Umfang Kreis

Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Umfang eines Kreises berechnen an.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Umfang eines Kreises ist der Fachbegriff für die Länge der Kreislinie.

Umfang eines Kreises
Abb. 1 / Umfang $u$ eines Kreises 

Umfang berechnen 

Radius gegeben 

Formel 

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:

$$ u = 2\pi \cdot r $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Radius $r = 3\ \textrm{cm}$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

$$ u = 2\pi \cdot r $$

Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen

$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot 3\ \textrm{cm} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 18{,}84\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] & \approx 18{,}8\ \textrm{cm} \end{align*} $$

Beispiel 2 

Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Radius $r = 1\ \textrm{m}$. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

$$ u = 2\pi \cdot r $$

Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen

$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot 1\ \textrm{m} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 6{,}283\ldots\ \textrm{m} \\[5px] & \approx 6{,}28\ \textrm{m} \end{align*} $$

Durchmesser gegeben 

Formel 

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:

$$ u = \pi \cdot d $$

In einigen Formelsammlungen ist zwar $u = 2\pi \cdot r$, aber nicht $u = \pi \cdot d$ zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser ($r = \frac{1}{2}d$), kann die Formel ganz einfach herleiten:

Herleitung

$$ \begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}} \\[5px] \phantom{u} &= 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}d \\[5px] \phantom{u} &= {\color{red}\cancel{\color{black}{2}}} \cdot \tfrac{1}{\color{red}{\cancel{\color{black}{2}}}} \cdot \pi \cdot d \\[5px] \phantom{u} &= 1 \cdot \pi \cdot d \\[5px] \phantom{u} &= \pi \cdot d \end{align*} $$

Anleitung 

Formel aufschreiben

Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiele 

Beispiel 3 

Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Durchmesser $r = 10\ \textrm{cm}$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

$$ u = \pi \cdot d $$

Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen

$$ \phantom{u} = \pi \cdot 10\ \textrm{cm} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 31{,}41\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] & \approx 31{,}4\ \textrm{cm} \end{align*} $$

Beispiel 4 

Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Durchmesser $r = 3{,}5\ \textrm{m}$. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

$$ u = \pi \cdot d $$

Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen

$$ \phantom{u} = \pi \cdot 3{,}5\ \textrm{m} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 10{,}995\ldots\ \textrm{m} \\[5px] & \approx 11{,}00\ \textrm{m} \end{align*} $$

Flächeninhalt gegeben 

Formeln 

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung:

Formel 1

$$ A = \pi \cdot r^2 $$

Formeln nach $r$ umstellen

$$ \begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*} $$

Fallunterscheidung

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind $r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ und $r_2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Da $r$ für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt $r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ als Lösung weg.

Formel 2

$$ u = 2\pi \cdot r $$

Anleitung 

$\boldsymbol{r}$ berechnen

Formel aufschreiben

Wert für $A$ einsetzen

Ergebnis berechnen

$\boldsymbol{u}$ berechnen

Formel aufschreiben

Wert für $r$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiele 

Beispiel 5 

Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 6\ \textrm{cm}^2$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

$\boldsymbol{r}$ berechnen

Formel aufschreiben

$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$

Wert für $A$ einsetzen

$$ \phantom{r} = \sqrt{\frac{6\ \textrm{cm}^2}{\pi}} $$

Ergebnis berechnen

Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.

Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.

$\boldsymbol{u}$ berechnen

Formel aufschreiben

$$ u = 2\pi \cdot r $$

Wert für $r$ einsetzen

$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{6\ \textrm{cm}^2}{\pi}} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 8{,}68\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] & \approx 8{,}7\ \textrm{cm} \end{align*} $$

Beispiel 6 

Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 2\ \textrm{m}^2$. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

$\boldsymbol{r}$ berechnen

Formel aufschreiben

$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$

Wert für $A$ einsetzen

$$ \phantom{r} = \sqrt{\frac{2\ \textrm{m}^2}{\pi}} $$

Ergebnis berechnen

Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.

Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.

$\boldsymbol{u}$ berechnen

Formel aufschreiben

$$ u = 2\pi \cdot r $$

Wert für $r$ einsetzen

$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{2\ \textrm{m}^2}{\pi}} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 5{,}013\ldots\ \textrm{m} \\[5px] & \approx 5{,}01\ \textrm{m} \end{align*} $$

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