Kreisbogen
In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisbogen etwas genauer an.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Definition
Gegeben sei ein ganzer Kreis.
Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen \(b\).
Zwei Kreispunkte teilen die Kreislinie in zwei Kreisbögen.
Schreibweise
Wenn wir die beiden oben abgebildeten Kreisbögen einzeln ansprechen wollen, können wir sie mit \(b_1\) und \(b_2\) bezeichnen. Häufig dienen aber auch die Begrenzungspunkte \(A\) und \(B\) als Bezeichner. Dann ist
- \(\overset{\frown}{AB}\) der Kreisbogen, den wir erhalten, wenn wir vom Punkt \(A\) gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt \(B\) wandern.
- \(\overset{\frown}{BA}\) der Kreisbogen, den wir erhalten, wenn wir vom Punkt \(B\) gegen den Uhrzeigersinn zum Punkt \(A\) wandern.
Bogenlänge berechnen
Aus dem Kapitel zum Mittelpunktswinkel wissen wir, dass es zu jedem Kreisbogen \(b\) genau einen Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gibt.
Wenn zur Länge des Kreisbogens \(b\) der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) gehört…
…dann gehört zum Kreisumfang \(u\) der Vollwinkel \(360^\circ\).
Diesen Zusammenhang können wir als Verhältnisgleichung ausdrücken:
\begin{align*} \frac{b}{u} = \frac{\alpha}{360^\circ} \end{align*}
Übersetzung
Der Kreisbogen \(b\) verhält sich zum Kreisumfang \(u\) wie der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) zum Vollwinkel \(360^\circ\).
Mittelpunktswinkel und Umfang gegeben
Formel
Die Formel für die Bogenlänge erhalten wir, indem wir die Verhältnisgleichung nach \(b\) umstellen:
\begin{align*} \frac{b}{u} = \frac{\alpha}{360^\circ} &&{\color{gray}|\cdot u} \end{align*}
\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(\alpha\) und \(u\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 90^\circ\) und einem Kreis mit dem Umfang \(u = 10~\mathrm{cm}\) gehört.
Formel aufschreiben
\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u \end{align*}
Werte für \(\alpha\) und \(u\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{b} = \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } \cdot 10~\mathrm{cm} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{b} = 2{,}5~\mathrm{cm} \end{align*}
Anmerkung
\(90^\circ\) ist \(\frac{1}{4}\) von \(360^\circ\).
\(\Rightarrow\) Die Länge des Kreisbogens \(b\) beträgt \(\frac{1}{4}\) des Kreisumfangs \(u\).
Mittelpunktswinkel und Radius gegeben
Formel
Einsetzen von \(u = 2\pi \cdot r\) in \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u\) führt zu:
\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 45^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 2~\mathrm{m}\) gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r \end{align*}
Werte für \(\alpha\) und \(r\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{b} = \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } \cdot 2\pi \cdot 2~\mathrm{m} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{b} & = 1{,}570\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 1{,}57~\mathrm{m} \end{align*}
Mittelpunktswinkel und Durchmesser gegeben
Formel
Einsetzen von \(u = \pi \cdot d\) in \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u\) führt zu:
\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 115^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(d = 1~\mathrm{km}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \end{align*}
Werte für \(\alpha\) und \(d\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{b} = \frac{ 115^\circ }{ 360^\circ } \cdot \pi \cdot 1~\mathrm{km} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{b} & = 1{,}00\ldots~\mathrm{km} \\[5px] & \approx 1{,}0~\mathrm{km} \end{align*}
Kreisausschnitt und Radius gegeben
Formel
\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \end{align*}
Formel nach \(b\) umstellen
\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{1}{2} \cdot b \cdot r &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:\frac{1}{2}r} \\[5px] b &= \frac{2 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{r} \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Kreisausschnitt mit dem Flächeninhalt \(A = 25~\mathrm{cm}^2\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 4~\mathrm{cm}\) gehört.
Formel aufschreiben
\begin{align*} b = \frac{2 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{r} \end{align*}
Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(r\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{b} = \frac{2 \cdot 25~\mathrm{cm}^2}{4~\mathrm{cm}} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{b} & = 12{,}5~\mathrm{cm} \end{align*}
Kreisausschnitt und Durchmesser gegeben
Formel
\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot d \end{align*}
Formel nach \(b\) umstellen
\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{1}{4} \cdot b \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{1}{4} \cdot b \cdot d &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|:\frac{1}{4}d} \\[5px] b &= \frac{4 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{d} \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiel
Beispiel
Berechne die Länge des Kreisbogens \(b\), der zu einem Kreisausschnitt mit dem Flächeninhalt \(A = 6~\mathrm{m}^2\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 3~\mathrm{m}\) gehört.
Formel aufschreiben
\begin{align*} b = \frac{4 \cdot A_{\text{Kreisausschnitt}}}{d} \end{align*}
Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(d\) einsetzen
\begin{align*} \phantom{b} = \frac{4 \cdot 6~\mathrm{m}^2}{3~\mathrm{m}} \end{align*}
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{b} & = 8~\mathrm{m} \end{align*}
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