Umfang Kreis
Die Berechnung von
Radius
,
Durchmesser
, Umfang und
Flächeninhalt
eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema
Umfang eines Kreises berechnen
an.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Definition
Umfang eines Kreises ist der Fachbegriff für die Länge der Kreislinie .
Umfang berechnen
Radius gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung .
Formel
\( U = 2\pi \cdot r \)
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Umfang \(U\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 3~\mathrm{cm}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( U = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{U} = 2\pi \cdot 3~\mathrm{cm} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{U} & = 6\pi~\mathrm{cm} \\[5px] & = 18{,}849\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 18{,}84~\mathrm{cm} \end{align*}
Beispiel
Berechne den Umfang \(U\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( U = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{U} = 2\pi \cdot 1~\mathrm{m} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{U} & = 2\pi~\mathrm{m} \\[5px] & = 6{,}283\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 6{,}28~\mathrm{m} \end{align*}
Durchmesser gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung .
Formel
\( U = \pi \cdot d \)
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Umfang \(U\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 10~\mathrm{cm}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( U = \pi \cdot d \)
Wert für \(d\) einsetzen
\( \phantom{U} = \pi \cdot 10~\mathrm{cm} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{U} & = 10\pi~\mathrm{cm} \\[5px] & = 31{,}415\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 31{,}42~\mathrm{cm} \end{align*}
Beispiel
Berechne den Umfang \(U\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( U = \pi \cdot d \)
Wert für \(d\) einsetzen
\( \phantom{U} = \pi \cdot 3{,}5~\mathrm{m} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{U} & = 3{,}5\pi~\mathrm{m} \\[5px] & = 10{,}995\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 11~\mathrm{m} \end{align*}
Flächeninhalt gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung .
Formel 1
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Formeln nach \(r\) umstellen
\begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*}
Fallunterscheidung
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) und \(r_2 = +\sqrt{\frac{A}{\pi}}\). Da \(r\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) als Lösung weg.
Formel 2
\( U = 2\pi \cdot r \)
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(A\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
- Formel aufschreiben
- Wert für \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Umfang \(U\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 6~\mathrm{cm}^2\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]
Wert für \(A\) einsetzen
\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{6~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \]
Ergebnis berechnen
Das obige Ergebnis kann nicht weiter vereinfacht werden. Auf ein Runden verzichten wir, weil wir in der Mathematik stets mit exakten Werten weiterrechnen.
Formel aufschreiben
\( U = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{U} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{6~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{U} & = 8{,}683\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 8{,}68~\mathrm{cm} \end{align*}
Beispiel
Berechne den Umfang \(U\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 2~\mathrm{m}^2\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]
Wert für \(A\) einsetzen
\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{2~\mathrm{m}^2}{\pi}} \]
Ergebnis berechnen
Das obige Ergebnis kann nicht weiter vereinfacht werden. Auf ein Runden verzichten wir, weil wir in der Mathematik stets mit exakten Werten weiterrechnen.
Formel aufschreiben
\( U = 2\pi \cdot r \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{U} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{2~\mathrm{m}^2}{\pi}} \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{U} & = 5{,}013\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 5{,}01~\mathrm{m} \end{align*}
Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 43 eBooks gratis!
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