Kreisausschnitt

In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisausschnitt etwas genauer an.

Definition

Gegeben sei eine ganze Kreisfläche.

Kreisfläche
Kreisfläche

Jeder Teil der Kreisfläche,
der von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt wird,
heißt Kreisausschnitt oder Kreissektor.

Zwei Radien teilen die Kreisfläche in zwei Kreisausschnitte.

Kreisausschnitt 1
Kreisausschnitt 1
Kreisausschnitt 2
Kreisausschnitt 2

Ein Kreisausschnitt ist bildlich gesprochen ein Tortenstück des Kreises.

Kreisausschnitt berechnen

Aus dem Kapitel zum Mittelpunktswinkel wissen wir, dass es zu jedem Kreisbogen \(b\) genau einen Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gibt.

Wenn zum Flächeninhalt eines Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gehört…

Flächeninhalt Kreisausschnitt entspricht Mittelpunktswinkel
\(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} \;\widehat{=}\; \alpha\)

…dann gehört zum Flächeninhalt eines ganzen Kreises \(A_{\mathrm{Kreis}}\) der Vollwinkel \(360^\circ\).

Flächeninhalt Kreis entspricht Vollwinkel
\(A_{\mathrm{Kreis}} \;\widehat{=}\; 360^\circ\)

Diesen Zusammenhang können wir als Verhältnisgleichung ausdrücken:

\begin{align*} \frac{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}}{A_{\mathrm{Kreis}}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \end{align*}

Übersetzung

Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) verhält sich zum Flächeninhalt des Kreises \(A_{\mathrm{Kreis}}\) wie der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) zum Vollwinkel \(360^\circ\).

Mittelpunktswinkel und Flächeninhalt Kreis gegeben

Formel

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts erhalten wir, indem wir die Verhältnisgleichung nach \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) umstellen:

\begin{align*} \frac{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}}{A_{\mathrm{Kreis}}} = \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}|\cdot A_{\mathrm{Kreis}}} \end{align*}

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(A_{\mathrm{Kreis}}\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 45^\circ\) und einem Kreis mit dem Flächeninhalt \(A_{\mathrm{Kreis}} = 24~\mathrm{cm}^2\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}} \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(A_{\mathrm{Kreis}}\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{45^\circ }{360^\circ} \cdot 24~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = 3~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Anmerkung

\(45^\circ\) ist \(\frac{1}{8}\) von \(360^\circ\).
\(\Rightarrow\) Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\) beträgt \(\frac{1}{8}\) des Flächeninhalts des Kreises \(A_{\mathrm{Kreis}}\).

Mittelpunktswinkel und Radius gegeben

Formel

Einsetzen von \(A_{\mathrm{Kreis}} = \pi \cdot r^2\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}}\) führt zu:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 90^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\) gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{90^\circ }{360^\circ} \cdot \pi \cdot (1~\mathrm{m})^2 \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 0{,}785\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 0{,}79~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Mittelpunktswinkel und Durchmesser gegeben

Formel

Einsetzen von \(A_{\mathrm{Kreis}} = \frac{\pi}{4} \cdot d^2\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}}\) führt zu:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 30^\circ\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 2{,}5~\mathrm{km}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{30^\circ }{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot (2{,}5~\mathrm{km})^2 \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 0{,}40\ldots~\mathrm{km}^2 \\[5px] & \approx 0{,}4~\mathrm{km}^2 \end{align*}

Bogenlänge und Radius gegeben

Formel

Formel für die Bogenlänge nach \(\alpha\) auflösen

\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|:(2\pi \cdot r)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{2\pi \cdot r} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot r} \end{align*}

Einsetzen von \(\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot r}\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2\) führt zu:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{b \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{360^\circ}}}}{2{\color{red}\cancel{\color{black}{\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{r}}}} \cdot \frac{1}{{\color{red}\cancel{\color{black}{360^\circ}}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{\color{black}{r}}} \cdot r \end{align*}

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 10~\mathrm{cm}\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 4~\mathrm{cm}\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \end{align*}

Werte für \(b\) und \(r\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{1}{2} \cdot 10~\mathrm{cm} \cdot 4~\mathrm{cm} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 20~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Bogenlänge und Durchmesser gegeben

Formel

Einsetzen von \(r = \frac{1}{2}d\) in \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\) führt zu:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts \(A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 8~\mathrm{m}\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 3~\mathrm{m}\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d \end{align*}

Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} = \frac{1}{4} \cdot 8~\mathrm{m} \cdot 3~\mathrm{m} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisausschnitt}}} & = 6~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Lob, Kritik, Anregungen? Schreib mir!

Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

PS: Schon die aktuelle Folge meiner #MatheAmMontag-Reihe gesehen?

Jetzt Mathebibel TV abonnieren und keine Folge mehr verpassen!