Gerade

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einer Geraden verstehen.

Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie.

Das, was wir über Linien im Allgemeinen gesagt haben, gilt natürlich auch für Geraden:

  • Eine Gerade repräsentiert einen Weg.
  • Eine Gerade ist eine unendliche Punktmenge.
  • Eine Gerade entsteht durch die Bewegung eines Punktes.
  • Eine Gerade hat eine Ausdehnung (Dimension).

Lage einer Geraden

Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Es überrascht deshalb ein wenig, dass wir nur zwei Punkte einer Geraden kennen müssen, um ihre Lage eindeutig angeben zu können.

Die Lage einer Geraden ist durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt.

Durch einen Punkt können wir
unendlich viele Geraden ziehen.

Durch zwei Punkte können wir
nur eine Gerade ziehen.

Bildliche Darstellung einer Geraden

Eine Gerade ist „beidseitig unbegrenzt“, also unendlich lang. Da unsere Zeichenfläche endlich ist, können wir immer nur einen kleinen Ausschnitt der Geraden darstellen. Ihre unendliche Länge wird in der Abbildung durch das plötzliche Auftauchen und wieder Verschwinden der Geraden angedeutet. Sind Geradenpunkte eingezeichnet, so verläuft die Gerade durch alle Punkte hindurch - das unterscheidet Geraden von Halbgeraden und Strecken.

Bezeichnung einer Geraden

Um eine bestimmte Gerade ansprechen zu können, müssen wir ihr einen Spitznamen geben. Das ist vor allem dann wichtig, wenn in einer Abbildung mehrere Geraden eingezeichnet sind.

Geraden werden gewöhnlich mit lateinischen Kleinbuchstaben (\(a\), \(b\), \(c\),...) bezeichnet.

Mathematische Schreib- und Sprechweise
- \(g\)     (sprich: „Gerade g“)
- \(h\)     (sprich: „Gerade h“)

Alternativ können wir einer Gerade auch mit Hilfe zweier Punkte, die auf ihr liegen, eine eindeutige Bezeichnung zuweisen.

Mathematische Schreib- und Sprechweise
- \(AB\)     (sprich: „Gerade AB“)
- \(AC\)     (sprich: „Gerade AC“)

Die Reihenfolge der Buchstaben ist beliebig, d. h. \(BA\) bezeichnet dieselbe Gerade wie \(AB\).

Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade

Mathematiker interessieren sich für die Beziehungen zwischen geometrischen Gebilden.
Es stellt sich die Frage, in welcher Beziehung ein Punkt zu einer Geraden liegen kann.

Der Punkt liegt auf der Geraden

Mathematische Schreibweise
- \(A \in g\)

Mathematische Sprechweise
- „A ist Element von g
- „A liegt auf g

Der Punkt liegt nicht auf der Geraden

Mathematische Schreibweise
- \(B \notin g\)

Mathematische Sprechweise
- „B ist nicht Element von g
- „B liegt nicht auf g

Zur Erinnerung: Die Symbole \(\in\) und \(\notin\) stammen aus der Mengenlehre!

Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden

Mathematiker interessieren sich für die Beziehungen zwischen geometrischen Gebilden.
Es stellt sich die Frage, in welcher Beziehung zwei Geraden zueinander liegen können.

Parallele Geraden

Zwei parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand; sie schneiden sich nie.

Spezialfall
Ist der Abstand zwischen den beiden Geraden gleich Null, so heißen sie identisch.

Nicht-parallele Geraden
(Sich schneidende Geraden)

Zwei nicht-parallele Geraden haben nicht überall den gleichen Abstand; sie schneiden sich in einem Punkt, ihrem sog. Schnittpunkt.

Spezialfall
Ist der Schnittwinkel \(\varphi\) der Geraden ein rechter Winkel, so heißen sie zueinander senkrecht.

Teilmengen einer Geraden

In vielen Fällen ist es nicht notwendig, die ganze Gerade zu betrachten, sondern nur einen Teil davon. Dabei unterscheiden wir danach, ob die Gerade einseitig oder beidseitig begrenzt ist.

Halbgerade
(= einseitig begrenzte Gerade)

Strecke
(= beidseitig begrenzte Gerade)

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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