Winkel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einem Winkel verstehen.

Notwendiges Vorwissen: Halbgerade und Strahl

Winkel als geometrisches Gebilde

Einleitung

Stell dir vor, du gehst eines Nachmittags an deiner Schule (Punkt \(S\)) vorbei, um bei der nahegelegenen Apotheke (Punkt \(A\)) einen Hustensaft für deine Schwester zu kaufen.

Dein Weg könnte so aussehen wie in der nebenstehenden Abbildung, wenn nicht...

...plötzlich deine Mutter anrufen würde: „Ich habe vorhin beim Einkaufen die Brötchen vergessen. Könntest du bitte noch schnell beim Bäcker (Punkt \(B\)) vorbeischauen?“.

Unerwarteterweise stehst du nun vor einer Abzweigung: Gehst du geradeaus weiter zur Apotheke \(A\) oder biegst du ab zum Bäcker \(B\)?

Die obige Abbildung zeigt einen Winkel.

Ein Winkel repräsentiert eine Abzweigung.

Mit dem Wort „Abzweigung“ können Mathematiker wenig anfangen. Für sie ist ein Winkel ein geometrisches Gebilde - dazu gehören auch Punkt und Linie - mit bestimmten Eigenschaften:

Ein Winkel ist ein geometrisches Gebilde, das von zwei Strahlen
gebildet wird, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen.

Für die beiden Strahlen und ihren Anfangspunkt gibt es Fachbegriffe, die du dir merken solltest:

Fachbegriff für den Anfangspunkt
- Scheitelpunkt (kurz: Scheitel)

Fachbegriff für die Strahlen
- Schenkel

Die einzelnen Schenkel lassen sich begrifflich voneinander unterscheiden, wenn wir uns vor Augen führen, wie ein Winkel entsteht.

Entstehung eines Winkels

Einleitung (Fortsetzung)

Die Abzweigung, genauer gesagt die bildliche Darstellung davon, entsteht dadurch, dass du von deinem Standpunkt \(S\) aus den Blick von der Apotheke \(A\) hin zur Bäckerei \(B\) wendest. Die zweite Blicklinie geht also aus der ersten Blicklinie durch Drehung deines Kopfes hervor.

Dementsprechend können wir von einem 1. Schenkel und einem 2. Schenkel sprechen.

Wir merken uns:

Ein Winkel entsteht durch Drehung eines Strahls um seinen Anfangspunkt.

Beim Zahlenstrahl - und der Zahlengeraden - haben wir festgelegt, dass von links nach rechts positiv und von rechts nach links negativ gerechnet wird. Auch bei Winkeln stellt sich die Frage, in welche Richtung (Drehrichtung oder Drehsinn) wir positiv und in welche negativ rechnen.

Mathematisch positiver Drehsinn

Eine Drehung
gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung)
entspricht einer Drehung
im mathematisch positiven Sinne.

\(\Rightarrow\) Winkel mit positivem Vorzeichen

Mathematisch negativer Drehsinn

Eine Drehung
im Uhrzeigersinn (Rechtsdrehung)
entspricht einer Drehung
im mathematisch negativen Sinne.

\(\Rightarrow\) Winkel mit negativem Vorzeichen

Bildliche Darstellung von Winkeln

Wem klar ist, in welche Drehrichtung positiv gerechnet wird, kann sich die Pfeilspitzen sparen.

Winkel werden in Abbildungen durch Kreisbögen veranschaulicht.

Zur bildlichen Darstellung eines Winkels
ist ein Kreisbogen völlig ausreichend.

Insbesondere in farbigen Abbildungen wird jedoch oft noch zusätzlich der zum Kreisbogen gehörende Kreissektor ausgemalt.

In welchem Abstand der Kreisbogen zum Mittelpunkt (Radius) gezeichnet wird, hat keinen Einfluss auf den Winkel. In den folgenden beiden Abbildungen ist also derselbe Winkel gemeint.

Kreisbogen mit Radius \(r = 1~\mathrm{LE}\)

Kreisbogen mit Radius \(r = 2~\mathrm{LE}\)

Bezeichnung von Winkeln

Um einen bestimmten Winkel ansprechen zu können, müssen wir ihm einen Spitznamen geben.
Das ist vor allem dann wichtig, wenn in einer Abbildung mehrere Winkel eingezeichnet sind. Grundsätzlich gibt es drei Möglichkeiten, um einem Winkel einen Namen zuzuweisen.

Zur Erinnerung

Der 1. Schenkel wird durch Drehung gegen den Uhrzeigersinn auf den 2. Schenkel abgebildet.

a) Bezeichnung durch drei Punkte

Ein Winkel kann durch drei Punkte bezeichnet werden, wobei der erste Punkt auf dem 1. Schenkel, der zweite Punkt im Scheitel und der dritte Punkt auf dem 2. Schenkel liegt.

Mathematische Schreibweise
- \(\sphericalangle ASB\)

Mathematische Sprechweise
- „Winkel A S B

Mathematische Schreibweise
- \(\sphericalangle BSA\)

Mathematische Sprechweise
- „Winkel B S A

b) Bezeichnung durch zwei Strahlen

Ein Winkel kann durch die beiden ihn bildenden Strahlen (Schenkel) bezeichnet werden.
Dabei wird der 1. Schenkel stets zuerst genannt - wie bei der Bezeichnung durch drei Punkte.

Mathematische Schreibweise
- \(\sphericalangle (a,b)\)

Mathematische Sprechweise
- „Winkel a b

Mathematische Schreibweise
- \(\sphericalangle (b,a)\)

Mathematische Sprechweise
- „Winkel b a

c) Bezeichnung durch kleine griechische Buchstaben

Ein Winkel kann durch einen kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden.
Am gebräuchlichsten sind \(\alpha\) (alpha), \(\beta\) (beta), \(\gamma\) (gamma), \(\delta\) (delta) und \(\epsilon\) (epsilon).

Mathematische Schreibweise
- \(\alpha\)

Mathematische Sprechweise
- „alpha

Mathematische Schreibweise
- \(\beta\)

Mathematische Sprechweise
- „beta

Einem Winkel eine neue Bezeichnung zuweisen

Mathematiker sind schreibfaul. Sie neigen deshalb dazu, Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben zu bezeichnen. Falls in einer Aufgabe z. B. von einem Winkel \(\sphericalangle ASB\) die Rede ist, kannst du diesem durch die Angabe von \(\alpha = \sphericalangle ASB\) am Anfang deiner Lösung eine neue Bezeichnung zuweisen und im weiteren Verlauf deiner Ausführungen vom Winkel \(\alpha\) sprechen.

Zahlenmäßige Darstellung von Winkeln

Neben der bildlichen Darstellung können wir Winkel auch zahlenmäßig darstellen. Dabei stellt sich die Frage, was die Winkelgröße eigentlich genau ist und wie wir Winkel messen können.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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