Durchmesser

Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Durchmesser berechnen an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

  1. Der größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kreislinie heißt Durchmesser \(d\).
  2. Jede durch den Mittelpunkt verlaufende Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie heißt Durchmesser \(d\).

\(\Rightarrow\) Der Begriff Durchmesser bezeichnet sowohl eine Länge als auch eine Strecke!

Durchmesser eines Kreises
Durchmesser \(d\) eines Kreises

Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius: \(d = 2 \cdot r\).

Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius eines Kreises
Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius eines Kreises

Durchmesser berechnen

Radius gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( d = 2 \cdot r \)

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(r\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises mit einem Radius von \(r = 4~\mathrm{cm}\).

Formel aufschreiben

\( d = 2 \cdot r \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{d} = 2 \cdot 4~\mathrm{cm} \)

Ergebnis berechnen

\( \phantom{d} = 8~\mathrm{cm} \)

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises mit einem Radius von \(r = 1{,}5~\mathrm{m}\).

Formel aufschreiben

\( d = 2 \cdot r \)

Wert für \(r\) einsetzen

\( \phantom{d} = 2 \cdot 1{,}5~\mathrm{m} \)

Ergebnis berechnen

\( \phantom{d} = 3~\mathrm{m} \)

Umfang gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( u = \pi \cdot d \)

Formel nach \(d\) umstellen

\begin{align*} u &= \pi \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot d &= u &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] d &= \frac{u}{\pi} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(u\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises mit einem Umfang von \(u = 5~\mathrm{cm}\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ d = \frac{u}{\pi} \]

Wert für \(u\) einsetzen

\[ \phantom{d} = \frac{5~\mathrm{cm}}{\pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{d} & = 1{,}59\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 1{,}6~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises mit einem Umfang von \(u = 12{,}59~\mathrm{m}\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ d = \frac{u}{\pi} \]

Wert für \(u\) einsetzen

\[ \phantom{d} = \frac{12{,}59~\mathrm{m}}{\pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{d} & = 4{,}007\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 4{,}01~\mathrm{m} \end{align*}

Flächeninhalt gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Formel nach \(d\) umstellen

\begin{align*} A &= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &= A &&{\color{gray}|:\tfrac{\pi}{4} \;\widehat{=}\, \cdot \tfrac{4}{\pi}} \\[5px] d^2 &= A \cdot \frac{4}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] d &= \pm\sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi}} &&{\color{gray}|\text{ Teilweises Wurzelziehen}} \\[5px] d &= \pm 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*}

Fallunterscheidung

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(d_1 = -2\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) und \(d_2 = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}}\). Da \(d\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(d_1 = -2\sqrt{\frac{A}{\pi}}\) als Lösung weg.

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Wert für \(A\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 5~\mathrm{cm}^2\).
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ d = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{d} = 2\sqrt{\frac{5~\mathrm{cm}^2}{\pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 2{,}52\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 2{,}5~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises mit einem Flächeninhalt von \(A = 12{,}59~\mathrm{m}^2\).
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ d = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{d} = 2\sqrt{\frac{12{,}59~\mathrm{m}^2}{\pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{r} & = 4{,}003\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 4{,}00~\mathrm{m} \end{align*}

Bogenlänge und Mittelpunktswinkel gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &= b &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha \cdot \pi \cdot d &= b \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot \pi)} \\[5px] d &= \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(b\) und \(\alpha\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge \(b = 8~\text{cm}\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 15^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ d = \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{d} = \frac{8~\text{cm} \cdot 360^\circ}{15^\circ \cdot \pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{d} & = 61{,}11\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 61{,}1~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge \(b = 45~\text{m}\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 135^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ d = \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{d} = \frac{45~\text{m} \cdot 360^\circ}{135^\circ \cdot \pi} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{d} & = 38{,}197\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 38{,}20~\mathrm{m} \end{align*}

Kreisausschnitt und Mittelpunktswinkel gegeben

Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung.

Formel

\( A_\text{Kreisausschnitt} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \)

Formel nach \(r\) umstellen

\begin{align*} A_\text{Kreisausschnitt} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ \cdot 4} \\[5px] \alpha \cdot \pi \cdot d^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 1440^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot \pi)} \\[5px] d^2 &= \frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 1440^\circ}{\alpha \cdot \pi} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] d^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 1440^\circ}{\alpha \cdot \pi}} &&{\color{gray}|\text{ Teilweises Wurzelziehen}} \\[5px] d^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 144 \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \\[5px] d^2 &= \pm 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \\[5px] \end{align*}

Fallunterscheidung

\[d_1 = -12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}}\]

\[d_2 = 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}}\]

Da \(d\) für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt \(d_1\) als Lösung weg.

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(A_\text{Kreisausschnitt}\) und \(\alpha\) einsetzen
  3. Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe \(A_{\text{Kreisausschnitt}} = 11~\text{cm}^2\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 33^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\[ d = 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{d} = 12\sqrt{\frac{11~\text{cm}^2 \cdot 10^\circ}{33^\circ \cdot \pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{d} & = 12{,}36\ldots~\mathrm{cm} \\[5px] & \approx 12{,}4~\mathrm{cm} \end{align*}

Beispiel

Berechne den Durchmesser \(d\) eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe \(A_{\text{Kreisausschnitt}} = 99~\text{m}^2\) ein Mittelpunktswinkel der Größe \(\alpha = 199^\circ\) gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

\[ d = 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \]

Wert für \(A\) einsetzen

\[ \phantom{d} = 12\sqrt{\frac{99~\text{m}^2 \cdot 10^\circ}{199^\circ \cdot \pi}} \]

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{d} & = 15{,}100\ldots~\mathrm{m} \\[5px] & \approx 15{,}10~\mathrm{m} \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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