Zentrische Streckung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was sich hinter der zentrischen Streckung verbirgt.

Definition 

Die zentrische Streckung ist eine Abbildung,
die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert,
wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind.

Wenn du diese Definition nicht auf Anhieb verstehst, ist das nicht schlimm. Wir schauen uns gleich die zentrische Streckung an einem ausführlichen Beispiel an. Danach solltest du verstanden haben, was mit diesem Begriff gemeint ist.

Beispiel 1 

Gegeben ist eine beliebige geometrische Figur. In unserem Fall handelt es sich um ein Quadrat.

Abb. 1 / Zentrische Streckung (1/7) 

Außerdem ist ein Streckungszentrum $Z$ gegeben.

Unsere Aufgabe ist es nun, jede Strecke (d. h. alle vier Seiten) des Quadrats zu verdoppeln.

Abb. 2 / Zentrische Streckung (2/7) 

Dazu zeichnen wir zunächst Geraden von dem Streckungszentrum $Z$ zu den vier Eckpunkten des Quadrats.

Abb. 3 / Zentrische Streckung (3/7) 

Jetzt messen wir die Länge (z. B. mit einem Lineal) zwischen dem Streckungszentrum $Z$ und einem der Eckpunkte. In unserem Beispiel handelt es sich um den linken unteren Eckpunkt des Quadrats, den wir mit dem Buchstaben $A$ bezeichnen.

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die Strecke $\overline{ZA}$ gleich $2\ \textrm{cm}$ ist.

Abb. 4 / Zentrische Streckung (4/7) 

Da wir jede Seite des Quadrats verdoppeln wollen, gehen wir nun zum Streckungszentrum $Z$ und zeichnen auf der Gerade, auf der der Eckpunkt $A$ liegt, den Punkt $A'$ im Abstand von $2 \cdot \overline{ZA}= 2 \cdot 2\ \textrm{cm} = 4\ \textrm{cm}$ ab.

Auf diese Weise ist der Punkt $A'$ doppelt soweit vom Streckungszentrum $Z$ entfernt wie der Punkt $A$.

Abb. 5 / Zentrische Streckung (5/7) 

Bei den anderen drei Eckpunkten gehen wir genauso vor.

Zuerst messen wir die Länge zwischen dem Eckpunkt und dem Streckungszentrum $Z$. Im Anschluss daran tragen wir einen weiteren Punkt im doppelten Abstand zum Streckungszentrum $Z$ ab. Dadurch erhalten wir die Punkte $B'$, $C'$ und $D'$.

Abb. 6 / Zentrische Streckung (6/7) 

Zum Schluss müssen wir nur noch die eben eingezeichneten Punkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ miteinander verbinden. Die zentrische Streckung ist damit beendet. Wir haben unser Ziel erreicht: Die Seiten des neuen Quadrats $A'B'C'D'$ sind doppelt so lang wie die Seiten des ursprünglichen Quadrats $ABCD$.

Abb. 7 / Zentrische Streckung (7/7) 

Was ist der Streckungsfaktor?

Im vorangegangenen Beispiel war es unsere Aufgabe, jede Strecke (d. h. alle vier Seiten) des Quadrats zu verdoppeln.

Rechnerisch haben wir die Verdoppelung der Seitenlängen durch eine Multiplikation mit $2$ umgesetzt:

$$ \overline{ZA'} = 2 \cdot \overline{ZA} $$

$$ \overline{ZB'} = 2 \cdot \overline{ZB} $$

$$ \overline{ZC'} = 2 \cdot \overline{ZC} $$

$$ \overline{ZD'} = 2 \cdot \overline{ZD} $$

Ohne es zu wissen, haben wir hier mit dem sog. Streckungsfaktor gerechnet.

Der Streckungsfaktor gibt an, um welchen Faktor das geometrische Objekt gestreckt wird.

In unserem Beispiel haben wir es mit einem Faktor von $2$ zu tun, was einer Verdopplung jeder Seitenlänge entspricht.

Den Streckungsfakor bezeichnet man allgemein meist mit dem Buchstaben $m$.

Was braucht man für eine zentrische Streckung?

Neben einer beliebigen geometrischen Figur muss man das Streckungszentrum $Z$ sowie den Streckungsfaktor $m$ kennen.

Wir können festhalten:

Eine zentrische Streckung erfolgt aus dem Streckungszentrum $\boldsymbol{Z}$ mit dem Streckungsfaktor $\boldsymbol{m}$.

Interpretation von Streckungsfaktoren 

Je nach Wert hat der Streckungsfaktor m eine unterschiedliche Bedeutung:

1. Ort der zentrischen Streckung

  • $m > 0$: $A$ und $A'$ liegen auf derselben Seite des Streckungszentrums $Z$.
  • $m < 0$: $A$ und $A'$ liegen auf verschiedenen Seiten des Streckungszentrums $Z$.

2. Verkleinerung oder Vergrößerung

  • $m > 1$: Die Figur wird vergrößert.
  • $0 < m < 1$: Die Figur wird verkleinert.
  • $-1 < m < 0$: Die Figur wird verkleinert.
  • $m < -1$: Die Figur wird vergrößert.

Wenn du bereits mit weißt, was der Betrag einer Zahl ist, dann kannst du die obige Tabelle vereinfachen zu

  • $|m| > 1$: Die Figur wird vergrößert.
  • $0 < |m| < 1$: Die Figur wird verkleinert.

Beispiel 2 

Es gilt: $m = 2$

Die Figur wird vergrößert. Jede Seitenlänge wird verdoppelt.

Hinweis: In diesem Fall ist das linke Quadrat die ursprüngliche Figur.

Abb. 8 / Streckungfaktor $m = 2$ 

Beispiel 3 

Es gilt: $m = 0{,}5$

Die Figur wird verkleinert. Jede Seitenlänge wird halbiert.

Hinweis: In diesem Fall ist das rechte Quadrat die ursprüngliche Figur.

Abb. 9 / Streckungfaktor $m = 0{,}5$ 

Beispiel 4 

Es gilt: $m = -1$

Wegen $m < 0 $ befinden sich $A$ und $A'$ auf verschiedenen Seiten des Streckungszentrums $Z$.

Außerdem wird für $m = 1$ bzw. $m = -1$ die Figur weder vergrößert noch verkleinert. Die Seitenlängen der beiden Quadrate sind in diesem Fall also identisch.

Abb. 10 / Streckungfaktor $m = -1$ 

Um genau zu sein:

  • Für $m = 1$ ergibt sich die identische Abbildung.
  • Für $m = -1$ ergibt sich eine Punktspiegelung.

Der Streckungsfaktor $m = 0$ ist übrigens nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Streckungszentrum $Z$. Auf unser Beispiel bezogen bedeutet das: $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ befänden sich im Streckungszentrum.

Fazit

Zu Beginn dieses Kapitels haben wir die zentrische Streckung folgendermaßen definiert:

Die zentrische Streckung ist eine Abbildung,

  • die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert,
  • wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind.

Wenn du dieses Kapitel aufmerksam gelesen hast, solltest du diese Erklärung jetzt nachvollziehen können. Mit dem bestimmten, gegebenen Verhältnis ist übrigens der Streckungsfaktor gemeint. Er entscheidet darüber, ob eine Abbildung vergrößert oder verkleinert wird. Interessant ist vielleicht noch die Zusatzinformation, dass die Bildstrecken (damit sind die Strecken der vergrößerten oder verkleinerten Figur gemeint) parallel zu den Strecken der ursprünglichen Figur sind.

Eigenschaften 

Zentrische Streckungen sind geraden-, kreis- und winkeltreu.

Die Längenverhältnisse bleiben erhalten.

Aus den ersten beiden Eigenschaften folgt, dass die die zentrische Streckung geometrische Figuren erzeugt, die zueinander ähnlich sind (siehe Ähnlichkeit).

Die Bildstrecke einer beliebigen Strecke hat die $|m|$-fache Länge.

Eine beliebige geometrische Figur wird auf eine Figur mit dem $|m|^2$-fachen Flächeninhalt abgebildet.

Beispiel 5 

Der ursprüngliche Flächeninhalt beträgt 1 Kästchen.

Für den Streckungsfaktor gilt: $m = 2$.

Der Flächeninhalt der vergrößerten Figur berechnet sich zu: $|m|^2 = 2^2 = 4$.

Der Flächeninhalt des gestreckten Quadrats beträgt demnach 4 Kästchen.

Abb. 11 / Vergleich von Flächeninhalten 

Ein beliebiger geometrischer Körper wird auf einen Körper mit dem $|m|^3$-fachen Volumen abgebildet.

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