommt am Ende immer der Funktionswert $y = c$ heraus, unabhängig davon, was wir für $x$ einsetzen:
$$ \mathbb{W}_f = \{c\} $$
Graph
Der Graph einer konstanten Funktion ist eine waagrechte Gerade.
Alternativ können wir auch horizontale Gerade
oder Parallele zur
sagen.$x$-Achse
Spezialfälle
Konstante Funktionen als Spezialfall
Manche Mathematiker definieren konstante Funktionen als Spezialfall linearer Funktionen:
Lineare Funktionen mit einer Steigung von $m = 0$ heißen konstante Funktionen.
Die meisten Mathematiker betrachten lineare und konstante Funktionen jedoch – aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften – getrennt voneinander.
Zusammenfassung
| Funktionsgleichung | $f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})$ |
| Definitionsmenge | $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W_f} = \{c\}$ |
Schnittpunkte mit der $x$-Achse | Keine (Ausnahme: Für $c = 0$ unendlich viele) |
| - Nullstellen | Keine (Ausnahme: Für $c = 0$ unendlich viele) |
Schnittpunkt mit der $y$-Achse | $S_y(0|c)$ |
- $y$-Achsenabschnitt | $y = c$ |
