Pi berechnen (Teil 2)
Die Kreiszahl \(\pi\) (sprich: Pi
) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von \(\pi\) berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Vielecken basiert.
Inhaltsverzeichnis
Benötigtes Vorwissen
Idee
Im Kapitel Kreiszahl \(\pi\) haben wir erfahren, dass gilt:
\begin{align*} \frac{A}{r^2} = \pi \end{align*}
Umstellen nach \(A\) führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:
\begin{align*} A = \pi \cdot r^2 \end{align*}
Ein Kreis mit einem Radius von \(r = 1~\mathrm{LE}\) hat folglich einen Flächeninhalt von
\begin{align*} A = \pi \cdot (1~\mathrm{LE})^2 = \pi~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit \(r = 1~\mathrm{LE}\) näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für \(\pi\) berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln
. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:
Untere Grenze
Die Kreisfläche ist größer als
das einbeschriebene Vieleck.
Obere Grenze
Die Kreisfläche ist kleiner als
das umbeschriebene Vieleck.
Anleitung
- Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen
- Untere Grenze \(U\) berechnen
- Obere Grenze \(O\) berechnen
- Lösungsintervall aufschreiben
Merke: Je größer die Eckenzahl \(n\), desto genauer die Näherung!
Formeln
Untere Grenze
Flächeninhalt eines einbeschriebenen, regelmäßigen Vielecks mit \(n\) Ecken:
\begin{align*} U = n \cdot r^2 \sin\frac{360^\circ}{n} \end{align*}
Dabei ist \(r\) der Radius des dazugehörigen Kreises.
Obere Grenze
Flächeninhalt eines umbeschriebenen, regelmäßigen Vielecks mit \(n\) Ecken:
\begin{align*} O = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n} \end{align*}
Dabei ist \(r\) der Radius des dazugehörigen Kreises.
Beispiel
Näherungsschritt 1
Beispiel
Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen
\begin{align*} n = 4 \end{align*}
Untere Grenze \(U\) berechnen
\begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1~\mathrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{4}\\[5px] &= 2~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Obere Grenze \(O\) berechnen
\begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1~\mathrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{4}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{4}\\[5px] &= 4~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Lösungsintervall aufschreiben
Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:
\(2~\mathrm{LE}^2 < A_K < 4~\mathrm{LE}^2\)
Näherungsschritt 2
Beispiel
Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen
\begin{align*} n = 8 \end{align*}
Untere Grenze \(U\) berechnen
\begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1~\mathrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{8}\\[5px] &= 2\sqrt{2}~\mathrm{LE}^2\\[5px] &\approx 2{,}8284~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Obere Grenze \(O\) berechnen
\begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1~\mathrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{8}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{8}\\[5px] &\approx 3{,}3137~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Lösungsintervall aufschreiben
Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:
\(2{,}8284~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}3137~\mathrm{LE}^2\)
Näherungsschritt 3
Beispiel
Eckenzahl \(n\) des regelmäßigen Vielecks festlegen
\begin{align*} n = 16 \end{align*}
Untere Grenze \(U\) berechnen
\begin{align*} U &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1~\mathrm{LE})^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{16}\\[5px] &\approx 3{,}0615~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Obere Grenze \(O\) berechnen
\begin{align*} O &= n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{r}{\cos\frac{180^\circ}{n}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{n}\\[5px] &= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1~\mathrm{LE}}{\cos\frac{180^\circ}{16}} \right)^2 \cdot \sin\frac{360^\circ}{16}\\[5px] &\approx 3{,}1826~\mathrm{LE}^2 \end{align*}
Lösungsintervall aufschreiben
Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:
\(3{,}0615~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}1826~\mathrm{LE}^2\)
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