Konstante Funktionen

In diesem Kapitel lernst du konstante Funktionen kennen.

Kontext

In unserem Alltag können wir Abhängigkeiten zwischen Größen beobachten.

Beispiele aus der Geometrie

  • Die Fläche eines Quadrats ist abhängig von der Seitenlänge des Quadrats.
    \(\text{Seitenlänge eines Quadrats} \mapsto \text{Fläche eines Quadrats}\)

  • Die Fläche eines Kreises ist abhängig vom Radius des Kreises.
    \(\text{Radius eines Kreises} \mapsto \text{Fläche eines Kreises}\)

Beispiele aus der Physik

  • In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstärke abhängig von der angelegten Spannung.
    \(\text{Spannung} \mapsto \text{Stromstärke}\)

  • Beim freien Fall ist der Fallweg abhängig von der Zeit.
    \(\text{Zeit} \mapsto \text{Fallweg}\)

Das mathematische Werkzeug, um Abhängigkeiten zu beschreiben, sind Funktionen.

Problemstellung

Neben Abhängigkeitsbeziehungen begegnen uns auch Unabhängigkeiten zwischen Größen.

Beispiel aus der Wirtschaft

Bei einer Festnetz-Flatrate ist die monatliche Gebühr unabhängig von der Telefonnutzung.
\(\text{Nutzung} \mapsto \text{Gebühr}\)

Das kennst du ja aus eigener Erfahrung: Egal, wie viel du telefonierst, am Ende des Monats zahlst du zahlen deine Eltern immer nur die monatliche Gebühr, z. B. in Höhe von 19,99 €.
\(\text{0 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
\(\text{10 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
\(\text{100 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)
\(\text{1000 Gesprächsminuten} \mapsto \text{19,99 €}\)

Die Gebühr bleibt also gleich...und laut Duden ist der Fachbegriff für gleichbleibend zufälligerweise konstant, was Mathematiker in ihren Formeln mit \(\text{const.}\) abkürzen.

\(x \text{ Gesprächsminuten} \mapsto \text{ 19,99 € } = y = \text{const.}\)

Zur Beschreibung von Unabhängigkeiten dienen konstante Funktionen.

Definition einer konstanten Funktion

Eine Funktion \(f\) mit

\(f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})\)

heißt konstante Funktion.

\(c\) ist ein beliebiges Element der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\).

Charakteristische Eigenschaft

Im Funktionsterm konstanter Funktionen kommt keine Variable (hier: \(x\)) vor.

Bezeichnung Normalform Beispiel
Konstante Funktionen \(f(x) = c\) \(f(x) = 5\)
Lineare Funktionen \(f(x) = m{\color{red}x} + b\) \(f(x) = 2{\color{red}x} + 5\)
Quadratische Funktionen \(f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c\) \(f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4\)
Kubische Funktionen \(f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d \) \(f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2\)

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f\) ist die Menge aller \(x\)-Werte, die in die Funktion \(f\) eingesetzt werden dürfen. In konstante Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

\(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\)

Wertemenge

Die Wertemenge \(\mathbb{W}_f\) ist die Menge aller \(y\)-Werte, die die Funktion \(f\) unter Beachtung ihrer Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f\) annehmen kann. Bei konstanten Funktionen kommt am Ende immer der Funktionswert \(y = c\) heraus, unabhängig davon, was wir für \(x\) einsetzen:

\(\mathbb{W}_f = \{c\}\)

Graph einer konstanten Funktion

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine waagrechte Gerade.

Alternativ können wir auch horizontale Gerade oder Parallele zur \(x\)-Achse sagen.

Beispiel 1

\(f(x) = 2\)

Nullstellen: Keine!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = 2\)

Beispiel 2

\(f(x) = -3\)

Nullstellen: Keine!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = -3\)

Spezialfälle konstanter Funktionen

Die Funktion \(f\) mit

\(f(x) = 0\)

heißt Nullfunktion.

Nullstellen: Unendlich viele!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = 0\)

Die Funktion \(f\) mit

\(f(x) = 1\)

heißt Einsfunktion.

Nullstellen: Keine!
\(y\)-Achsenabschnitt: \(y = 1\)

Konstante Funktionen als Spezialfall

Manche Mathematiker definieren konstante Funktionen als Spezialfall linearer Funktionen:

Lineare Funktionen mit einer Steigung von \(m = 0\) heißen konstante Funktionen.

Die meisten Mathematiker betrachten lineare und konstante Funktionen jedoch - aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften - getrennt voneinander. Wir folgen der gängigen Lehrmeinung.

Zusammenfassung wichtiger Eigenschaften

Funktionsgleichung \(f(x) = c \quad (c \in \mathbb{R})\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\)
Wertemenge \(\mathbb{W_f} = \{c\}\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse Keine (Ausnahme: Für \(c = 0\) unendlich viele)
> Nullstellen Keine (Ausnahme: Für \(c = 0\) unendlich viele)
Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0|c)\)
> \(y\)-Achsenabschnitt \(y = c\)
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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