Kreisbogen

In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisbogen etwas genauer an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Gegeben sei ein ganzer Kreis.

Kreis
Kreis

Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen \(b\).

Zwei Kreispunkte teilen die Kreislinie in zwei Kreisbögen.

Kreisbogen 1
Kreisbogen 1
Kreisbogen 2
Kreisbogen 2

Schreibweise

Wenn wir die beiden oben abgebildeten Kreisbögen einzeln ansprechen wollen, können wir sie mit \(b_1\) und \(b_2\) bezeichnen. Häufig dienen aber auch die Begrenzungspunkte \(A\) und \(B\) als Bezeichner. Dann ist

  • \(\overset{\frown}{AB}\) der Kreisbogen, den wir erhalten, wenn wir vom Punkt \(A\) gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt \(B\) wandern.
Kreisbogen AB
Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\)
  • \(\overset{\frown}{BA}\) der Kreisbogen, den wir erhalten, wenn wir vom Punkt \(B\) gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt \(A\) wandern.
Kreisbogen BA
Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\)

Bogenlänge berechnen

Aus dem Kapitel zum Mittelpunktswinkel wissen wir, dass es zu jedem Kreisbogen \(b\) genau einen Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gibt.

Wenn zur Länge des Kreisbogens \(b\) der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gehört…

bla
\(b \;\widehat{=}\; \alpha\)

…dann gehört zum Kreisumfang \(u\) der Vollwinkel \(360^\circ\).

bla
\(u \;\widehat{=}\; 360^\circ\)

Diesen Zusammenhang können wir als Verhältnisgleichung ausdrücken:

\begin{align*} \frac{b}{u} = \frac{\alpha}{360^\circ} \end{align*}

Übersetzung

Der Kreisbogen \(b\) verhält sich zum Kreisumfang \(u\) wie der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) zum Vollwinkel \(360^\circ\).

Mittelpunktswinkel und Umfang gegeben

Formel

Die Formel für die Bogenlänge erhalten wir, indem wir die Verhältnisgleichung nach \(b\) umstellen:

\begin{align*} \frac{b}{u} = \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}|\cdot u} \end{align*}

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(u\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 90^\circ\) und einem Kreis mit dem Umfang \(u = 10~\mathrm{cm}\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(u\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{b} = \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } \cdot 10~\mathrm{cm} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{b} = 2{,}5~\mathrm{cm} \end{align*}

Anmerkung

\(90^\circ\) ist \(\frac{1}{4}\) von \(360^\circ\).
\(\Rightarrow\) Die Länge des Kreisbogens \(b\) beträgt \(\frac{1}{4}\) des Kreisumfangs \(u\).

Mittelpunktswinkel und Radius gegeben

Formel

Einsetzen von \(u = 2\pi \cdot r\) in \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u\) führt zu:

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 45^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 2~\mathrm{m}\) gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{b} = \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } \cdot 2\pi \cdot 2~\mathrm{m} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{b} & = 1{,}570\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 1{,}57~\mathrm{m} \end{align*}

Mittelpunktswinkel und Durchmesser gegeben

Formel

Einsetzen von \(u = \pi \cdot d\) in \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u\) führt zu:

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 115^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(d = 1~\mathrm{km}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{b} = \frac{ 115^\circ }{ 360^\circ } \cdot \pi \cdot 1~\mathrm{km} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{b} & = 1{,}00\ldots~\mathrm{km} \\[5px] & \approx 1{,}0~\mathrm{km} \end{align*}

Kreisausschnitt und Radius gegeben

Formel

\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \end{align*}

Formel nach \(b\) umstellen

\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{1}{2} \cdot b \cdot r &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:\frac{1}{2}r} \\[5px] b &= \frac{2 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{r} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Kreisausschnitt mit dem Flächeninhalt \(A = 25~\mathrm{cm}^2\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 4~\mathrm{cm}\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} b = \frac{2 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{r} \end{align*}

Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(r\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{b} = \frac{2 \cdot 25~\mathrm{cm}^2}{4~\mathrm{cm}} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{b} & = 12{,}5~\mathrm{cm} \end{align*}

Kreisausschnitt und Durchmesser gegeben

Formel

\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d \end{align*}

Formel nach \(b\) umstellen

\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{1}{4} \cdot b \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{1}{4} \cdot b \cdot d &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:\frac{1}{4}d} \\[5px] b &= \frac{4 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{d} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Kreisausschnitt mit dem Flächeninhalt \(A = 6~\mathrm{m}^2\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 3~\mathrm{m}\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} b = \frac{4 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{d} \end{align*}

Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(d\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{b} = \frac{4 \cdot 6~\mathrm{m}^2}{3~\mathrm{m}} \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{b} & = 8~\mathrm{m} \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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