Kreisbogen
In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt, Kreisabschnitt und Kreisring. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisbogen etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen $\boldsymbol{b}$.
Zwei Kreispunkte teilen die Kreislinie in zwei Kreisbögen.
Schreibweise
Wenn wir die beiden oben abgebildeten Kreisbögen einzeln ansprechen wollen, können wir sie mit $b_1$ und $b_2$ bezeichnen. Häufig dienen aber auch die Begrenzungspunkte $A$ und $B$ als Bezeichner. Dann ist
$\overset{\frown}{AB}$der Kreisbogen, den wir erhalten, wenn wir vom Punkt$A$gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt$B$wandern.
$\overset{\frown}{BA}$der Kreisbogen, den wir erhalten, wenn wir vom Punkt$B$gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt$A$wandern.
Bogenlänge berechnen
Aus dem Kapitel zum Mittelpunktswinkel wissen wir, dass es zu jedem Kreisbogen $b$ genau einen Mittelpunktswinkel $\alpha$ gibt.
Wenn zur Länge des Kreisbogens $b$ der Mittelpunktswinkel $\alpha$ gehört…
…dann gehört zum Kreisumfang $u$ der Vollwinkel $360^\circ$.
Diesen Zusammenhang können wir als Verhältnisgleichung ausdrücken:
$$ \frac{b}{u} = \frac{\alpha}{360^\circ} $$
Übersetzung
Der Kreisbogen
$b$ verhält sich zum Kreisumfang $u$ wie der Mittelpunktswinkel $\alpha$ zum Vollwinkel $360^\circ$.
Mittelpunktswinkel und Umfang gegeben
Formel
Die Formel für die Bogenlänge erhalten wir, indem wir die Verhältnisgleichung nach $b$ umstellen:
$$ \begin{align*} \frac{b}{u} = \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}|\cdot u} \end{align*} $$
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{u}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens $b$, der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 90^\circ$ und einem Kreis mit dem Umfang $u = 10\ \textrm{cm}$ gehört.
Formel aufschreiben
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u $$
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{u}$ einsetzen
$$ \phantom{b} = \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } \cdot 10\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{b} = 2{,}5\ \textrm{cm} $$
Anmerkung
$90^\circ$ ist $\frac{1}{4}$ von $360^\circ$.
$\Rightarrow$ Die Länge des Kreisbogens $b$ beträgt $\frac{1}{4}$ des Kreisumfangs $u$.
Mittelpunktswinkel und Radius gegeben
Formel
Einsetzen von $u = 2\pi \cdot r$ in $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u$ führt zu:
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens $b$, der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 45^\circ$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 2\ \textrm{m}$ gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r $$
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{b} = \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } \cdot 2\pi \cdot 2\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{b} &= 1{,}570\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 1{,}57\ \textrm{m} \end{align*} $$
Mittelpunktswinkel und Durchmesser gegeben
Formel
Einsetzen von $u = \pi \cdot d$ in $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u$ führt zu:
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens $b$, der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 115^\circ$ und einem Kreis mit dem Radius $d = 1\ \textrm{km}$ gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $$
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{b} = \frac{ 115^\circ }{ 360^\circ } \cdot \pi \cdot 1\ \textrm{km} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{b} &= 1{,}00\ldots\ \textrm{km} \\[5px] &\approx 1{,}0\ \textrm{km} \end{align*} $$
Kreisausschnitt und Radius gegeben
Formel
$$ A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r $$
Formel nach $b$ umstellen
$$ \begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{1}{2} \cdot b \cdot r &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:\frac{1}{2}r} \\[5px] b &= \frac{2 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{r} \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens $b$, der zu einem Kreisausschnitt mit dem Flächeninhalt $A = 25\ \textrm{cm}^2$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 4\ \textrm{cm}$ gehört.
Formel aufschreiben
$$ b = \frac{2 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{r} $$
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{b} = \frac{2 \cdot 25\ \textrm{cm}^2}{4\ \textrm{cm}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{b} = 12{,}5\ \textrm{cm} $$
Kreisausschnitt und Durchmesser gegeben
Formel
$$ A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d $$
Formel nach $b$ umstellen
$$ \begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{1}{4} \cdot b \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{1}{4} \cdot b \cdot d &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:\frac{1}{4}d} \\[5px] b &= \frac{4 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{d} \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens $b$, der zu einem Kreisausschnitt mit dem Flächeninhalt $A = 6\ \textrm{m}^2$ und einem Kreis mit dem Durchmesser $d = 3\ \textrm{m}$ gehört.
Formel aufschreiben
$$ b = \frac{4 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{d} $$
Werte für $\boldsymbol{A_{\textbf{Kreisausschnitt}}}$ und $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{b} = \frac{4 \cdot 6\ \textrm{m}^2}{3\ \textrm{m}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{b} = 8\ \textrm{m} $$
