Stufenwinkel (F-Winkel)

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Stufenwinkel sind.

Kontext

So wie wir einzelne Winkel nach ihrer Größe in verschiedene Winkelarten eingeteilt haben, können wir Winkelpaare nach ihrer Lage an einer doppelten Geradenkreuzung einteilen.

Problemstellung

Gegeben ist eine doppelte Geradenkreuzung, die dadurch entsteht, dass entweder zwei parallele Geraden oder aber zwei nicht-parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden.

1. Fall
Die beiden parallelen Geraden \(g_1\) und \(g_2\) werden von einer Geraden \(h\) geschnitten.

2. Fall
Die beiden nicht-parallelen Geraden \(g_1\) und \(g_2\) werden von einer Geraden \(h\) geschnitten.

Wie wir bereits wissen, können wir die Winkelpaare an einer einfachen Geradenkreuzung in Nebenwinkel und Scheitelwinkel einteilen. An einer doppelten Geradenkreuzung treten drei weitere Arten von Winkelpaaren auf: Stufenwinkel, Wechselwinkel und Nachbarwinkel.

Stufenwinkel: Definition

Zwei Winkel, die
(1) auf derselben Seite der Schnittgeraden \(h\) und
(2) auf sich entsprechenden Seiten der geschnittenen Geraden \(g_1\) und \(g_2\)
liegen, heißen Stufenwinkel.

An einer doppelten Geradenkreuzung gibt es
vier Stufenwinkelpaare, nämlich:

\(\alpha_1\) und \(\alpha_2\)
\(\beta_1\) und \(\beta_2\)
\(\gamma_1\) und \(\gamma_2\)
\(\delta_1\) und \(\delta_2\)

Merkhilfe

Wer sich zum ersten Mal mit Stufenwinkeln und seinen Geschwistern, den Wechselwinkeln und Nachbarwinkeln, beschäftigt, steht schnell vor dem Problem, diese irgendwie auseinanderhalten zu müssen. Kluge Mathematiker haben dafür eine Lösung gefunden: Sie haben die Schenkel der Stufenwinkel farbig hervorgehoben und festgestellt, dass diese dem (eventuell gespiegelten) Buchstaben F ähnlich sehen. Deshalb werden Stufenwinkel auch als F-Winkel bezeichnet.

WARNUNG: Es braucht etwas Fantasie und Übung, um das F zu sehen.

\(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) \(\Rightarrow\) gespiegeltes F

\(\beta_1\) und \(\beta_2\) \(\Rightarrow\) normales F

\(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) \(\Rightarrow\) gespiegeltes F (auf dem Kopf)

\(\delta_1\) und \(\delta_2\) \(\Rightarrow\) normales F (auf dem Kopf)

Eine weitere Möglichkeit, sich die zusammengehörenden Winkel zu merken, ist es, sich vorzustellen, dass die zweite Geradenkreuzung aus der ersten entstanden ist.

Gegeben ist eine einfache Geradenkreuzung, die aus den Geraden \(g_1\) und \(h\) gebildet wird.

1.) Wir legen auf \(g_1\) eine identische Gerade \(g_2\).

Beobachtung
Die Winkel der zweiten Geradenkreuzung (\(g_2\) und \(h\)) stimmen mit den Winkeln der ersten Geradenkreuzung (\(g_1\) und \(h\)) überein:
\(\alpha_1 = \alpha_2\), \(\beta_1 = \beta_2\), \(\gamma_1 = \gamma_2\) und \(\delta_1 = \delta_2\).

2.) Wir verschieben \(g_2\) parallel.

Beobachtung
Die Winkel der zweiten Geradenkreuzung (\(g_2\) und \(h\)) stimmen mit den Winkeln der ersten Geradenkreuzung (\(g_1\) und \(h\)) überein:
\(\alpha_1 = \alpha_2\), \(\beta_1 = \beta_2\), \(\gamma_1 = \gamma_2\) und \(\delta_1 = \delta_2\).

3.) Wir drehen \(g_2\).

Beobachtung
Die Winkel der zweiten Geradenkreuzung (\(g_2\) und \(h\)) stimmen mit den Winkeln der ersten Geradenkreuzung (\(g_1\) und \(h\)) nicht überein:
\(\alpha_1 \neq \alpha_2\), \(\beta_1 \neq \beta_2\), \(\gamma_1 \neq \gamma_2\) und \(\delta_1 \neq \delta_2\).

Im Umkehrschluss heißt das: Stufenwinkel sind Winkel, die einander überdecken,
wenn wir eine der Geraden so verschieben (und ggf. drehen), dass sie die andere überdeckt.

Darüber hinaus folgt aus unseren obigen Beobachtungen der

Stufenwinkelsatz

Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Wenn \(g_1\) und \(g_2\) parallel sind, so gilt:

\(\alpha_1 = \alpha_2\)
\(\beta_1 = \beta_2\)
\(\gamma_1 = \gamma_2\)
\(\delta_1 = \delta_2\)

Die Umkehrung des Satzes gilt auch:
Wenn die Stufenwinkel gleich groß sind, so liegen sie an parallelen Geraden.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!