Pi berechnen (Teil 3)
Die Kreiszahl \(\pi\) (sprich: Pi
) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von \(\pi\) berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Rechtecken basiert.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Idee
Im Kapitel Kreiszahl \(\pi\) haben wir erfahren, dass gilt:
\begin{align*} \frac{A}{r^2} = \pi \end{align*}
Umstellen nach \(A\) führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:
\begin{align*} A = \pi \cdot r^2 \end{align*}
Ein Kreis mit einem Radius von \(r = 1~\mathrm{LE}\) hat folglich einen Flächeninhalt von
\begin{align*} A = \pi \cdot (1~\mathrm{LE})^2 = \pi~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit \(r = 1~\mathrm{LE}\) näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für \(\pi\) berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln
. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:
Untere Grenze
Die Kreisfläche ist größer als
alle Rechtecke mit gleicher Breite, die im Inneren der Kreisfläche liegen.
Obere Grenze
Die Kreisfläche ist kleiner als
alle Rechtecke mit gleicher Breite, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.
Vereinfachung
Wie in den obigen beiden Abbildungen bereits dargestellt, betrachten wir im Folgenden der Einfachheit halber nicht den ganzen Kreis, sondern einen Viertelkreis. Durch Multiplikation mit \(4\) können wir dann auf den ganzen Kreis schließen.
Anleitung
- Breite \(b\) der Rechtecke festlegen
- Höhen der Rechtecke berechnen
- Untere Grenze \(U\) berechnen
- Obere Grenze \(O\) berechnen
- Lösungsintervall aufschreiben
Merke: Je kleiner die Breite \(b\), desto genauer die Näherung!
Formeln
Höhen
Die Höhen der Rechtecke berechnen wir mithilfe des Satzes des Pythagoras.
Nach Pythagoras gilt:
\begin{align*} h_1^2 + (1 \cdot b)^2 = r^2 \end{align*}
Umstellen nach \(h_1\) ergibt
\begin{align*} h_1 = \sqrt{r^2 + (1 \cdot b)^2} \end{align*}
Nach Pythagoras gilt:
\begin{align*} h_2^2 + (2 \cdot b)^2 = r^2 \end{align*}
Umstellen nach \(h_2\) ergibt
\begin{align*} h_2 = \sqrt{r^2 + (2 \cdot b)^2} \end{align*}
Nach Pythagoras gilt:
\begin{align*} h_3^2 + (3 \cdot b)^2 = r^2 \end{align*}
Umstellen nach \(h_3\) ergibt
\begin{align*} h_3 = \sqrt{r^2 + (3 \cdot b)^2} \end{align*}
Allgemein gilt:
\begin{align*} h_n = \sqrt{r^2 + (n \cdot b)^2} \end{align*}
\(h_0\) entspricht übrigens dem Radius \(r\). Merke: \(h_0 = r\).
Untere Grenze
Der ganze Kreis ist \(4\) mal so groß wie der Viertelkreis:
\begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + \ldots + U_n)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + \ldots + b \cdot h_n)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + \ldots + h_n)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^n h_n\right) \end{align*}
Wir halten fest:
\begin{align*} U = 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^n h_n\right) \end{align*}
Obere Grenze
Der ganze Kreis ist \(4\) mal so groß wie der Viertelkreis:
\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + \ldots + O_n)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + \ldots + b \cdot h_{n-1})\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + \ldots + h_{n-1})\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^{n-1} h_n\right) \end{align*}
Wegen \(h_0 = r\) können wir festhalten:
\begin{align*} O = 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^{n-1} h_n\right) \end{align*}
Beispiel
Näherungsschritt 1
Beispiel
Breite \(b\) der Rechtecke festlegen
\begin{align*} b &= \frac{1}{2} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= \frac{1}{2}~\mathrm{LE} \end{align*}
Höhen der Rechtecke berechnen
\begin{align*} h_0 = r = 1~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_1 = \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{2})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
Untere Grenze \(U\) berechnen
Es gibt \(1\) Rechteck mit einer Breite von \(b = \frac{1}{2}~\mathrm{LE}\), das im Inneren der Viertelkreisfläche liegt.
\begin{align*} U &= 4 \cdot U_1\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot h_1\\[5px] &= 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{2})^2} ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 1{,}7321~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Obere Grenze \(O\) berechnen
Es gibt \(2\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{2}~\mathrm{LE}\), in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.
\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \sqrt{1^2 - (\tfrac{1}{2})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 3{,}7321~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Lösungsintervall aufschreiben
Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:
\(1{,}7321~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}7321~\mathrm{LE}^2\)
Näherungsschritt 2
Beispiel
Breite \(b\) der Rechtecke festlegen
\begin{align*} b &= \frac{1}{4} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= \frac{1}{4}~\mathrm{LE} \end{align*}
Höhen der Rechtecke berechnen
\begin{align*} h_0 = r = 1~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_1 &= \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{4})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_2 &= \sqrt{1^2 - (2 \cdot \tfrac{1}{4})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_3 &= \sqrt{1^2 - (3 \cdot \tfrac{1}{4})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
Untere Grenze \(U\) berechnen
Es gibt \(3\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{4}~\mathrm{LE}\), die im Inneren der Viertelkreisfläche liegen.
\begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + U_3)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^3 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\sum_{n=1}^3 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{4})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 2{,}4957~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Obere Grenze \(O\) berechnen
Es gibt \(4\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{4}~\mathrm{LE}\), in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.
\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + O_3 + O_4)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + h_2 + h_3)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^3 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^3 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(1 + \sum_{n=1}^3 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{4})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 3{,}4957~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Lösungsintervall aufschreiben
Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:
\(2{,}4957~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}4957~\mathrm{LE}^2\)
Näherungsschritt 3
Beispiel
Breite \(b\) der Rechtecke festlegen
\begin{align*} b &= \frac{1}{8} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{8} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= \frac{1}{8}~\mathrm{LE} \end{align*}
Höhen der Rechtecke berechnen
\begin{align*} h_0 = r = 1~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_1 &= \sqrt{1^2 - (1 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_2 &= \sqrt{1^2 - (2 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_3 &= \sqrt{1^2 - (3 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_4 &= \sqrt{1^2 - (4 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_5 &= \sqrt{1^2 - (5 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_6 &= \sqrt{1^2 - (6 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
\begin{align*} h_7 &= \sqrt{1^2 - (7 \cdot \tfrac{1}{8})^2}~\mathrm{LE} \end{align*}
Untere Grenze \(U\) berechnen
Es gibt \(7\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{8}~\mathrm{LE}\), die im Inneren der Viertelkreisfläche liegen.
\begin{align*} U &= 4 \cdot (U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 + U_7)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3 + b \cdot h_4 + b \cdot h_5 + b \cdot h_6 + b \cdot h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 + h_6 + h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(\sum_{n=1}^7 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(\sum_{n=1}^7 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{8})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 2{,}8398~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Obere Grenze \(O\) berechnen
Es gibt \(8\) Rechtecke mit einer Breite von \(b = \frac{1}{8}~\mathrm{LE}\), in denen Punkte der Viertelkreisfläche liegen.
\begin{align*} O &= 4 \cdot (O_1 + O_2 + O_3 + O_4 + O_5 + O_6 + O_7 + O_8)\\[5px] &= 4 \cdot (b \cdot h_0 + b \cdot h_1 + b \cdot h_2 + b \cdot h_3 + b \cdot h_4 + b \cdot h_5 + b \cdot h_6 + b \cdot h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot (h_0 + h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 + h_6 + h_7)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(h_0 + \sum_{n=1}^7 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot b \cdot \left(r + \sum_{n=1}^7 h_n\right)\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(1 + \sum_{n=1}^7 \sqrt{1^2 - (n \cdot \tfrac{1}{8})^2}\right) ~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 3{,}3398~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Lösungsintervall aufschreiben
Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:
\(2{,}8398~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}3398~\mathrm{LE}^2\)
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