Umfang: Kreis

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines Kreises zu berechnen.
(Notwendiges Vorwissen: Kreis)

Mit „Umfang eines Kreises“ ist die Länge der blauen Linie in der Abbildung gemeint.

Zur Berechnung des Kreisumfangs benötigen wir lediglich seinen Radius.

Der Radius \(r\) ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt eines Kreises und der Kreislinie.

Formel für den Kreisumfang in Abhängigkeit des Radius

\(U = 2\pi \cdot r\)

Erklärung der Formel

  • \(U\) ist das Formelzeichen für den Umfang eines Kreises.
  • \(\pi\) (sprich: „Pi“) ist das Formelzeichen für die sog. Kreiszahl.
  • \(r\) ist das Formelzeichen für den Radius des Kreises.

Kreiszahl \(\pi\)

Bei \(\pi\) handelt sich um eine mathematische Konstante, also um eine Zahl, die immer einen festen Wert annimmt. Es gilt: \(\pi = 3{,}14159265358979323846264338327950288419...\)

Spätestens jetzt ist klar: \(\pi\) hat unendlich viele Nachkommastellen!

Für den Hausgebrauch, also für das Rechnen per Hand, reicht es, wenn du dir die ersten beiden Nachkommastellen merkst: \(\pi \approx 3{,}14\). Für exakte Berechnungen verwenden wir einen (handelsüblichen) Taschenrechner, in dem die Kreiszahl \(\pi\) als Konstante eingespeichert ist.

Radius \(r\)

Wir wissen bereits, dass wir zur Berechnung des Umfangs eines Kreises seinen Radius benötigen. Der Radius \(r\) ist eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) -, die aus einer Maßzahl (z. B. \(5\)) und einer Maßeinheit (z. B. \(\mathrm{cm}\)) besteht. Der Radius ist meist in einer der folgenden Einheiten gegeben:

So, das war genug Theorie. Jetzt geht es ans Eingemachte:

Umfang eines Kreises berechnen

a) Radius gegeben

In den folgenden Aufgaben geht es darum, die Formel \(U = 2\pi \cdot r\) anzuwenden.

Aufgabe 1

Wie groß ist der Umfang eines Kreises mit dem Radius \(r = 2~\mathrm{cm}\)?

Lösung zu Aufgabe 1

\(\begin{align*} U &= 2\pi \cdot r\\[5pt] &= 2\pi \cdot 2~\mathrm{cm}\\[5pt] &\approx 12{,}57~\mathrm{cm} \end{align*}\)

Antwort zu Aufgabe 1
Ein Kreis mit einem Radius von \(2~\mathrm{cm}\) hat einen Umfang von ungefähr \(12{,}57~\mathrm{cm}\).

Aufgabe 2

Wie groß ist der Umfang eines Kreises mit dem Radius \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\)?

Lösung zu Aufgabe 2

\(\begin{align*} U &= 2\pi \cdot r\\[5pt] &= 2\pi \cdot 3{,}5~\mathrm{m}\\[5pt] &\approx 21{,}99~\mathrm{m} \end{align*}\)

Antwort zu Aufgabe 2
Ein Kreis mit einem Radius von \(3{,}5~\mathrm{m}\) hat einen Umfang von ungefähr \(21{,}99~\mathrm{m}\).

b) Durchmesser gegeben

In manchen Aufgaben ist der Durchmesser \(d\) statt dem Radius \(r\) gegeben.

Es gilt: \(r = \frac{1}{2}d \quad \rightarrow\) In Worten: Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser.

Im Folgenden setzen wir \(r = \frac{1}{2}d\) in die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs ein:

\(U = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot \frac{1}{2}d = \cancel{2} \cdot \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \pi \cdot d = \pi \cdot d\)

Folglich gilt:

Formel für den Kreisumfang in Abhängigkeit des Durchmessers

\(U = \pi \cdot d\)

In den folgenden Aufgaben geht es darum, die Formel \(U = \pi \cdot d\) anzuwenden.

Aufgabe 3

Wie groß ist der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser \(d = 5~\mathrm{mm}\)?

Lösung zu Aufgabe 3

\(\begin{align*} U &= \pi \cdot d\\[5pt] &= \pi \cdot 5~\mathrm{mm}\\[5pt] &\approx 15{,}71~\mathrm{mm} \end{align*}\)

Antwort zu Aufgabe 3
Ein Kreis mit einem Durchmesser von \(5~\mathrm{mm}\) hat einen Umfang von ungefähr \(15{,}71~\mathrm{mm}\).

Aufgabe 4

Wie groß ist der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser \(d = 8~\mathrm{dm}\)?

Lösung zu Aufgabe 4

\(\begin{align*} U &= \pi \cdot d\\[5pt] &= \pi \cdot 8~\mathrm{dm}\\[5pt] &\approx 25{,}13~\mathrm{dm} \end{align*}\)

Antwort zu Aufgabe 4
Ein Kreis mit einem Durchmesser von \(8~\mathrm{dm}\) hat einen Umfang von ungefähr \(25{,}13~\mathrm{dm}\).

Am Anfang ist es immer ein bisschen komisch mit \(\pi\) zu rechnen. Nach dem Lösen einiger Aufgaben sollte dir die Berechnung des Kreisumfangs aber keine Probleme mehr bereiten.

„Wer wird Millionär?“-Spezial
Kreisumfang - Umkehraufgaben

In vielen Aufgaben die Aufgabenstellung umkehrt:
Der Kreisumfang ist gegeben und der Radius (oder der Durchmesser) ist gesucht.

Beim großen “Zocker-Special” der populären RTL-Sendung “Wer wird Millionär?”
verzweifelte am 08.01.2018 ein Mathelehrer (Telefonjoker) an folgender Frage:

“Ein Kreis mit einem Umfang von 3.141,6 Metern
hat einen Durchmesser von ziemlich genau…?”

(a) 100 Metern           (b) einem Kilometer
(c) zehn Kilometern   (d) 100 Kilometern

Lasst uns die Aufgabe systematisch angehen:

Was ist gesucht?

Durchmesser \(d\) eines Kreises

Was ist gegeben?

Umfang \(U\) eines Kreises: \(U = 3141{,}6~\mathrm{m}\).

Lösung

Welche Formel kennen wir, in der der Kreisumfang und der Durchmesser vorkommen?

\(U = \pi \cdot d\)

1.) Lösungsansatz aufstellen

\(\pi \cdot d = 3141{,}6~\mathrm{m}\)

2.) Gleichung nach \(d\) auflösen

Jetzt lösen wir die Gleichung nach \(d\) auf, indem wir durch \(\pi\) teilen (> Äquivalenzumformung):

\(d = \frac{3141{,}6~\mathrm{m}}{\pi} = \frac{3141{,}6~\mathrm{m}}{3{,}1416...} \approx 1000~\mathrm{m} = 1~\mathrm{km}\quad \rightarrow\text{ Antwort b ist richtig}\)

Ach, übrigens: Es handelte sich um die 64.000 Euro Frage. Hättest du sie richtig beantwortet?

Vierecke und deren Umfänge

Die Umfangsformeln können wir danach sortieren, wie viele Seiten gemessen werden müssen.

  Formel
4 Seiten
 
Umfang: Allgemeines Viereck \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Rechtwinkliges Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Sehnenviereck \(U = a + b + c + d\)
3 Seiten  
Umfang: Gleichschenkliges Trapez \(U = a+2b+c = a+c+2d\)
2 Seiten  
Umfang: Parallelogramm \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Rechteck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Drachenviereck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Tangentenviereck \(U = 2(a+c) = 2(b+d)\)
1 Seite  
Umfang: Raute \(U = 4a\)
Umfang: Quadrat \(U = 4a\)

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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