Umfang Kreis
Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Umfang eines Kreises berechnen
an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Umfang eines Kreises ist der Fachbegriff für die Länge der Kreislinie.
$u$ eines Kreises Umfang berechnen
Radius gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Radius $r = 3\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot 3\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 18{,}84\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] & \approx 18{,}8\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Radius $r = 1\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot 1\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 6{,}283\ldots\ \textrm{m} \\[5px] & \approx 6{,}28\ \textrm{m} \end{align*} $$
Durchmesser gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ u = \pi \cdot d $$
In einigen Formelsammlungen ist zwar $u = 2\pi \cdot r$, aber nicht $u = \pi \cdot d$ zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser ($r = \frac{1}{2}d$), kann die Formel ganz einfach herleiten:
Herleitung
$$ \begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}} \\[5px] \phantom{u} &= 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}d \\[5px] \phantom{u} &= {\color{red}\cancel{\color{black}{2}}} \cdot \tfrac{1}{\color{red}{\cancel{\color{black}{2}}}} \cdot \pi \cdot d \\[5px] \phantom{u} &= 1 \cdot \pi \cdot d \\[5px] \phantom{u} &= \pi \cdot d \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Durchmesser $r = 10\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ u = \pi \cdot d $$
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{u} = \pi \cdot 10\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 31{,}41\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] & \approx 31{,}4\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit dem Durchmesser $r = 3{,}5\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ u = \pi \cdot d $$
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{u} = \pi \cdot 3{,}5\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 10{,}995\ldots\ \textrm{m} \\[5px] & \approx 11{,}00\ \textrm{m} \end{align*} $$
Flächeninhalt gegeben
Formeln
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung:
Formel 1
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Formeln nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind $r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ und $r_2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Da $r$ für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt $r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ als Lösung weg.
Formel 2
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Anleitung
$\boldsymbol{r}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $A$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{u}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $r$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 6\ \textrm{cm}^2$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
$\boldsymbol{r}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
Wert für $A$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \sqrt{\frac{6\ \textrm{cm}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
$\boldsymbol{u}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Wert für $r$ einsetzen
$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{6\ \textrm{cm}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 8{,}68\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] & \approx 8{,}7\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Umfang $u$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 2\ \textrm{m}^2$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
$\boldsymbol{r}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
Wert für $A$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \sqrt{\frac{2\ \textrm{m}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
Der obige Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
$\boldsymbol{u}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Wert für $r$ einsetzen
$$ \phantom{u} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{2\ \textrm{m}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{u} & = 5{,}013\ldots\ \textrm{m} \\[5px] & \approx 5{,}01\ \textrm{m} \end{align*} $$
