Pi berechnen (Teil 2)

Die Kreiszahl $\boldsymbol{\pi}$ (sprich: Pi) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von $\boldsymbol{\pi}$ berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Vielecken basiert.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Idee

Im Kapitel Kreiszahl $\pi$ haben wir erfahren, dass gilt:

$$ \frac{A}{r^2} = \pi $$

Umstellen nach $A$ führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

$$ A = \pi \cdot r^2 $$

Ein Kreis mit einem Radius von $r = 1\ \textrm{LE}$ hat folglich einen Flächeninhalt von

$$ A = \pi \cdot (1\ \textrm{LE})^2 = \pi\ \textrm{LE}^2 $$

Abb. 1 / Einheitskreis

Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit $r = 1\ \textrm{LE}$ näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für $\pi$ berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:

Untere Grenze

Die Kreisfläche ist größer als das einbeschriebene Vieleck.

Abb. 2 / Untere Grenze $U$

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als das umbeschriebene Vieleck.

Abb. 3 / Obere Grenze $O$

Anleitung

Eckenzahl $\boldsymbol{n}$ des regelmäßigen Vielecks festlegen

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

Lösungsintervall aufschreiben

Merke: Je größer die Eckenzahl $n$ , desto genauer die Näherung!

Formeln

Untere Grenze

Flächeninhalt eines einbeschriebenen, regelmäßigen Vielecks mit $n$ Ecken:

$$ U = n \cdot r^2 \sin\frac{360^\circ}{n} $$

Dabei ist $r$ der Radius des dazugehörigen Kreises.

Obere Grenze

Flächeninhalt eines umbeschriebenen, regelmäßigen Vielecks mit $n$ Ecken:

$$ O = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} $$

Dabei ist $r$ der Radius des dazugehörigen Kreises.

Beispiel

Näherungsschritt 1

Beispiel 1

Eckenzahl $\boldsymbol{n}$ des regelmäßigen Vielecks festlegen

$$ n = 4 $$

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

$$ \begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1\ \textrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{4} \\[5px] &= 2\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Abb. 4 / Untere Grenze $U$

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

$$ \begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1\ \textrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{4}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{4} \\[5px] &= 4\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Abb. 5 / Obere Grenze $O$

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises $A_K$ ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche $U$ , aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche $O$ . Deshalb gilt:

$$ 2\ \textrm{LE}^2 < A_K < 4\ \textrm{LE}^2 $$

Abb. 6 / Flächeninhalt $A_K$

Näherungsschritt 2

Beispiel 2

Eckenzahl $\boldsymbol{n}$ des regelmäßigen Vielecks festlegen

$$ n = 8 $$

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

$$ \begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \\[5px] &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1\ \textrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{8} \\[5px] &= 2\sqrt{2}\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &\approx 2{,}8284\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Abb. 7 / Untere Grenze $U$

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

$$ \begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \\[5px] &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1\ \textrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{8}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{8} \\[5px] &\approx 3{,}3137\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Abb. 8 / Obere Grenze $O$

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises $A_K$ ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche $U$ , aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche $O$ . Deshalb gilt:

$$ 2{,}8284\ \textrm{LE}^2 < A_K < 3{,}3137\ \textrm{LE}^2 $$

Abb. 9 / Flächeninhalt $A_K$

Näherungsschritt 3

Beispiel 3

Eckenzahl $\boldsymbol{n}$ des regelmäßigen Vielecks festlegen

$$ n = 16 $$

Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen

$$ \begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \\[5px] &= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1\ \textrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{16} \\[5px] &\approx 3{,}0615\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Abb. 10 / Untere Grenze $U$

Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen

$$ \begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \\[5px] &= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1\ \textrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{16}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{16} \\[5px] &\approx 3{,}1826\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$

Abb. 11 / Obere Grenze $O$

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises $A_K$ ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche $U$ , aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche $O$ . Deshalb gilt:

$$ 3{,}0615\ \textrm{LE}^2 < A_K < 3{,}1826\ \textrm{LE}^2 $$

Abb. 12 / Flächeninhalt $A_K$