Konstante Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was konstante Funktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

In unserem Alltag können wir Abhängigkeiten zwischen Größen beobachten.

Beispiele aus der Geometrie

Beispiel 1 

Die Fläche eines Quadrats ist abhängig von der Seitenlänge des Quadrats.

$$ \text{Seitenlänge eines Quadrats} \mapsto \text{Fläche eines Quadrats} $$

Beispiel 2 

Die Fläche eines Kreises ist abhängig vom Radius des Kreises.

$$ \text{Radius eines Kreises} \mapsto \text{Fläche eines Kreises} $$

Beispiele aus der Physik

Beispiel 3 

In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstärke abhängig von der angelegten Spannung.

$$ \text{Spannung} \mapsto \text{Stromstärke} $$

Beispiel 4 

Beim freien Fall ist der Fallweg abhängig von der Zeit.

$$ \text{Zeit} \mapsto \text{Fallweg} $$

Das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Abhängigkeiten sind Funktionen.

Neben Abhängigkeitsbeziehungen begegnen uns auch Unabhängigkeiten zwischen Größen.

Beispiel aus der Wirtschaft

Beispiel 5 

Bei einer Festnetz-Flatrate ist die monatliche Gebühr unabhängig von der Telefonnutzung.

$$ \text{Nutzung} \mapsto \text{Gebühr} $$

Das kennst du ja aus eigener Erfahrung: Egal, wie viel du telefonierst, am Ende des Monats zahlst du oder deine Eltern immer nur die monatliche Gebühr, z. B. in Höhe von 19,99 €.

$$ \text{0 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$

$$ \text{10 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$

$$ \text{100 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$

$$ \text{1000 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €} $$

Die Gebühr bleibt also gleich.

Laut Duden ist der Fachbegriff für gleichbleibend zufälligerweise konstant, was Mathematiker in ihren Formeln mit $\text{const.}$ abkürzen.

$$ x \text{ Gesprächsminuten} \mapsto \text{ 19,99 € } = y = \text{const.} $$

Das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Unabhängigkeiten sind konstante Funktionen.

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R}) $$

heißt konstante Funktion.

$c$ ist eine beliebige reelle Zahl.

Charakteristische Eigenschaft

Im Funktionsterm konstanter Funktionen kommt keine Variable (hier: $x$) vor.

BezeichnungAllgemeine FormBeispiel
Konstante Funktionen$f(x) = c$$f(x) = 5$
Lineare Funktionen$f(x) = m{\color{red}x} + b$$f(x) = 2{\color{red}x} + 5$
Quadratische Funktionen$f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c$$f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4$
Kubische Funktionen$f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d $$f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2$

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In konstante Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Bei konstanten Funktionen kommt am Ende immer der Funktionswert $y = c$ heraus, unabhängig davon, was wir für $x$ einsetzen:

$$ \mathbb{W}_f = \{c\} $$

Graph 

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine waagrechte Gerade.

Alternativ können wir auch horizontale Gerade oder Parallele zur $x$-Achse sagen.

Beispiel 6 

$$ f(x) = 2 $$

Nullstellen: Keine!

$y$-Achsenabschnitt: $y = 2$

Abb. 1 

Beispiel 7 

$$ f(x) = -3 $$

Nullstellen: Keine!

$y$-Achsenabschnitt: $y = -3$

Abb. 2 

Spezialfälle 

Die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = 0 $$

heißt Nullfunktion.

Nullstellen: Unendlich viele!

$y$-Achsenabschnitt: $y = 0$

Abb. 3 / Graph der Nullfunktion 

Die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = 1 $$

heißt Einsfunktion.

Nullstellen: Keine!

$y$-Achsenabschnitt: $y = 1$

Abb. 4 / Graph der Einsfunktion 

Konstante Funktionen als Spezialfall

Manche Mathematiker definieren konstante Funktionen als Spezialfall linearer Funktionen:

Lineare Funktionen mit einer Steigung von $m = 0$ heißen konstante Funktionen.

Die meisten Mathematiker betrachten lineare und konstante Funktionen jedoch – aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften – getrennt voneinander.

Zusammenfassung 

Funktionsgleichung$f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})$
Definitionsmenge$\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$
Wertemenge$\mathbb{W_f} = \{c\}$
Schnittpunkte mit der $x$-AchseKeine (Ausnahme: Für $c = 0$ unendlich viele)
- NullstellenKeine (Ausnahme: Für $c = 0$ unendlich viele)
Schnittpunkt mit der $y$-Achse$S_y(0|c)$
- $y$-Achsenabschnitt$y = c$

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