Kreisausschnitt
In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisausschnitt etwas genauer an.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Definition
Gegeben sei eine ganze Kreisfläche.
Jeder Teil der Kreisfläche,
der von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt wird,
heißt Kreisausschnitt oder Kreissektor.
Zwei Radien teilen die Kreisfläche in zwei Kreisausschnitte.
Ein Kreisausschnitt ist bildlich gesprochen ein Tortenstück
des Kreises.
Kreisausschnitt berechnen
Aus dem Kapitel zum Mittelpunktswinkel wissen wir, dass es zu jedem Kreisbogen \(b\) genau einen Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gibt.
Wenn zum Flächeninhalt eines Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gehört…
…dann gehört zum Flächeninhalt eines ganzen Kreises \(A_{\mathrm{Kreis}}\) der Vollwinkel \(360^\circ\).
Diesen Zusammenhang können wir als Verhältnisgleichung ausdrücken:
\begin{align*} \frac{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}}{A_{\mathrm{Kreis}}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \end{align*}
Übersetzung
Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) verhält sich zum Flächeninhalt des Kreises \(A_{\mathrm{Kreis}}\) wie der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) zum Vollwinkel \(360^\circ\).
Mittelpunktswinkel und Flächeninhalt Kreis gegeben
Formel
Die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts erhalten wir, indem wir die Verhältnisgleichung nach \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) umstellen:
\begin{align*} \frac{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}}{A_{\mathrm{Kreis}}} = \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}|\cdot A_{\mathrm{Kreis}}} \end{align*}
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}} \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(\alpha\) und \(A_{\mathrm{Kreis}}\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 45^\circ\) und einem Kreis mit dem Flächeninhalt \(A_{\mathrm{Kreis}} = 24~\mathrm{cm}^2\) gehört.
Formel aufschreiben
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}} \end{align*}
Werte für \(\alpha\) und \(A_{\mathrm{Kreis}}\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{45^\circ }{360^\circ} \cdot 24~\mathrm{cm}^2 \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = 3~\mathrm{cm}^2 \end{align*}
Anmerkung
\(45^\circ\) ist \(\frac{1}{8}\) von \(360^\circ\).
\(\Rightarrow\) Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) beträgt \(\frac{1}{8}\) des Flächeninhalts des Kreises \(A_{\mathrm{Kreis}}\).
Mittelpunktswinkel und Radius gegeben
Formel
Einsetzen von \(A_{\mathrm{Kreis}} = \pi \cdot r^2\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}}\) führt zu:
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 90^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\) gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \end{align*}
Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{90^\circ }{360^\circ} \cdot \pi \cdot (1~\mathrm{m})^2 \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 0{,}785\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 0{,}79~\mathrm{m}^2 \end{align*}
Mittelpunktswinkel und Durchmesser gegeben
Formel
Einsetzen von \(A_{\mathrm{Kreis}} = \frac{\pi}{4} \cdot d^2\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}}\) führt zu:
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 30^\circ\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 2{,}5~\mathrm{km}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}
Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{30^\circ }{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot (2{,}5~\mathrm{km})^2 \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 0{,}40\ldots~\mathrm{km}^2 \\[5px] & \approx 0{,}4~\mathrm{km}^2 \end{align*}
Bogenlänge und Radius gegeben
Formel
Formel für die Bogenlänge nach \(\alpha\) auflösen
\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|:(2\pi \cdot r)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{2\pi \cdot r} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot r} \end{align*}
Einsetzen von \(\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot r}\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2\) führt zu:
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{b \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{360^\circ}}}}{2{\color{red}\cancel{\color{black}{\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{r}}}} \cdot \frac{1}{{\color{red}\cancel{\color{black}{360^\circ}}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{r}}} \cdot r \end{align*}
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(b\) und \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 10~\mathrm{cm}\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 4~\mathrm{cm}\) gehört.
Formel aufschreiben
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \end{align*}
Werte für \(b\) und \(r\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{1}{2} \cdot 10~\mathrm{cm} \cdot 4~\mathrm{cm} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 20~\mathrm{cm}^2 \end{align*}
Bogenlänge und Durchmesser gegeben
Formel
Einsetzen von \(r = \frac{1}{2}d\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\) führt zu:
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 8~\mathrm{m}\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 3~\mathrm{m}\) gehört.
Formel aufschreiben
\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d \end{align*}
Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{1}{4} \cdot 8~\mathrm{m} \cdot 3~\mathrm{m} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 6~\mathrm{m}^2 \end{align*}
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