Pi berechnen (Teil 1)

Die Kreiszahl \(\pi\) (sprich: Pi) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Es gibt mehrere Näherungsverfahren, mit deren Hilfe wir den Wert von \(\pi\) berechnen können. In diesem Kapitel schauen wir uns ein Verfahren an, das auf der Berechnung von Quadraten basiert.

Benötigtes Vorwissen

Idee

Im Kapitel Kreiszahl \(\pi\) haben wir erfahren, dass gilt:

\begin{align*} \frac{A}{r^2} = \pi \end{align*}

Umstellen nach \(A\) führt uns zur Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

\begin{align*} A = \pi \cdot r^2 \end{align*}

Ein Kreis mit einem Radius von \(r = 1~\mathrm{LE}\) hat folglich einen Flächeninhalt von

\begin{align*} A = \pi \cdot (1~\mathrm{LE})^2 = \pi~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Einheitskreis
Einheitskreis

Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt eines Kreises mit \(r = 1~\mathrm{LE}\) näherungsweise zu bestimmen, haben wir gleichzeitig einen Näherungswert für \(\pi\) berechnet. Dazu werden wir den Flächeninhalt des Kreises von unten und oben einkesseln. Als Ergebnis erhalten wir ein Intervall mit den Grenzen:

Untere Grenze

Der Kreisfläche ist größer als
alle Quadrate, die vollständig im Inneren der Kreisfläche liegen.

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als
alle Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Anleitung

  1. Seitenlänge \(a\) der Quadrate festlegen
  2. Flächeninhalt \(A_Q\) eines Quadrats berechnen
  3. Untere Grenze \(U\) berechnen
  4. Obere Grenze \(O\) berechnen
  5. Lösungsintervall aufschreiben

Merke: Je kleiner die Seitenlänge \(a\), desto genauer die Näherung!

Beispiel

Näherungsschritt 1

Beispiel

Seitenlänge \(a\) der Quadrate festlegen

\begin{align*} a &= \frac{1}{2} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= 0{,}5~\mathrm{LE} \end{align*}

Seitenlänge a eines Quadrats
Seitenlänge \(a\)

Flächeninhalt \(A_Q\) eines Quadrats berechnen

\begin{align*} A_{Q} &= a^2\\[5px] &= (0{,}5~\mathrm{LE})^2\\[5px] &= 0{,}25~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Flächeninhalt eines Quadrats
Flächeninhalt \(A_{Q}\)

Untere Grenze \(U\) berechnen

Wir zählen \(4\) Quadrate, die vollständig im Inneren der Kreisfläche liegen.

\begin{align*} U &= 4 \cdot 0{,}25~\mathrm{LE}^2\\[5px] &= 1~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze \(O\) berechnen

Wir zählen \(16\) Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

\begin{align*} O &= 16 \cdot 0{,}25~\mathrm{LE}^2\\[5px] &= 4~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\begin{align*} 1~\mathrm{LE}^2 < A_K < 4~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_{K}\)

Näherungsschritt 2

Beispiel

Seitenlänge \(a\) der Quadrate festlegen

\begin{align*} a &= \frac{1}{4} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= 0{,}25~\mathrm{LE} \end{align*}

Seitenlänge eines Quadrats
Seitenlänge \(a\)

Flächeninhalt \(A_Q\) eines Quadrats berechnen

\begin{align*} A_{Q} &= a^2\\[5px] &= (0{,}25~\mathrm{LE})^2\\[5px] &= 0{,}0625~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Flächeninhalt eines Quadrats
Flächeninhalt \(A_{Q}\)

Untere Grenze \(U\) berechnen

Wir zählen \(32\) Quadrate, die im Inneren der Kreisfläche liegen.

\begin{align*} U &= 32 \cdot 0{,}0625~\mathrm{LE}^2\\[5px] &= 2~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze \(O\) berechnen

Wir zählen \(60\) Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

\begin{align*} O &= 60 \cdot 0{,}0625~\mathrm{LE}^2\\[5px] &= 3{,}75~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\begin{align*} 2~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}75~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_{K}\)

Näherungsschritt 3

Beispiel

Seitenlänge \(a\) der Quadrate festlegen

\begin{align*} a &= \frac{1}{8} \cdot r\\[5px] &= \frac{1}{8} \cdot 1~\mathrm{LE}\\[5px] &= 0{,}125~\mathrm{LE} \end{align*}

Seitenlänge eines Quadrats
Seitenlänge \(a\)

Flächeninhalt \(A_Q\) eines Quadrats berechnen

\begin{align*} A_{Q} &= a^2\\[5px] &= (0{,}125~\mathrm{LE})^2\\[5px] &= 0{,}015625~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Flächeninhalt eines Quadrats
Flächeninhalt \(A_{Q}\)

Untere Grenze \(U\) berechnen

Wir zählen \(164\) Quadrate, die im Inneren der Kreisfläche liegen.

\begin{align*} U &= 164 \cdot 0{,}015625~\mathrm{LE}^2\\[5px] &= 2{,}5625~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Untere Grenze
Untere Grenze \(U\)

Obere Grenze \(O\) berechnen

Wir zählen \(224\) Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

\begin{align*} O &= 224 \cdot 0{,}015625~\mathrm{LE}^2\\[5px] &= 3{,}5~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Obere Grenze
Obere Grenze \(O\)

Lösungsintervall aufschreiben

Der Flächeninhalt des Kreises \(A_K\) ist größer als der Flächeninhalt der orangefarbenen Fläche \(U\), aber kleiner als der Flächeninhalt der grauen Fläche \(O\). Deshalb gilt:

\begin{align*} 2{,}5625~\mathrm{LE}^2 < A_K < 3{,}5~\mathrm{LE}^2 \end{align*}

Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt \(A_{K}\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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