Durchmesser
Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Durchmesser berechnen
an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
- Der größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kreislinie heißt Durchmesser
$\boldsymbol{d}$. - Jede durch den Mittelpunkt verlaufende Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie heißt Durchmesser
$\boldsymbol{d}$.
$\Rightarrow$ Der Begriff Durchmesser
bezeichnet sowohl eine Länge als auch eine Strecke!
$d$ Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius
Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius: $d = 2 \cdot r$.
Durchmesser berechnen
Radius gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ d = 2 \cdot r $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises mit einem Radius von $r = 4\ \textrm{cm}$.
Formel aufschreiben
$$ d = 2 \cdot r $$
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 2 \cdot 4\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{d} = 8\ \textrm{cm} $$
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises mit einem Radius von $r = 1{,}5\ \textrm{m}$.
Formel aufschreiben
$$ d = 2 \cdot r $$
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 2 \cdot 1{,}5\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{d} = 3\ \textrm{m} $$
Umfang gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ u = \pi \cdot d $$
Formel nach $d$ umstellen
$$ \begin{align*} u &= \pi \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \pi \cdot d &= u &&{\color{gray}|:\pi} \\[5px] d &= \frac{u}{\pi} \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{u}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises mit einem Umfang von $u = 5\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ d = \frac{u}{\pi} $$
Wert für $\boldsymbol{u}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \frac{5\ \textrm{cm}}{\pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 1{,}59\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 1{,}6\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises mit einem Umfang von $u = 12{,}59\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ d = \frac{u}{\pi} $$
Wert für $\boldsymbol{u}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \frac{12{,}59\ \textrm{m}}{\pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 4{,}007\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 4{,}01\ \textrm{m} \end{align*} $$
Flächeninhalt gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$
Formel nach $d$ umstellen
$$ \begin{align*} A &= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &= A &&{\color{gray}|:\tfrac{\pi}{4} \;\widehat{=}\, \cdot \tfrac{4}{\pi}} \\[5px] d^2 &= A \cdot \frac{4}{\pi} &&{\color{gray}|\,\sqrt{\phantom{r}}} \\[5px] d &= \pm\sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi}} &&{\color{gray}|\text{ Teilweises Wurzelziehen}} \\[5px] d &= \pm 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind $d_1 = -2\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ und $d_2 = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Da $d$ für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt $d_1 = -2\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ als Lösung weg.
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{A}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 5\ \textrm{cm}^2$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ d = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
Wert für $\boldsymbol{A}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 2\sqrt{\frac{5\ \textrm{cm}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 2{,}52\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 2{,}5\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises mit einem Flächeninhalt von $A = 12{,}59\ \textrm{m}^2$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ d = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
Wert für $\boldsymbol{A}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 2\sqrt{\frac{12{,}59\ \textrm{m}^2}{\pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{r} &= 4{,}003\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 4{,}00\ \textrm{m} \end{align*} $$
Bogenlänge und Mittelpunktswinkel gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} b &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d &= b &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ} \\[5px] \alpha \cdot \pi \cdot d &= b \cdot 360^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot \pi)} \\[5px] d &= \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge $b = 8\ \textrm{cm}$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 15^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ d = \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \frac{8\ \textrm{cm} \cdot 360^\circ}{15^\circ \cdot \pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 61{,}11\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 61{,}1\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises, zu dessen Kreisbogen der Länge $b = 45\ \textrm{m}$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 135^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ d = \frac{b \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} $$
Werte für $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \frac{45\ \textrm{m} \cdot 360^\circ}{135^\circ \cdot \pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 38{,}197\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 38{,}20\ \textrm{m} \end{align*} $$
Kreisausschnitt und Mittelpunktswinkel gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ A_\text{Kreisausschnitt} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} A_\text{Kreisausschnitt} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} &&{\color{gray}|\cdot 360^\circ \cdot 4} \\[5px] \alpha \cdot \pi \cdot d^2 &= A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 1440^\circ &&{\color{gray}|:(\alpha \cdot \pi)} \\[5px] d^2 &= \frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 1440^\circ}{\alpha \cdot \pi} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] d^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 1440^\circ}{\alpha \cdot \pi}} &&{\color{gray}|\text{ Teilweises Wurzelziehen}} \\[5px] d^2 &= \pm \sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 144 \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \\[5px] d^2 &= \pm 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ d_1 = -12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
$$ d_2 = 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
Da $d$ für eine Länge steht und deshalb nicht negativ sein darf, fällt $d_1$ als Lösung weg.
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{A_\textbf{Kreisausschnitt}}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 11\ \textrm{cm}^2$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 33^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ d = 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
Werte für $\boldsymbol{A_\textbf{Kreisausschnitt}}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 12\sqrt{\frac{11\ \textrm{cm}^2 \cdot 10^\circ}{33^\circ \cdot \pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 12{,}36\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 12{,}4\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Berechne den Durchmesser $d$ eines Kreises, zu dessen Kreisausschnitt der Größe $A_{\text{Kreisausschnitt}} = 99\ \textrm{m}^2$ ein Mittelpunktswinkel der Größe $\alpha = 199^\circ$ gehört.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ d = 12\sqrt{\frac{A_\text{Kreisausschnitt} \cdot 10^\circ}{\alpha \cdot \pi}} $$
Werte für $\boldsymbol{A_\textbf{Kreisausschnitt}}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = 12\sqrt{\frac{99\ \textrm{m}^2 \cdot 10^\circ}{199^\circ \cdot \pi}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= 15{,}100\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 15{,}10\ \textrm{m} \end{align*} $$
