Umfangswinkel

Wer sich für besondere Winkel am Kreis interessiert, begegnet früher oder später dem Mittelpunktswinkel, dem Umfangswinkel und dem Sehnentangentenwinkel. In diesem Kapitel schauen wir uns den Umfangswinkel etwas genauer an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Definition

Gegeben sei ein ganzer Kreis.

Abb. 1 / Kreis

In vielen Aufgabenstellungen geht es aber nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen. Ein Kreisbogen wird von zwei Kreispunkten begrenzt.

Abb. 2 / Kreisbogen $\overset{\frown}{AB}$

Abb. 3 / Kreisbogen $\overset{\frown}{BA}$

Der Winkel, dessen Scheitel auf der Kreislinie außerhalb des Kreisbogens liegt und dessen Schenkel die Begrenzungspunkte des Kreisbogens schneiden, heißt Umfangswinkel oder Peripheriewinkel .

Zu jedem Kreisbogen gibt es unendlich viele Umfangswinkel.

Abb. 4 / Beispiel eines Umfangswinkels über dem Kreisbogen $\overset{\frown}{AB}$

Abb. 5 / Beispiel eines Umfangswinkels über dem Kreisbogen $\overset{\frown}{BA}$

Umfangswinkelsatz

Alle Umfangswinkel über demselben Kreisbogen sind gleich groß.

Abb. 6 / Umfangswinkelsatz

Sonderfall: Satz des Thales

Alle Umfangswinkel über dem Halbkreisbogen sind rechte Winkel ( $90^\circ$ ).

Abb. 7 / Satz des Thales

Kreiswinkelsatz

Zu allen Umfangswinkeln über einem Kreisbogen gehört ein Mittelpunktswinkel.

Alle Umfangswinkel über demselben Kreisbogen sind halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Abb. 8 / Kreiswinkelsatz 1

Gemäß dem Kreiswinkelsatz gilt in der obigen Abbildung: $\beta = \frac{1}{2}\alpha$ . Umgekehrt gilt natürlich: $\alpha = 2\beta$ .

Abb. 9 / Kreiswinkelsatz 2