Parallelogramm
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Parallelogramm ist.
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit
- zwei Paaren paralleler Seiten
Beispiel eines Parallelogramms
Die zwei Paare paralleler Seiten sind in diesem Fall \(a\) und \(c\) (\(a \parallel c\)) und \(b\) und \(d\) (\(b \parallel d\)).
Eigenschaften eines Parallelogramms
a) Allgemeine Eigenschaften
Ecken
Jedes Viereck hat vier Ecken.
Seiten
Jedes Viereck hat vier Seiten.
Winkel
In jedem Viereck
- gibt es vier Innenwinkel
- beträgt die Winkelsumme 360°
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)
Diagonale
Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.
b) Besondere Eigenschaften
Seiten
In einem Parallelogramm
sind gegenüberliegende Seiten
- parallel (\(a \parallel c\) und \(b \parallel d\))
- gleich lang (\(a = c\) und \(b = d\))
Winkel
In einem Parallelogramm
- sind gegenüberliegende Winkel gleich groß
\(\alpha = \gamma\) und \(\beta = \delta\)
- ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°
\(\alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta = \delta + \alpha = 180^\circ\)
Diagonale
Die Diagonalen eines Parallelogramms
- halbieren einander
Symmetrie
Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu
- dem Schnittpunkt der Diagonalen \(S\)
Höhe
Die Höhen des Parallelogramms entsprechen den Abständen der parallelen Seiten.
\(h_a\) = Abstand zwischen \(a\) und \(c\) = \(h_c\)
\(h_b\) = Abstand zwischen \(b\) und \(d\) = \(h_d\)
Parallelogramm berechnen
\(U = 2(a+b)\)
Flächeninhalt eines Parallelogramms
\(\begin{align*} A &= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt] &= b \cdot h_b &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}\\[5pt] &= ab \sin \alpha &&{\color{gray}|\text{ 3. Formel}} \end{align*}\)
Spezielle Parallelogramme
Raute
= gleichseitiges Parallelogramm
Rechteck
= ungleichseitiges,
rechtwinkliges Parallelogramm
Quadrat
= gleichseitiges,
rechtwinkliges Parallelogramm
Vierecke im Überblick
Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Vierecke und ihre Eigenschaften.
Definierende Eigenschaften | |
Trapez | - ein Paar paralleler Seiten |
- Gleichschenkliges Trapez | - ein Paar paralleler Seiten - gleich lange Schenkel |
- Rechtwinkliges Trapez | - ein Paar paralleler Seiten - ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht |
Parallelogramm | - zwei Paare paralleler Seiten |
Raute | - vier gleich lange Seiten |
Rechteck | - vier rechte Winkel |
Quadrat | - vier rechte Winkel - vier gleich lange Seiten |
Drachenviereck | - eine Diagonale als Symmetrieachse |
Sehnenviereck | - alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis) |
Tangentenviereck | - alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis) |
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