Pi berechnen (Teil 1)
Die Kreiszahl $\boldsymbol{\pi}$ (sprich: Pi
) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von $\boldsymbol{\pi}$ berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Quadraten basiert.
Erforderliches Vorwissen
Idee
Im Kapitel Kreiszahl $\pi$ haben wir erfahren, dass gilt:
$$ \frac{A}{r^2} = \pi $$
Umstellen nach $A$ führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Ein Kreis mit einem Radius von $r = 1\ \textrm{LE}$ hat folglich einen Flächeninhalt von
$$ A = \pi \cdot (1\ \textrm{LE})^2 = \pi\ \textrm{LE}^2 $$
Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit $r = 1\ \textrm{LE}$ näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für $\pi$ berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln
. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:
Untere Grenze
Der Kreisfläche ist größer als alle Quadrate, die vollständig im Inneren der Kreisfläche liegen.
Obere Grenze
Die Kreisfläche ist kleiner als alle Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.
Anleitung
Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ der Quadrate festlegen
Flächeninhalt $\boldsymbol{A_Q}$ eines Quadrats berechnen
Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen
Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen
Lösungsintervall aufschreiben
Merke: Je kleiner die Seitenlänge $a$, desto genauer die Näherung!
Beispiel
Näherungsschritt 1
Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ der Quadrate festlegen
$$ \begin{align*} a &= \frac{1}{2} \cdot r \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 1\ \textrm{LE} \\[5px] &= 0{,}5\ \textrm{LE} \end{align*} $$
Flächeninhalt $\boldsymbol{A_Q}$ eines Quadrats berechnen
$$ \begin{align*} A_{Q} &= a^2 \\[5px] &= (0{,}5\ \textrm{LE})^2 \\[5px] &= 0{,}25\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen
Wir zählen $4$ Quadrate, die vollständig im Inneren der Kreisfläche liegen.
$$ \begin{align*} U &= 4 \cdot 0{,}25\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 1\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen
Wir zählen $16$ Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.
$$ \begin{align*} O &= 16 \cdot 0{,}25\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 4\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Lösungsintervall aufschreiben
Näherungsschritt 2
Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ der Quadrate festlegen
$$ \begin{align*} a &= \frac{1}{4} \cdot r \\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot 1\ \textrm{LE} \\[5px] &= 0{,}25\ \textrm{LE} \end{align*} $$
Flächeninhalt $\boldsymbol{A_Q}$ eines Quadrats berechnen
$$ \begin{align*} A_{Q} &= a^2 \\[5px] &= (0{,}25\ \textrm{LE})^2 \\[5px] &= 0{,}0625\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen
Wir zählen $32$ Quadrate, die im Inneren der Kreisfläche liegen.
$$ \begin{align*} U &= 32 \cdot 0{,}0625\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 2\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen
Wir zählen $60$ Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.
$$ \begin{align*} O &= 60 \cdot 0{,}0625\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 3{,}75\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Lösungsintervall aufschreiben
Näherungsschritt 3
Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ der Quadrate festlegen
$$ \begin{align*} a &= \frac{1}{8} \cdot r \\[5px] &= \frac{1}{8} \cdot 1\ \textrm{LE} \\[5px] &= 0{,}125\ \textrm{LE} \end{align*} $$
Flächeninhalt $\boldsymbol{A_Q}$ eines Quadrats berechnen
$$ \begin{align*} A_{Q} &= a^2 \\[5px] &= (0{,}125\ \textrm{LE})^2 \\[5px] &= 0{,}015625\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Untere Grenze $\boldsymbol{U}$ berechnen
Wir zählen $164$ Quadrate, die im Inneren der Kreisfläche liegen.
$$ \begin{align*} U &= 164 \cdot 0{,}015625\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 2{,}5625\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Obere Grenze $\boldsymbol{O}$ berechnen
Wir zählen $224$ Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.
$$ \begin{align*} O &= 224 \cdot 0{,}015625\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 3{,}5\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Lösungsintervall aufschreiben
