Umfangswinkel

Wer sich für besondere Winkel am Kreis interessiert, begegnet früher oder später dem Mittelpunktswinkel, dem Umfangswinkel und dem Sehnentangentenwinkel. In diesem Kapitel schauen wir uns den Umfangswinkel etwas genauer an.

Benötigtes Vorwissen

Definition

Gegeben sei ein ganzer Kreis.

Kreis
Kreis

In vielen Aufgabenstellungen geht es aber nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Jedes Teilstück der Kreislinie heißt Kreisbogen. Ein Kreisbogen wird von zwei Kreispunkten begrenzt.

Kreisbogen AB
Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\)
Kreisbogen BA
Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\)

Der Winkel,
dessen Scheitel auf der Kreislinie außerhalb des Kreisbogens liegt und
dessen Schenkel die Begrenzungspunkte des Kreisbogens schneiden,
heißt Umfangswinkel oder Peripheriewinkel .

Zu jedem Kreisbogen gibt es unendlich viele Umfangswinkel.

Umfangswinkel AB
Beispiel eines Umfangswinkels über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\)
Umfangswinkel BA
Beispiel eines Umfangswinkels über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\)

Umfangswinkelsatz

Alle Umfangswinkel über demselben Kreisbogen sind gleich groß.

Umfangswinkelsatz
Umfangswinkelsatz

Sonderfall: Satz des Thales

Alle Umfangswinkel über dem Halbkreisbogen sind rechte Winkel (\(90^\circ\)).

Satz des Thales
Satz des Thales

Kreiswinkelsatz

Zu allen Umfangswinkeln über einem Kreisbogen gehört ein Mittelpunktswinkel.

Alle Umfangswinkel über demselben Kreisbogen sind halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Kreiswinkelsatz 1
Kreiswinkelsatz 1

Gemäß dem Kreiswinkelsatz gilt in der obigen Abbildung: \(\beta = \frac{1}{2}\alpha\). Umgekehrt gilt natürlich: \(\alpha = 2\beta\).

Kreiswinkelsatz 2
Kreiswinkelsatz 2

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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