Kreisabschnitt
In vielen Aufgabenstellungen geht es nicht um einen ganzen Kreis, sondern nur um einen Teil davon: Die wichtigsten Kreisteile sind Kreisbogen, Kreisausschnitt, Kreisabschnitt und Kreisring. In diesem Kapitel schauen wir uns den Kreisabschnitt etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Jeder Teil der Kreisfläche, der von einer Sehne und einem Kreisbogen begrenzt wird, heißt Kreisabschnitt oder Kreissegment.
Eine Sehne teilt die Kreisfläche in zwei Kreisabschnitte.
Kreisabschnitt berechnen
Formel
Gesucht sei der Flächeninhalt des Kreisabschnitts über dem Kreisbogen $\overset{\frown}{AB}$.
Wir berechnen den Flächeninhalt des Kreisausschnitts über demselben Kreisbogen…
$$ A_{\textrm{Kreisausschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\textrm{Kreis}} $$
…und ziehen davon den Flächeninhalt des Dreiecks $ABM$ ab.
$$ A_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \textrm{Grundfläche} \cdot \textrm{Höhe} $$
Die Grundfläche des Dreiecks ist $s$, die Länge der Sehne $[AB]$. Doch was ist mit der Höhe des Dreiecks?
Die Höhe des Dreiecks wollen wir über die Höhe des Kreisabschnitts $h$ ausdrücken. Offensichtlich gilt:
$$ r = \text{Höhe des Dreiecks} + h $$
Daraus folgt:
$$ \text{Höhe des Dreiecks} = r - h $$
Wir fassen zusammen:
$$ \begin{align*} A_{\textrm{Kreisabschnitt}} &= A_{\textrm{Kreisausschnitt}} - A_{ABM} \\[5px] &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot A_{\textrm{Kreis}} - \frac{1}{2} \cdot s \cdot (r - h) \end{align*} $$
Einsetzen von $A_{\textrm{Kreis}} = \pi \cdot r^2$ führt zu:
$$ A_{\textrm{Kreisabschnitt}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 - \frac{1}{2} \cdot s \cdot (r - h) $$
Diese Formel können wir vereinfachen, indem wir $s$ und $h$ durch $\alpha$ ausdrücken. Dazu benötigen wir einige Zusammenhänge aus der Trigonometrie:
$$ \begin{align*} \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) &= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5px] &= \frac{\frac{1}{2}s}{r} \end{align*} $$
$$ \Rightarrow s = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) $$
$$ \begin{align*} \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) &= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5px] &= \frac{r - h}{r} \end{align*} $$
$$ \Rightarrow h = r - r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) $$
Das Dreieck $ACM$ hat folglich einen Flächeninhalt von
$$ \begin{align*} A_{ACM} &= \frac{1}{2} \cdot \textrm{Grundfläche} \cdot \textrm{Höhe} \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}s \cdot (r - h) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \left(r - \left(r - r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right)\right) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \left(r - r + r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot r \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \end{align*} $$
Das Dreieck $ABM$ ist doppelt so groß wie das eben berechnete Dreieck $ACM$:
$$ \begin{align*} A_{ABM} &= 2 \cdot A_{ACM} \\[5px] &= 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\right) \\[5px] &= r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \end{align*} $$
Laut Formelsammlung gilt
$$ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \cdot \sin (2\alpha) $$
Mit diesem Wissen können wir unser obiges Ergebnis weiter vereinfachen:
$$ \begin{align*} A_{ABM} &= r^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right) \\[5px] &= r^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{1}{2}\alpha\right) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\alpha \end{align*} $$
Wir fassen zusammen:
$$ \begin{align*} A_{\textrm{Kreisabschnitt}} &= A_{\textrm{Kreisausschnitt}} - A_{ABM} \\[5px] &= \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 - \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin\alpha \end{align*} $$
Ausklammern von $\frac{1}{2} \cdot r^2 = \frac{r^2}{2}$ führt uns zu:
$$ A_{\textrm{Kreisabschnitt}} = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi - \sin\alpha\right) $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{r}$
Ergebnis berechnen
Beispiel
Berechne den Flächeninhalt eines Kreisabschnitts $A_{\textrm{Kreisabschnitt}}$, der zum Mittelpunktswinkel $\alpha = 45^\circ$ und einem Kreis mit dem Radius $r = 5\ \textrm{cm}$ gehört. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ A_{\textrm{Kreisabschnitt}} = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi - \sin\alpha\right) $$
Werte für $\boldsymbol{\alpha}$ und $\boldsymbol{r}$
$$ \phantom{A_{\textrm{Kreisabschnitt}}} = \frac{(5\ \textrm{cm})^2}{2} \cdot \left(\frac{45^\circ}{180^\circ} \cdot \pi - \sin 45^\circ\right) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A_{\textrm{Kreisabschnitt}}} &= 0{,}97\ldots\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &\approx 1{,}0\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
