Sehnentangentenwinkel

Wer sich für besondere Winkel am Kreis interessiert, begegnet früher oder später dem Mittelpunktswinkel, dem Umfangswinkel und dem Sehnentangentenwinkel. In diesem Kapitel schauen wir uns den Sehnentangentenwinkel etwas genauer an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Gegeben seien zwei Umfangswinkel über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\).

Wir verschieben die Scheitelpunkte der beiden Winkel so, dass sie mit den Begrenzungspunkten \(A\) und \(B\) des Kreisbogens zusammenfallen.

Umfangswinkel
Umfangswinkel

Verschiebung 1

Umfangswinkel nach Verschiebung 1
Umfangswinkel nach Verschiebung 1

Verschiebung 2

Umfangswinkel nach Verschiebung 2
Umfangswinkel nach Verschiebung 2

Sobald der Scheitelpunkt mit dem Begrenzungspunkt zusammenfällt, wird ein Schenkel zur Sehne \([AB]\) und der andere Schenkel zur Tangente im Begrenzungspunkt. Die Tangente steht auf dem Berührradius senkrecht.

Der Winkel zwischen der Sehne \([AB]\) und der Tangente in \(A\) (oder \(B\)),
heißt Sehnentangentenwinkel über dem eingeschlossenen Kreisbogen.

Zu jedem Kreisbogen gibt es genau zwei Sehnentangentenwinkel.

Sehnentangentenwinkel AB
Sehnentangentenwinkel über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\)
Sehnentangentenwinkel BA
Sehnentangentenwinkel über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\)

Sehnentangentenwinkelsatz

Jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist genauso groß wie alle zugehörigen Umfangswinkel.

Sehnentangentenwinkelsatz
Sehnentangentenwinkelsatz

Aus dem Kreiswinkelsatz folgt:

Jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Sehnentangentenwinkelsatz - Folgerung
Sehnentangentenwinkelsatz

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Andreas Schneider

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