Pi berechnen (Teil 2)

Die Kreiszahl \(\pi\) (sprich: Pi) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von \(\pi\) berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Vielecken basiert.

Benötigtes Vorwissen

Idee

Im Kapitel Kreiszahl \(\pi\) haben wir erfahren, dass gilt:

\begin{align*} \frac{A}{r^2} = \pi \end{align*}

Umstellen nach \(A\) führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

\begin{align*} A = \pi \cdot r^2 \end{align*}

Ein Kreis mit einem Radius von \(r = 1~\mathrm{LE}\) hat folglich einen Flächeninhalt von

\begin{align*} A = \pi \cdot (1~\mathrm{LE})^2 = \pi~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Einheitskreis
Einheitskreis

Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit \(r = 1~\mathrm{LE}\) näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für \(\pi\) berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:

Untere Grenze

Die Kreisfläche ist größer als
das einbeschriebene Vieleck.

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als
das umbeschriebene Vieleck.

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Anleitung

  1. Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen
  2. Untere Grenze \(U\) berechnen
  3. Obere Grenze \(O\) berechnen
  4. Lösungsintervall aufschreiben

Merke: Je größer die Eckenzahl \(n\), desto genauer die Näherung!

Formeln

Untere Grenze

Flächeninhalt eines einbeschriebenen, regelmäßigen Vielecks mit \(n\) Ecken:

\begin{align*} U = n \cdot r^2 \sin\frac{360^\circ}{n} \end{align*}

Dabei ist \(r\) der Radius des dazugehörigen Kreises.

Obere Grenze

Flächeninhalt eines umbeschriebenen, regelmäßigen Vielecks mit \(n\) Ecken:

\begin{align*} O = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \end{align*}

Dabei ist \(r\) der Radius des dazugehörigen Kreises.

Beispiel

Näherungsschritt 1

Beispiel

Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen

\begin{align*} n = 4 \end{align*}

Untere Grenze \(U\) berechnen

\begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1~\mathrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{4}\\[5px] &= 2~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze \(O\) berechnen

\begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1~\mathrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{4}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{4}\\[5px] &= 4~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\(2~\mathrm{LE}^2 < A_K < 4~\mathrm{LE}^2\)

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_K\)

Näherungsschritt 2

Beispiel

Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen

\begin{align*} n = 8 \end{align*}

Untere Grenze \(U\) berechnen

\begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1~\mathrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{8}\\[5px] &= 2\sqrt{2}~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 2{,}8284~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze \(O\) berechnen

\begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1~\mathrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{8}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{8}\\[5px] &\approx 3{,}3137~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\(2{,}8284~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}3137~\mathrm{LE}^2\)

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_K\)

Näherungsschritt 3

Beispiel

Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen

\begin{align*} n = 16 \end{align*}

Untere Grenze \(U\) berechnen

\begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1~\mathrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{16}\\[5px] &\approx 3{,}0615~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze \(O\) berechnen

\begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1~\mathrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{16}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{16}\\[5px] &\approx 3{,}1826~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\(3{,}0615~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}1826~\mathrm{LE}^2\)

Flächeninhalt eines Kreises
Flächeninhalt \(A_K\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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