Flächeninhalt Kreis

Die Berechnung von Radius , Durchmesser , Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Flächeninhalt eines Kreises berechnen an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Flächeninhalt eines Kreises ist der Fachbegriff für die Größe der Kreisfläche .

Flächeninhalt eines Kreises
Flächeninhalt \(A\) eines Kreises

Flächeninhalt berechnen

Radius gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung .

Formel

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 3~\mathrm{cm}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (3~\mathrm{cm})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 9\pi~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & = 28{,}274\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 28{,}27~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Radius \(r = 1~\mathrm{m}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (1~\mathrm{m})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = \pi~\mathrm{m}^2 \\[5px] & = 3{,}141\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 3{,}14~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Durchmesser gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung .

Formel

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 10~\mathrm{cm}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (10~\mathrm{cm})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 25\pi~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & = 78{,}539\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 78{,}54~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Durchmesser \(r = 3{,}5~\mathrm{m}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Wert für \(d\) einsetzen

\( \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (3{,}5~\mathrm{m})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = \frac{49}{16}\pi~\mathrm{m}^2 \\[5px] & = 9{,}621\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 9{,}62~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Umfang gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung .

Formel 1

\( U = 2\pi \cdot r \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} U &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 2\pi \cdot r &= U &&{\color{gray}|:2\pi} \\[5px] r &= \frac{U}{2\pi} \end{align*}

Formel 2

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(U\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen
  4. Formel aufschreiben
  5. Wert für \(r\) einsetzen
  6. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Umfang \(U = 6~\mathrm{cm}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{U}{2\pi} \]

Wert für \(U\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{6~\mathrm{cm}}{2\pi} \]

Ergebnis berechnen

\[ \phantom{r} = \frac{3~\mathrm{cm}}{\pi} \]

Auf ein Runden verzichten wir, weil wir in der Mathematik stets mit exakten Werten weiterrechnen.

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{3~\mathrm{cm}}{\pi})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 2{,}864\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 2{,}86~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit dem Umfang \(U = 2~\mathrm{m}\). Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ r = \frac{U}{2\pi} \]

Wert für \(U\) einsetzen

\[ \phantom{r} = \frac{2~\mathrm{m}}{2\pi} \]

Ergebnis berechnen

\[ \phantom{r} = \frac{1~\mathrm{m}}{\pi} \]

Auf ein Runden verzichten wir, weil wir in der Mathematik stets mit exakten Werten weiterrechnen.

Formel aufschreiben

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{1~\mathrm{m}}{\pi})^2 \)

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A} & = 0{,}318\ldots~\mathrm{m}^2 \\[5px] & \approx 0{,}32~\mathrm{m}^2 \end{align*}

Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 43 eBooks gratis!

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