Sehnenviereck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Sehnenviereck ist. Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein Sehnenviereck ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, bei dem
alle vier Seiten Sehnen eines Kreises sind.

Eine Kreissehne ist eine Verbindungsstrecke zweier Punkte auf einem Kreis. Ein Sehnenviereck ist folglich ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem Kreis, dem sog. Umkreis, liegen.

Beispiel eines Sehnenvierecks

In der Abbildung sehen wir deutlich, dass alle Eckpunkte auf einem Kreis liegen.

$M$ ist der Umkreismittelpunkt. $r_u$ ist der Umkreisradius.

Abb. 1 / Sehnenviereck 

Eigenschaften 

Geerbte Eigenschaften 

Ecken 

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Abb. 2 / Ecken 

Seiten 

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Abb. 3 / Seiten 

Winkel 

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Abb. 4 / Winkel 

Diagonale 

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

Abb. 5 / Diagonale 

Spezielle Eigenschaften 

Winkel 

Gegenüberliegende Winkel ergeben zusammen $180^\circ$.
$\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$

Abb. 6 / Winkel 

Umkreis 

Definitionsgemäß ist ein Sehnenviereck ein Viereck mit einem Umkreis.

Abb. 7 / Umkreis 

Sehnenviereck berechnen 

Umfang 

$$ U = a + b + c + d $$

Umfang eines Sehnenvierecks

Abb. 8 / Umfang 

Flächeninhalt 

$$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$

$s$ ist der halbe Umfang des Sehnenvierecks:
$s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)$

Flächeninhalt eines Sehnenvierecks

Abb. 9 / Flächeninhalt 

Spezielle Sehnenvierecke 

Abb. 10 / Gleichschenkliges Trapez 
Abb. 11 / Rechteck 
Abb. 12 / Quadrat 

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