Mittelpunktswinkel

Wer sich für besondere Winkel am Kreis interessiert, begegnet früher oder später dem Mittelpunktswinkel, dem Umfangswinkel und dem Sehnentangentenwinkel. In diesem Kapitel schauen wir uns den Mittelpunktswinkel etwas genauer an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Gegeben sei ein ganzer Kreis.

Kreis
Kreis

In vielen Aufgabenstellungen geht es aber nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen. Ein Kreisbogen wird von zwei Kreispunkten begrenzt.

Kreisbogen AB
Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\)
Kreisbogen BA
Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\)

Der Winkel,
dessen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises liegt
und dessen Schenkel die Begrenzungspunkte des Kreisbogens schneiden,
heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel.

Zu jedem Kreisbogen gibt es genau einen Mittelpunktswinkel.

Mittelpunktswinkel
Mittelpunktswinkel \(\alpha\) über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\)
Mittelpunktswinkel
Mittelpunktswinkel \(\alpha\) über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\)

Sonderfall 1

Der Mittelpunktswinkel über einen Halbkreisbogen ist ein gestreckter Winkel (\(180^\circ\)).

Mittelpunktswinkel (Halbkreisbogen)
Halbkreisbogen

Sonderfall 2

Der Mittelpunktswinkel über einem Vollkreisbogen ist ein Vollwinkel (\(360^\circ\)).

Mittelpunktswinkel (Vollkreisbogen)
Vollkreisbogen

Mittelpunktswinkel berechnen

Umfangswinkel gegeben

Formel

Laut Kreiswinkelsatz gilt:

\begin{align*} \alpha = 2 \cdot \beta \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(\beta\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu dem Umfangswinkel \(\beta = 60^\circ\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = 2 \cdot \beta \end{align*}

Wert für \(\beta\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = 2 \cdot 60^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = 120^\circ \end{align*}

Kreisbogen und Umfang gegeben

Formel

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u \end{align*}

Formel nach \(\alpha\) umstellen

\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot u &= b &&{\color{gray}|:u} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{u} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b}{u} \cdot 360^\circ \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(u\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 1{,}5~\mathrm{km}\) und einem Kreis mit dem Umfang \(u = 9~\mathrm{km}\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = \frac{b}{u} \cdot 360^\circ \end{align*}

Werte für \(b\) und \(u\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = \frac{ 1{,}5~\mathrm{km} }{ 9~\mathrm{km} } \cdot 360^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = 60\ldots^\circ \end{align*}

Kreisbogen und Radius gegeben

Formel

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r \end{align*}

Formel nach \(\alpha\) umstellen

\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot r &= b &&{\color{gray}|:(2\pi \cdot r)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{2\pi \cdot r} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b}{2\pi \cdot r} \cdot 360^\circ \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 3~\mathrm{cm}\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 5~\mathrm{cm}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = \frac{b}{2\pi \cdot r} \cdot 360^\circ \end{align*}

Werte für \(b\) und \(r\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = \frac{3~\mathrm{cm}}{2\pi \cdot 5~\mathrm{cm}} \cdot 360^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} &= 34{,}37\ldots^\circ\\[5px] &\approx 34{,}4^\circ \end{align*}

Kreisbogen und Durchmesser gegeben

Formel

\begin{align*} b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \end{align*}

Formel nach \(\alpha\) umstellen

\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &= b &&{\color{gray}|:(\pi \cdot d)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{b}{\pi \cdot d} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{b}{\pi \cdot d} \cdot 360^\circ \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu einem Kreisbogen der Länge \(b = 2~\mathrm{m}\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 4~\mathrm{m}\) gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = \frac{b}{\pi \cdot d} \cdot 360^\circ \end{align*}

Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = \frac{2~\mathrm{m}}{\pi \cdot 4~\mathrm{m}} \cdot 360^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} &= 57{,}295\ldots^\circ\\[5px] &\approx 57{,}30^\circ \end{align*}

Kreisausschnitt und Flächeninhalt gegeben

Formel

\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\text{Kreis}} \end{align*}

Formel nach \(\alpha\) umstellen

\begin{align*} A_{\text{Kreisausschnitt}} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\text{Kreis}} &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\text{Kreis}} &= A_{\text{Kreisausschnitt}} &&{\color{gray}|: A_{\text{Kreis}}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{A_{\text{Kreis}}} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{A_{\text{Kreis}}} \cdot 360^\circ \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(A_{\text{Kreis}}\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu einem Kreisausschnitt der Fläche \(A_{\text{Kreisausschnitt}} = 3~\mathrm{km}^2\) und einem Kreis mit dem Flächeninhalt \(A_{\text{Kreis}} = 9~\mathrm{km}^2\) gehört.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = \frac{A_{\text{Kreisausschnitt}}}{A_{\text{Kreis}}} \cdot 360^\circ \end{align*}

Werte für \(A_{\text{Kreisausschnitt}}\) und \(A_{\text{Kreis}}\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = \frac{3 ~\mathrm{km}^2}{9 ~\mathrm{km}^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = 120^\circ \end{align*}

Kreisausschnitt und Radius gegeben

Formel

\begin{align*} A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \end{align*}

Formel nach \(\alpha\) umstellen

\begin{align*} A &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 &= A &&{\color{gray}|:(\pi \cdot r^2)} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{A}{\pi \cdot r^2} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{A}{\pi \cdot r^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A\) und \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu einem Kreisausschnitt der Fläche \(A = 3~\mathrm{cm}^2\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 5~\mathrm{cm}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = \frac{A}{\pi \cdot r^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Werte für \(A\) und \(r\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = \frac{3~\mathrm{cm}^2}{\pi \cdot (5~\mathrm{cm})^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} &= 41{,}25\ldots^\circ\\[5px] &\approx 41{,}3^\circ \end{align*}

Kreisausschnitt und Durchmesser gegeben

Formel

\begin{align*} A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*}

Formel nach \(\alpha\) umstellen

\begin{align*} A &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &= A &&{\color{gray}|:\tfrac{\pi}{4} \;\widehat{=}\, \cdot \tfrac{4}{\pi}} \\[5px] d^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{4 \cdot A}{\pi} &&{\color{gray}|: d^2} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} &= \frac{4 \cdot A}{\pi \cdot d^2} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha &= \frac{4 \cdot A}{\pi \cdot d^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A\) und \(d\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\), der zu einem Kreisausschnitt der Fläche \(A = 10~\mathrm{m}^2\) und einem Kreis mit dem Durchmesser \(d = 6~\mathrm{m}\) gehört. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\begin{align*} \alpha = \frac{4 \cdot A}{\pi \cdot d^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Werte für \(A\) und \(d\) einsetzen

\begin{align*} \phantom{\alpha} = \frac{4 \cdot 10~\mathrm{m}^2}{\pi \cdot (6~\mathrm{m})^2} \cdot 360^\circ \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{\alpha} &= 127{,}323\ldots^\circ\\[5px] &\approx 127{,}32^\circ \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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