Winkel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einem Winkel verstehen.

Erforderliches Vorwissen

Winkel als geometrisches Gebilde 

Einleitung

Stell dir vor, du gehst eines Nachmittags an deiner Schule (Punkt $S$) vorbei, um bei der nahegelegenen Apotheke (Punkt $A$) einen Hustensaft für deine Schwester zu kaufen.

Dein Weg könnte so aussehen wie in der Abbildung, wenn nicht…

Abb. 1 / Ein Strahl 

…plötzlich deine Mutter anrufen würde: Ich habe vorhin beim Einkaufen die Brötchen vergessen. Könntest du bitte noch schnell beim Bäcker (Punkt $B$) vorbeischauen?.

Unerwarteterweise stehst du nun vor einer Abzweigung: Gehst du geradeaus weiter zur Apotheke $A$ oder biegst du ab zum Bäcker $B$?

Abb. 2 / Zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen 

Die obige Abbildung zeigt einen Winkel.

Ein Winkel repräsentiert eine Abzweigung.

Mit dem Wort Abzweigung können Mathematiker wenig anfangen. Für sie ist ein Winkel ein geometrisches Gebilde — dazu gehören auch Punkt und Linie – mit bestimmten Eigenschaften:

Ein Winkel ist ein geometrisches Gebilde, das von zwei Strahlen gebildet wird, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen.

Für die beiden Strahlen und ihren Anfangspunkt gibt es Fachbegriffe, die du dir merken solltest:

Fachbegriff für den Anfangspunkt

  • Scheitelpunkt (kurz: Scheitel)

Fachbegriff für die Strahlen

  • Schenkel

Die einzelnen Schenkel lassen sich begrifflich voneinander unterscheiden, wenn wir uns vor Augen führen, wie ein Winkel entsteht.

Abb. 3 / Bestandteile eines Winkels 

Entstehung eines Winkels 

Einleitung (Fortsetzung)

Die Abzweigung, genauer gesagt die bildliche Darstellung davon, entsteht dadurch, dass du von deinem Standpunkt $S$ aus den Blick von der Apotheke $A$ hin zur Bäckerei $B$ wendest. Die zweite Blicklinie geht also aus der ersten Blicklinie durch Drehung deines Kopfes hervor.

Dementsprechend können wir von einem 1. Schenkel und einem 2. Schenkel sprechen.

Abb. 4 / Entstehung eines Winkels 

Wir merken uns:

Ein Winkel entsteht durch Drehung eines Strahls um seinen Anfangspunkt.

Beim Zahlenstrahl – und der Zahlengerade – haben wir festgelegt, dass von links nach rechts positiv und von rechts nach links negativ gerechnet wird. Auch bei Winkeln stellt sich die Frage, in welche Richtung (Drehrichtung oder Drehsinn) wir positiv und in welche negativ rechnen.

Mathematisch positiver Drehsinn

Eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) entspricht einer Drehung im mathematisch positiven Sinne.

$\Rightarrow$ Winkel mit positivem Vorzeichen

Abb. 5 / Drehung gegen den Uhrzeigersinn 

Mathematisch negativer Drehsinn

Eine Drehung im Uhrzeigersinn (Rechtsdrehung) entspricht einer Drehung im mathematisch negativen Sinne.

$\Rightarrow$ Winkel mit negativem Vorzeichen

Abb. 6 / Drehung im Uhrzeigersinn 

Bildliche Darstellung von Winkeln 

Wem klar ist, in welche Drehrichtung positiv gerechnet wird, kann sich die Pfeilspitzen sparen.

Winkel werden in Abbildungen durch Kreisbögen veranschaulicht.

Zur bildlichen Darstellung eines Winkels ist ein Kreisbogen völlig ausreichend.

Abb. 7 / Winkel als Kreisbogen 

Insbesondere in farbigen Abbildungen wird jedoch oft noch zusätzlich der zum Kreisbogen gehörende Kreissektor ausgemalt.

Abb. 8 / Winkel als Kreissektor 

In welchem Abstand der Kreisbogen zum Mittelpunkt (Radius) gezeichnet wird, hat keinen Einfluss auf den Winkel. In den folgenden beiden Abbildungen ist also derselbe Winkel gemeint.

Kreisbogen mit Radius $r = 1\ \textrm{LE}$

Abb. 9 / Winkel als Kreisbogen mit Radius $r = 1\ \textrm{LE}$ 

Kreisbogen mit Radius $r = 2\ \textrm{LE}$

Abb. 10 / Winkel als Kreisbogen mit Radius $r = 2\ \textrm{LE}$ 

Bezeichnung von Winkeln 

Um einen bestimmten Winkel ansprechen zu können, müssen wir ihm einen Spitznamen geben. Das ist vor allem dann wichtig, wenn in einer Abbildung mehrere Winkel eingezeichnet sind. Grundsätzlich gibt es drei Möglichkeiten, um einem Winkel einen Namen zuzuweisen.

Zur Erinnerung: Der 1. Schenkel wird durch Drehung gegen den Uhrzeigersinn auf den 2. Schenkel abgebildet.

Bezeichnung durch drei Punkte 

Ein Winkel kann durch drei Punkte bezeichnet werden, wobei der erste Punkt auf dem 1. Schenkel, der zweite Punkt im Scheitel und der dritte Punkt auf dem 2. Schenkel liegt.

Mathematische Schreibweise

  • $\sphericalangle ASB$

Mathematische Sprechweise

  • Winkel A S B
Abb. 11 / Winkel $\sphericalangle ASB$ 

Mathematische Schreibweise

  • $\sphericalangle BSA$

Mathematische Sprechweise

  • Winkel B S A
Abb. 12 / Winkel $\sphericalangle BSA$ 

Bezeichnung durch zwei Strahlen 

Ein Winkel kann durch die beiden ihn bildenden Strahlen (Schenkel) bezeichnet werden.

Dabei wird der 1. Schenkel stets zuerst genannt – wie bei der Bezeichnung durch drei Punkte.

Mathematische Schreibweise

  • $\sphericalangle (a,b)$

Mathematische Sprechweise

  • Winkel a b
Abb. 13 / Winkel $\sphericalangle (a,b)$ 

Mathematische Schreibweise

  • $\sphericalangle (b,a)$

Mathematische Sprechweise

  • Winkel b a
Abb. 14 / Winkel $\sphericalangle (b,a)$ 

Bezeichnung durch kleine griechische Buchstaben 

Ein Winkel kann durch einen kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden.

Am gebräuchlichsten sind $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma), $\delta$ (delta) und $\epsilon$ (epsilon).

Mathematische Schreibweise

  • $\alpha$

Mathematische Sprechweise

  • alpha
Abb. 15 / Winkel $\alpha$ 

Mathematische Schreibweise

  • $\beta$

Mathematische Sprechweise

  • beta
Abb. 16 / Winkel $\beta$ 

Einem Winkel eine neue Bezeichnung zuweisen

Mathematiker sind schreibfaul. Sie neigen deshalb dazu, Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben zu bezeichnen. Falls in einer Aufgabe z. B. von einem Winkel $\sphericalangle ASB$ die Rede ist, kannst du diesem durch die Angabe von $\alpha = \sphericalangle ASB$ am Anfang deiner Lösung eine neue Bezeichnung zuweisen und im weiteren Verlauf deiner Ausführungen vom Winkel $\alpha$ sprechen.

Zahlenmäßige Darstellung von Winkeln 

Neben der bildlichen Darstellung können wir Winkel auch zahlenmäßig darstellen. Dabei stellt sich die Frage, was die Winkelgröße eigentlich genau ist und wie wir Winkel messen können.

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