Radius

Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Radius berechnen an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

  1. Der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie heißt Radius \(r\).
  2. Die Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie heißt Radius \(r\).

\(\Rightarrow\) Der Begriff Radius bezeichnet sowohl eine Länge als auch eine Strecke!

Radius eines Kreises
Radius \(r\) eines Kreises

Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser

Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser: \(r = \frac{1}{2} \cdot d\).

Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser eines Kreises
Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser eines Kreises

Radius berechnen

Durchmesser gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( r = \frac{1}{2} \cdot d \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises mit einem Durchmesser von \(d = 8~\mathrm{cm}\).

Formel aufschreiben

\( r = \frac{1}{2} \cdot d \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{r} = \frac{1}{2} \cdot 8~\mathrm{cm} \)

Ergebnis berechnen

\( \phantom{r} = 4~\mathrm{cm} \)

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises mit einem Durchmesser von \(d = 3~\mathrm{m}\).

Formel aufschreiben

\( r = \frac{1}{2} \cdot d \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{r} = \frac{1}{2} \cdot 3~\mathrm{m} \)

Ergebnis berechnen

\( \phantom{r} = 1{,}5~\mathrm{m} \)

Umfang gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( u = 2\pi \cdot r \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 2\pi \cdot r &= u &&{\color{gray}|:2\pi} \\[5px] r &= \frac{u}{2\pi} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(u\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises mit einem Umfang von \(u = 5~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{u}{2\pi} \]

Wert für \(u\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{5~\mathrm{cm}}{2\pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 0{,}79\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 0{,}8~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises mit einem Umfang von \(u = 12{,}59~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{u}{2\pi} \]

Wert für \(u\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{12{,}59~\mathrm{m}}{2\pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 2{,}003\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 2{,}00~\mathrm{m} \end{align*}

Flächeninhalt gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] r^2 &= \frac{A}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] r &= \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*}

Fallunterscheidung

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) und \(r_2 = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). Da \(r\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(r_1 = -\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) als Lösung weg.

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(A\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 5~\mathrm{cm}^2\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{5~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 1{,}26\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 1{,}3~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 12{,}59~\mathrm{m}^2\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \sqrt{\frac{12{,}59~\mathrm{m}^2}{\pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 2{,}001\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 2{,}00~\mathrm{m} \end{align*}

Bogenlänge und Mittelpunktswinkel gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha \cdot 2\pi \cdot r &= b \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot 2\pi)} \\[5px] r &= \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot 2\pi}&&{\color{gray}|\text{ Kürzen}} \\[5px] r &= \frac{b \cdot 180^\circ}{\alpha \cdot \pi} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(\alpha\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge \(b = 8~\text{cm}\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 15^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{b \cdot 180^\circ}{\alpha \cdot \pi} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{8~\text{cm} \cdot 180^\circ}{15^\circ \cdot \pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 30{,}55\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 30{,}6~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge \(b = 45~\text{m}\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 135^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{b \cdot 180^\circ}{\alpha \cdot \pi} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{45~\text{m} \cdot 180^\circ}{135^\circ \cdot \pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 19{,}098\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 19{,}10~\mathrm{m} \end{align*}

Kreisausschnitt und Mittelpunktswinkel gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( A_\text{Kreisausschnitt} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} A_\text{Kreisausschnitt} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha \cdot \pi \cdot r^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot \pi)} \\[5px] r^2 &= \frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] r^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi}} &&{\color{gray}|\text{ Teilweises Wurzelziehen}} \\[5px] r^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 36 \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \\[5px] r^2 &= \pm 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \\[5px] \end{align*}

Fallunterscheidung

\[r_1 = -6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}}\]

\[r_2 = 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}}\]

Da \(r\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(r_1\) als Lösung weg.

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A_\text{Kreisausschnitt}\) und \(\alpha\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe \(A_{\text{Kreisausschnitt}} = 11~\text{cm}^2\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 33^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ r = 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = 6\sqrt{\frac{11~\text{cm}^2 \cdot 10^\circ}{33^\circ \cdot \pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 6{,}18\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 6{,}2~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Radius \(r\) eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe \(A_{\text{Kreisausschnitt}} = 99~\text{m}^2\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 199^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ r = 6\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{r} = 6\sqrt{\frac{99~\text{m}^2 \cdot 10^\circ}{199^\circ \cdot \pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 7{,}550\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 7{,}55~\mathrm{m} \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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