Umfang Kreis

Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Umfang eines Kreises berechnen an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Umfang eines Kreises ist der Fachbegriff für die Länge der Kreislinie.

Umfang eines Kreises
Umfang \(u\) eines Kreises

Umfang berechnen

Radius gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( u = 2\pi \cdot r \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 3~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\( u = 2\pi \cdot r \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{u} = 2\pi \cdot 3~\mathrm{cm} \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{u} & = 18{,}84\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 18{,}8~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( u = 2\pi \cdot r \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{u} = 2\pi \cdot 1~\mathrm{m} \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{u} & = 6{,}283\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 6{,}28~\mathrm{m} \end{align*}

Durchmesser gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( u = \pi \cdot d \)

In einigen Formelsammlungen ist zwar \(u = 2\pi \cdot r\), aber nicht \(u = \pi \cdot d\) zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser (\(r = \frac{1}{2}d\)), kann die Formel ganz einfach herleiten:

Herleitung

\begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}}\\[5px] \phantom{u} &= 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}d\\[5px] \phantom{u} &= {\color{red}\cancel{\color{black}{2}}} \cdot \tfrac{1}{\color{red}{\cancel{\color{black}{2}}}} \cdot \pi \cdot d\\[5px] \phantom{u} &= 1 \cdot \pi \cdot d\\[5px] \phantom{u} &= \pi \cdot d \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 10~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\( u = \pi \cdot d \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{u} = \pi \cdot 10~\mathrm{cm} \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{u} & = 31{,}41\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 31{,}4~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( u = \pi \cdot d \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{u} = \pi \cdot 3{,}5~\mathrm{m} \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{u} & = 10{,}995\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 11{,}00~\mathrm{m} \end{align*}

Flächeninhalt gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung.

Formel 1

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Formeln nach \(r\) umstellen

\begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*}

Fallunterscheidung

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) und \(r_2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). Da \(r\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) als Lösung weg.

Formel 2

\( u = 2\pi \cdot r \)

Anleitung

  1. \(r\) berechnen
    1. Formel aufschreiben
    2. Wert für \(A\) einsetzen
    3. Ergebnis berechnen
  2. \(u\) berechnen
    1. Formel aufschreiben
    2. Wert für \(r\) einsetzen
    3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 6~\mathrm{cm}^2\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

\(r\) berechnen

Formel aufschreiben

\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{6~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \]

Ergebnis berechnen

Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.

Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.

\(u\) berechnen

Formel aufschreiben

\( u = 2\pi \cdot r \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{6~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{u} & = 8{,}68\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 8{,}7~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 2~\mathrm{m}^2\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

\(r\) berechnen

Formel aufschreiben

\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{2~\mathrm{m}^2}{\pi}} \]

Ergebnis berechnen

Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.

Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.

\(u\) berechnen

Formel aufschreiben

\( u = 2\pi \cdot r \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{2~\mathrm{m}^2}{\pi}} \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{u} & = 5{,}013\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 5{,}01~\mathrm{m} \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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