Kreisabschnitt

In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisabschnitt etwas genauer an.

Definition

Gegeben sei eine ganze Kreisfläche.

Kreisfläche
Kreisfläche

Jeder Teil der Kreisfläche,
der von einer Sehne und einem Kreisbogen begrenzt wird, heißt Kreisabschnitt oder Kreissegment.

Eine Sehne teilt die Kreisfläche in zwei Kreisabschnitte.

Kreisabschnitt 1
Kreisabschnitt 1
Kreisabschnitt 2
Kreisabschnitt 2

Kreisabschnitt berechnen

Formel

Gesucht sei der Flächeninhalt des Kreisabschnitts über dem Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\).

Kreisabschnitt
Kreisabschnitt

Wir berechnen den Flächeninhalt des Kreisausschnitts über demselben Kreisbogen…

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}} \end{align*}

Kreisausschnitt
Kreisausschnitt

…und ziehen davon den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABM\) ab.

\begin{align*} A_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Grundfläche} \cdot \mathrm{Höhe} \end{align*}

Die Grundfläche des Dreiecks ist \(s\), die Länge der Sehne \([AB]\). Doch was ist mit der Höhe des Dreiecks?

Dreieck
Dreieck

Die Höhe des Dreiecks wollen wir über die Höhe des Kreisabschnitts \(h\) ausdrücken. Offensichtlich gilt:

\begin{align*} r = \text{Höhe des Dreiecks} + h \end{align*}

Daraus folgt:

\begin{align*} \text{Höhe des Dreiecks} = r - h \end{align*}

Höhe des Kreisabschnitts
Höhe des Kreisabschnitts

Wir fassen zusammen:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisabschnitt}} &= A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} - A_{ABM}\\[5px] &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\mathrm{Kreis}} - \frac{1}{2} \cdot s \cdot (r - h) \end{align*}

Einsetzen von \(A_{\mathrm{Kreis}} = \pi \cdot r^2\) führt zu:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisabschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 - \frac{1}{2} \cdot s \cdot (r - h) \end{align*}

Diese Formel können wir vereinfachen, indem wir \(s\) und \(h\) durch \(\alpha\) ausdrücken. Dazu benötigen wir einige Zusammenhänge aus der Trigonometrie:

\begin{align*} \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) &= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5px] &= \frac{\frac{1}{2}s}{r} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow s = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \end{align*}

bla
bla

\begin{align*} \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) &= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5px] &= \frac{r - h}{r} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow h = r - r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \end{align*}

bla
bla

Das Dreieck \(ACM\) hat folglich einen Flächeninhalt von

\begin{align*} A_{ACM} &= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Grundfläche} \cdot \mathrm{Höhe}\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}s \cdot (r - h)\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \left(r - \left(r - r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)\right)\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \left(r - r + r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\\[5px] \end{align*}

Das Dreieck \(ABM\) ist doppelt so groß wie das eben berechnete Dreieck \(ACM\):

\begin{align*} A_{ABM} &= 2 \cdot A_{ACM}\\[5px] &= 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)\\[5px] & = r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \end{align*}

Laut Formelsammlung gilt

\begin{align*} \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \cdot \sin (2\alpha) \end{align*}

Mit diesem Wissen können wir unser obiges Ergebnis weiter vereinfachen:

\begin{align*} A_{ABM} & = r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\\[5px] & = r^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{1}{2}\alpha\right)\\[5px] & = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\alpha\\[5px] \end{align*}

Wir fassen zusammen:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisabschnitt}} &= A_{\mathrm{Kreisausschnitt}} - A_{ABM}\\[5px] &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 - \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\alpha \end{align*}

Ausklammern von \(\frac{1}{2} \cdot r^2 = \frac{r^2}{2}\) führt uns zu:

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisabschnitt}} = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi - \sin\alpha\right) \end{align*}

Anleitung

  1. Formel aufschreiben
  2. Werte für \(\alpha\) und \(r\)
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt eines Kreisabschnitts \(A_{\mathrm{Kreisabschnitt}}\), der zum Mittelpunktswinkel \(\alpha = 45^\circ\) und einem Kreis mit dem Radius \(r = 5~\mathrm{cm}\) gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

\begin{align*} A_{\mathrm{Kreisabschnitt}} = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi - \sin\alpha\right) \end{align*}

Werte für \(\alpha\) und \(r\)

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisabschnitt}}} = \frac{(5~\mathrm{cm})^2}{2} \cdot \left(\frac{45^\circ}{180^\circ} \cdot \pi - \sin 45^\circ\right) \end{align*}

Ergebnis berechnen

\begin{align*} \phantom{A_{\mathrm{Kreisabschnitt}}} & = 0{,}97\ldots~\mathrm{cm}^2 \\[5px] & \approx 1{,}0~\mathrm{cm}^2 \end{align*}

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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