Umfang Kreis
Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Umfang eines Kreises berechnen
an.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Definition
Umfang eines Kreises ist der Fachbegriff für die Länge der Kreislinie.
Umfang berechnen
Radius gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.
Formel
\( u = 2\pi \cdot r \)
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 3~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
\( u = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{u} = 2\pi \cdot 3~\mathrm{cm} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{u} & = 18{,}84\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 18{,}8~\mathrm{cm} \end{align*}
Beispiel
Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( u = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{u} = 2\pi \cdot 1~\mathrm{m} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{u} & = 6{,}283\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 6{,}28~\mathrm{m} \end{align*}
Durchmesser gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.
Formel
\( u = \pi \cdot d \)
In einigen Formelsammlungen ist zwar \(u = 2\pi \cdot r\), aber nicht \(u = \pi \cdot d\) zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser (\(r = \frac{1}{2}d\)), kann die Formel ganz einfach herleiten:
Herleitung
\begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}}\\[5px] \phantom{u} &= 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}d\\[5px] \phantom{u} &= {\color{red}\cancel{\color{black}{2}}} \cdot \tfrac{1}{\color{red}{\cancel{\color{black}{2}}}} \cdot \pi \cdot d\\[5px] \phantom{u} &= 1 \cdot \pi \cdot d\\[5px] \phantom{u} &= \pi \cdot d \end{align*}
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 10~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
\( u = \pi \cdot d \)
Wert für \(d\) einsetzen
\( \phantom{u} = \pi \cdot 10~\mathrm{cm} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{u} & = 31{,}41\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 31{,}4~\mathrm{cm} \end{align*}
Beispiel
Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( u = \pi \cdot d \)
Wert für \(d\) einsetzen
\( \phantom{u} = \pi \cdot 3{,}5~\mathrm{m} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{u} & = 10{,}995\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 11{,}00~\mathrm{m} \end{align*}
Flächeninhalt gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung.
Formel 1
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Formeln nach \(r\) umstellen
\begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*}
Fallunterscheidung
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) und \(r_2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). Da \(r\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) als Lösung weg.
Formel 2
\( u = 2\pi \cdot r \)
Anleitung
- \(r\) berechnen
- Formel aufschreiben
- Wert für \(A\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
- \(u\) berechnen
- Formel aufschreiben
- Wert für \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 6~\mathrm{cm}^2\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
\(r\) berechnen
Formel aufschreiben
\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]
Wert für \(A\) einsetzen
\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{6~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \]
Ergebnis berechnen
Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
\(u\) berechnen
Formel aufschreiben
\( u = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{6~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{u} & = 8{,}68\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 8{,}7~\mathrm{cm} \end{align*}
Beispiel
Berechne den Umfang \(u\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 2~\mathrm{m}^2\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
\(r\) berechnen
Formel aufschreiben
\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]
Wert für \(A\) einsetzen
\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{2~\mathrm{m}^2}{\pi}} \]
Ergebnis berechnen
Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
\(u\) berechnen
Formel aufschreiben
\( u = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{2~\mathrm{m}^2}{\pi}} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{u} & = 5{,}013\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 5{,}01~\mathrm{m} \end{align*}
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