Flächeninhalt Kreis
Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Flächeninhalt eines Kreises berechnen
an.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Definition
Flächeninhalt eines Kreises ist der Fachbegriff für die Größe der Kreisfläche.
Zur Kreisfläche gehören alle Punkte der Kreislinie und des Kreisinneren.
Flächeninhalt berechnen
Radius gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.
Formel
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 3~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{A} = \pi \cdot (3~\mathrm{cm})^2 \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A} & = 9\pi~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & = 28{,}27\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 28{,}3~\mathrm{cm}^2 \end{align*}
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{A} = \pi \cdot (1~\mathrm{m})^2 \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A} & = \pi~\mathrm{m}^2 \\[5px] & = 3{,}141\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 3{,}14~\mathrm{m}^2 \end{align*}
Durchmesser gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.
Formel
\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)
In einigen Formelsammlungen ist zwar \(A = \pi \cdot r^2\), aber nicht \(A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2\) zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser (\(r = \frac{1}{2}d\)), kann die Formel ganz einfach herleiten:
Herleitung
\(\begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}}\\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}d\right)^2\\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \cdot d^2\\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \tfrac{1}{4} \cdot d^2\\[5px] \phantom{A} &= \tfrac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}\)
Anleitung
- Formel aufschreiben
- Wert für \(d\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 10~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)
Wert für \(d\) einsetzen
\( \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (10~\mathrm{cm})^2 \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A} & = 25\pi~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & = 78{,}53\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 78{,}5~\mathrm{cm}^2 \end{align*}
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)
Wert für \(d\) einsetzen
\( \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (3{,}5~\mathrm{m})^2 \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A} & = \frac{49}{16}\pi~\mathrm{m}^2 \\[5px] & = 9{,}621\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 9{,}62~\mathrm{m}^2 \end{align*}
Umfang gegeben
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung.
Formel 1
\( u = 2\pi \cdot r \)
Formel nach \(r\) umstellen
\begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 2\pi \cdot r &= u &&{\color{gray}|:2\pi} \\[5px] r &= \frac{u}{2\pi} \end{align*}
Formel 2
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Anleitung
- \(r\) berechnen
- Formel aufschreiben
- Wert für \(u\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
- \(A\) berechnen
- Formel aufschreiben
- Wert für \(r\) einsetzen
- Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Umfang \(u = 6~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
\(r\) berechnen
Formel aufschreiben
\[ r = \frac{u}{2\pi} \]
Wert für \(u\) einsetzen
\[ \phantom{r} = \frac{6~\mathrm{cm}}{2\pi} \]
Ergebnis berechnen
\[ \phantom{r} = \frac{3~\mathrm{cm}}{\pi} \]
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
\(A\) berechnen
Formel aufschreiben
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{3~\mathrm{cm}}{\pi})^2 \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A} & = 2{,}86\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 2{,}9~\mathrm{cm}^2 \end{align*}
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Umfang \(u = 2~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
\(r\) berechnen
Formel aufschreiben
\[ r = \frac{u}{2\pi} \]
Wert für \(u\) einsetzen
\[ \phantom{r} = \frac{2~\mathrm{m}}{2\pi} \]
Ergebnis berechnen
\[ \phantom{r} = \frac{1~\mathrm{m}}{\pi} \]
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
\(A\) berechnen
Formel aufschreiben
\( A = \pi \cdot r^2 \)
Wert für \(r\) einsetzen
\( \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{1~\mathrm{m}}{\pi})^2 \)
Ergebnis berechnen
\begin{align*} \phantom{A} & = 0{,}318\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 0{,}32~\mathrm{m}^2 \end{align*}
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