Flächeninhalt Kreis

Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Flächeninhalt eines Kreises berechnen an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Flächeninhalt eines Kreises ist der Fachbegriff für die Größe der Kreisfläche.

Flächeninhalt eines Kreises
Flächeninhalt \(A\) eines Kreises

Zur Kreisfläche gehören alle Punkte der Kreislinie und des Kreisinneren.

Flächeninhalt berechnen

Radius gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 3~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (3~\mathrm{cm})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 9\pi~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & = 28{,}27\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 28{,}3~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (1~\mathrm{m})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = \pi~\mathrm{m}^2 \\[5px] & = 3{,}141\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 3{,}14~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Durchmesser gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

In einigen Formelsammlungen ist zwar \(A = \pi \cdot r^2\), aber nicht \(A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2\) zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser (\(r = \frac{1}{2}d\)), kann die Formel ganz einfach herleiten:

Herleitung

\(\begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}}\\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}d\right)^2\\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \cdot d^2\\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \tfrac{1}{4} \cdot d^2\\[5px] \phantom{A} &= \tfrac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}\)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 10~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (10~\mathrm{cm})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 25\pi~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & = 78{,}53\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 78{,}5~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (3{,}5~\mathrm{m})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = \frac{49}{16}\pi~\mathrm{m}^2 \\[5px] & = 9{,}621\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 9{,}62~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Umfang gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung.

Formel 1

\( u = 2\pi \cdot r \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 2\pi \cdot r &= u &&{\color{gray}|:2\pi} \\[5px] r &= \frac{u}{2\pi} \end{align*}

Formel 2

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Anleitung

  1. \(r\) berechnen
    1. Formel aufschreiben
    2. Wert für \(u\) einsetzen
    3. Ergebnis berechnen
  2. \(A\) berechnen
    1. Formel aufschreiben
    2. Wert für \(r\) einsetzen
    3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Umfang \(u = 6~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

\(r\) berechnen

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{u}{2\pi} \]

Wert für \(u\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{6~\mathrm{cm}}{2\pi} \]

Ergebnis berechnen

\[ \phantom{r} = \frac{3~\mathrm{cm}}{\pi} \]

Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.

\(A\) berechnen

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{3~\mathrm{cm}}{\pi})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 2{,}86\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 2{,}9~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Umfang \(u = 2~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

\(r\) berechnen

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{u}{2\pi} \]

Wert für \(u\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{2~\mathrm{m}}{2\pi} \]

Ergebnis berechnen

\[ \phantom{r} = \frac{1~\mathrm{m}}{\pi} \]

Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.

\(A\) berechnen

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{1~\mathrm{m}}{\pi})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 0{,}318\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 0{,}32~\mathrm{m}^2 \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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