Pi berechnen (Teil 3)

Die Kreiszahl \(\pi\) (sprich: Pi) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von \(\pi\) berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Rechtecken basiert.

Benötigtes Vorwissen

Idee

Im Kapitel Kreiszahl \(\pi\) haben wir erfahren, dass gilt:

\begin{align*} \frac{A}{r^2} = \pi \end{align*}

Umstellen nach \(A\) führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

\begin{align*} A = \pi \cdot r^2 \end{align*}

Ein Kreis mit einem Radius von \(r = 1~\mathrm{LE}\) hat folglich einen Flächeninhalt von

\begin{align*} A = \pi \cdot (1~\mathrm{LE})^2 = \pi~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Einheitskreis
Einheitskreis

Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit \(r = 1~\mathrm{LE}\) näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für \(\pi\) berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:

Untere Grenze

Die Kreisfläche ist größer als
alle Rechtecke mit gleicher Breite, die im Inneren der Kreisfläche liegen.

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als
alle Rechtecke mit gleicher Breite, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Vereinfachung

Wie in den obigen beiden Abbildungen bereits dargestellt, betrachten wir im Folgenden der Einfachheit halber nicht den ganzen Kreis, sondern einen Viertelkreis. Durch Multiplikation mit \(4\) können wir dann auf den ganzen Kreis schließen.

Viertelkreis
Viertelkreis

Anleitung

  1. Breite \(b\) der Rechtecke festlegen
  2. Höhen der Rechtecke berechnen
  3. Untere Grenze \(U\) berechnen
  4. Obere Grenze \(O\) berechnen
  5. Lösungsintervall aufschreiben

Merke: Je kleiner die Breite \(b\), desto genauer die Näherung!

Formeln

Höhen

Die Höhen der Rechtecke berechnen wir mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Nach Pythagoras gilt:

\begin{align*} h_1^2 + (1 \cdot b)^2 = r^2 \end{align*}

Umstellen nach \(h_1\) ergibt

\begin{align*} h_1 = \sqrt{r^2 + (1 \cdot b)^2} \end{align*}

Höhe h1
Höhe \(h_1\)

Nach Pythagoras gilt:

\begin{align*} h_2^2 + (2 \cdot b)^2 = r^2 \end{align*}

Umstellen nach \(h_2\) ergibt

\begin{align*} h_2 = \sqrt{r^2 + (2 \cdot b)^2} \end{align*}

Höhe h2
Höhe \(h_2\)

Nach Pythagoras gilt:

\begin{align*} h_3^2 + (3 \cdot b)^2 = r^2 \end{align*}

Umstellen nach \(h_3\) ergibt

\begin{align*} h_3 = \sqrt{r^2 + (3 \cdot b)^2} \end{align*}

Höhe h3
Höhe \(h_3\)

Allgemein gilt:

\begin{align*} h_n = \sqrt{r^2 + (n \cdot b)^2} \end{align*}

\(h_0\) entspricht übrigens dem Radius \(r\). Merke: \(h_0 = r\).

Untere Grenze

Der ganze Kreis ist \(4\) mal so groß wie der Viertelkreis:

\begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + \ldots + U_n)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + \ldots + b \cdot h_n)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + \ldots + h_n)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^n h_n\right) \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Wir halten fest:

\begin{align*} U = 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^n h_n\right) \end{align*}

Obere Grenze

Der ganze Kreis ist \(4\) mal so groß wie der Viertelkreis:

\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + \ldots + O_n)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + \ldots + b \cdot h_{n-1})\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + \ldots + h_{n-1})\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^{n-1} h_n\right) \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Wegen \(h_0 = r\) können wir festhalten:

\begin{align*} O = 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^{n-1} h_n\right) \end{align*}

Beispiel

Näherungsschritt 1

Beispiel

Breite \(b\) der Rechtecke festlegen

\begin{align*} b &= \frac{1}{2} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= \frac{1}{2}~\mathrm{LE} \end{align*}

Breite der Rechtecke
Breite

Höhen der Rechtecke berechnen

\begin{align*} h_0 = r = 1~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_1 = \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{2})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

Höhen der Rechtecke
Höhen

Untere Grenze \(U\) berechnen

Es gibt \(1\) Rechteck mit einer Breite von \(b = \frac{1}{2}~\mathrm{LE}\), das im Inneren der Viertelkreisfläche liegt.

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

\begin{align*} U &= 4 \cdot U_1\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot h_1\\[5px] &= 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{2})^2} ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 1{,}7321~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze \(O\) berechnen

Es gibt \(2\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{2}~\mathrm{LE}\), in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \sqrt{1^2 - (\tfrac{1}{2})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 3{,}7321~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\(1{,}7321~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}7321~\mathrm{LE}^2\)

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_K\)

Näherungsschritt 2

Beispiel

Breite \(b\) der Rechtecke festlegen

\begin{align*} b &= \frac{1}{4} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= \frac{1}{4}~\mathrm{LE} \end{align*}

Breite der Rechtecke
Breite

Höhen der Rechtecke berechnen

\begin{align*} h_0 = r = 1~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_1 &= \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{4})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_2 &= \sqrt{1^2 - (2 \cdot \tfrac{1}{4})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_3 &= \sqrt{1^2 - (3 \cdot \tfrac{1}{4})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

Höhen der Rechtecke
Höhen

Untere Grenze \(U\) berechnen

Es gibt \(3\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{4}~\mathrm{LE}\), die im Inneren der Viertelkreisfläche liegen.

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

\begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + U_3)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^3 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\sum_{n=1}^3 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{4})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 2{,}4957~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze \(O\) berechnen

Es gibt \(4\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{4}~\mathrm{LE}\), in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + O_3 + O_4)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + h_2 + h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^3 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^3 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(1 + \sum_{n=1}^3 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{4})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 3{,}4957~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\(2{,}4957~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}4957~\mathrm{LE}^2\)

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_K\)

Näherungsschritt 3

Beispiel

Breite \(b\) der Rechtecke festlegen

\begin{align*} b &= \frac{1}{8} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{8} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= \frac{1}{8}~\mathrm{LE} \end{align*}

Breite der Rechtecke
Breite

Höhen der Rechtecke berechnen

\begin{align*} h_0 = r = 1~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_1 &= \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_2 &= \sqrt{1^2 - (2 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_3 &= \sqrt{1^2 - (3 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_4 &= \sqrt{1^2 - (4 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_5 &= \sqrt{1^2 - (5 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_6 &= \sqrt{1^2 - (6 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

\begin{align*} h_7 &= \sqrt{1^2 - (7 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}

Höhen der Rechtecke
Höhen

Untere Grenze \(U\) berechnen

Es gibt \(7\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{8}~\mathrm{LE}\), die im Inneren der Viertelkreisfläche liegen.

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

\begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 + U_7)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3 + b \cdot h_4 + b \cdot h_5 + b \cdot h_6 + b \cdot h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 + h_6 + h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^7 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(\sum_{n=1}^7 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{8})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 2{,}8398~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze \(O\) berechnen

Es gibt \(8\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{8}~\mathrm{LE}\), in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + O_3 + O_4 + O_5 + O_6 + O_7 + O_8)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3 + b \cdot h_4 + b \cdot h_5 + b \cdot h_6 + b \cdot h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 + h_6 + h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^7 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^7 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(1 + \sum_{n=1}^7 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{8})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 3{,}3398~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\(2{,}8398~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}3398~\mathrm{LE}^2\)

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_K\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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