Radius
Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Radius berechnen
an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
- Der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie heißt Radius
$\boldsymbol{r}$. - Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie heißt Radius
$\boldsymbol{r}$.
$\Rightarrow$ Der Begriff Radius
bezeichnet sowohl eine Länge als auch eine Strecke!
$r$ eines Kreises Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser
Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser: $r = \frac{1}{2} \cdot d$.
Radius berechnen
Durchmesser gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ r = \frac{1}{2} \cdot d $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Radius $r$ eines Kreises mit einem Durchmesser von $d = 8\ \textrm{cm}$.
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{1}{2} \cdot d $$
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{1}{2} \cdot 8\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{r} = 4\ \textrm{cm} $$
Berechne den Radius $r$ eines Kreises mit einem Durchmesser von $d = 3\ \textrm{m}$.
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{1}{2} \cdot d $$
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{1}{2} \cdot 3\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{r} = 1{,}5\ \textrm{m} $$
Umfang gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 2\pi \cdot r &= u &&{\color{gray}|:2\pi} \\[5px] r &= \frac{u}{2\pi} \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{u}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Radius $r$ eines Kreises mit einem Umfang von $u = 5\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{u}{2\pi} $$
Wert für $\boldsymbol{u}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{5\ \textrm{cm}}{2\pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 0{,}79\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 0{,}8\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Radius $r$ eines Kreises mit einem Umfang von $u = 12{,}59\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{u}{2\pi} $$
Wert für $\boldsymbol{u}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{12{,}59\ \textrm{m}}{2\pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 2{,}003\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 2{,}00\ \textrm{m} \end{align*} $$
Flächeninhalt gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind $r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ und $r_2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Da $r$ für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt $r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ als Lösung weg.
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{A}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Radius $r$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 5\ \textrm{cm}^2$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
Wert für $\boldsymbol{A}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \sqrt{\frac{5\ \textrm{cm}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 1{,}26\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 1{,}3\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Radius $r$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 12{,}59\ \textrm{m}^2$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
Wert für $\boldsymbol{A}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \sqrt{\frac{12{,}59\ \textrm{m}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 2{,}001\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 2{,}00\ \textrm{m} \end{align*} $$
Bogenlänge und Mittelpunktswinkel gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha \cdot 2\pi \cdot r &= b \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot 2\pi)} \\[5px] r &= \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot 2\pi} &&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] r &= \frac{b \cdot 180^\circ}{\alpha \cdot \pi} \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Radius $r$ eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge $b = 8\ \textrm{cm}$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 15^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{b \cdot 180^\circ}{\alpha \cdot \pi} $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{8\ \textrm{cm} \cdot 180^\circ}{15^\circ \cdot \pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 30{,}55\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 30{,}6\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Radius $r$ eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge $b = 45\ \textrm{m}$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 135^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{b \cdot 180^\circ}{\alpha \cdot \pi} $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{45\ \textrm{m} \cdot 180^\circ}{135^\circ \cdot \pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 19{,}098\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 19{,}10\ \textrm{m} \end{align*} $$
Kreisausschnitt und Mittelpunktswinkel gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ A_\text{Kreisausschnitt} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} A_\text{Kreisausschnitt} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha \cdot \pi \cdot r^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot \pi)} \\[5px] r^2 &= \frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] r^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi}} &&{\color{gray}|\text{ Teilweises Wurzelziehen}} \\[5px] r^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 36 \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \\[5px] r^2 &= \pm 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ r_1 = -6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
$$ r_2 = 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
Da $r$ für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt $r_1$ als Lösung weg.
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_\textbf{Kreisausschnitt}}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Radius $r$ eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 11\ \textrm{cm}^2$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 33^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ r = 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
Werte für $\boldsymbol{A_\textbf{Kreisausschnitt}}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = 6\sqrt{\frac{11\ \textrm{cm}^2 \cdot 10^\circ}{33^\circ \cdot \pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 6{,}18\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 6{,}2\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Radius $r$ eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 99\ \textrm{m}^2$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 199^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ r = 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
Werte für $\boldsymbol{A_\textbf{Kreisausschnitt}}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{r} = 6\sqrt{\frac{99\ \textrm{m}^2 \cdot 10^\circ}{199^\circ \cdot \pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 7{,}550\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 7{,}55\ \textrm{m} \end{align*} $$
