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Verhältnisgleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Verhältnisgleichungen sind.

Notwendiges Vorwissen: Verhältnis

Verhältnisgleichungen sind
Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen:

\[a:b = c:d \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]

Häufig verwendet man statt „Verhältnisgleichungen“ auch den Fachbegriff „Proportionen“.

Bezeichnungen

Die Glieder der Verhältnisgleichung werden nach ihrer Stellung innerhalb der Gleichung benannt:

  • Außenglieder (\(a\) und \(d\)) und Innenglieder (\(b\) und \(c\))
  • Vorderglieder (\(a\) und \(c\)) und Hinterglieder (\(b\) und \(c\))

Äquivalente Umformungen

In jeder Proportion darf man

a) die beiden Seiten miteinander

\[{\color{green}\frac{a}{b}} = {\color{red}\frac{c}{d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{red}\frac{c}{d}} = {\color{green}\frac{a}{b}}\]

b) die Innenglieder untereinander

\[\frac{a}{{\color{green}b}} = \frac{{\color{red}c}}{d} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{{\color{red}c}} = \frac{{\color{green}b}}{d}\]

c) die Außenglieder untereinander

\[\frac{{\color{green}a}}{b} = \frac{c}{{\color{red}d}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{{\color{red}d}}{b} = \frac{c}{{\color{green}a}}\]

d) die Innenglieder gegen die Außenglieder

\[\frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{green}c}}{{\color{red}d}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{{\color{red}b}}{{\color{green}a}} = \frac{{\color{red}d}}{{\color{green}c}}\]

vertauschen.

Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder:

\[\frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} \quad \text{(Produktgleichung der Proportion)}\]

Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, lässt sich das vierte Glied berechnen.

Verhältnisgleichungen lösen

Jede Verhältnisgleichung lässt sich zu einer linearen Gleichung umformen.
Lineare Gleichungen lösen wir gewöhnlich mittels Äquivalenzumformungen.

Der Einfachheit halber lassen wir im Folgenden die Maßeinheiten beim Rechnen weg.

Beispiel 1

Ein Fernseher mit dem Seitenverhältnis 16:9 (Bildbreite zu Bildhöhe) ist 80 cm breit.
Wie hoch ist der Bildschirm?

Gegeben: Verhältnis Bildbreite zu Bildhöhe, Bildbreite
Gesucht: Bildhöhe

Es verhält sich 16 zu 9 wie Bildbreite (80 cm) zu Bildhöhe (\(x\) cm).

Ansatz: \(\frac{16}{9} = \frac{80}{x}\) (sprich: 16 zu 9 wie 80 zu x)

\(\begin{align*}
\frac{16}{9} &= \frac{80}{x} &&{\color{gray}| \cdot x}\\[5pt]
x \cdot \frac{16}{9} &= 80 &&{\color{gray}| :\frac{16}{9}}\\[5pt]
x &= 80 : \frac{16}{9}\\[5pt]
x &= 80 \cdot \frac{9}{16}\\[5pt]
x &= 45
\end{align*}\)

Der Bildschirm des Fernsehers ist 45 cm hoch.

Beispiel 2

Unser Nachbar rührt Beton an: Er mischt Zement und Kies im Verhältnis 1:4.
Wie viel Zement braucht er, wenn er 32 kg Kies zur Verfügung hat?

Gegeben: Verhältnis Zement zu Kies, Kiesmenge
Gesucht: Zementmenge

Es verhält sich 1 zu 4 wie Zement (\(x\) kg) zu Kies (32 kg).

Ansatz: \(\frac{1}{4} = \frac{x}{32}\) (sprich: 1 zu 4 wie x zu 32)

\(\begin{align*}
\frac{1}{4} &= \frac{x}{32} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
\frac{x}{32} &= \frac{1}{4} &&{\color{gray}| \cdot 32}\\[5pt]
x &= \frac{1}{4} \cdot 32\\[5pt]
x &= 8
\end{align*}\)

Unser Nachbar benötigt 8 kg Zement.

Bei Verhältnisgleichungen kommt es häufig vor, dass das Verhältnis der beiden Größen in nicht gekürzter Form vorliegt. Das Vorgehen ändert sich dadurch nicht, wie folgende Beispiele zeigen:

Beispiel 3

Opa Horst hat sich in einem Elektrofachgeschäft einen neuen Fernseher gekauft.
Sein alter Fernseher war 60 cm breit und 45 cm hoch. Der neue ist 100 cm breit.
Wie hoch ist der neue Fernseher, wenn das Seitenverhältnis gleich geblieben ist?

Gegeben: Verhältnis Bildbreite zu Bildhöhe, Bildbreite
Gesucht: Bildhöhe

Es verhält sich Breite\(_{\text{alt}}\) (60) zu Höhe\(_{\text{alt}}\) (45) wie Breite\(_{\text{neu}}\) (100) zu Höhe\(_{\text{neu}}\) (\(x\)).

Ansatz: \(\frac{60}{45} = \frac{100}{x}\) (sprich: 60 zu 45 wie 100 zu x)

\(\begin{align*}
\frac{60}{45} &= \frac{100}{x} &&{\color{gray}| \cdot x}\\[5pt]
x \cdot \frac{60}{45} &= 100 &&{\color{gray}| :\frac{60}{45}}\\[5pt]
x &= 100 : \frac{60}{45}\\[5pt]
x &=100 \cdot \frac{45}{60}\\[5pt]
x &= 75
\end{align*}\)

Der neue Fernseher ist 75 cm hoch.

Beispiel 4

Für eine Betonmauer im Garten mischt Herr Hans 5 kg Zement mit 20 kg Kies.
Sein Nachbar Herr Otto möchte eine etwas größere Betonmauer bauen.
Er weiß, dass er dazu 26 kg Kies benötigt. Wie viel Zement braucht Herr Otto,
wenn das Mischverhältnis dasselbe wie bei Herrn Hans sein soll?

Gegeben: Verhältnis Zement zu Kies, Kiesmenge
Gesucht: Zementmenge

Es verhält sich Zement\(_{\text{Hans}}\) (5) zu Kies\(_{\text{Hans}}\) (20) wie Zement\(_{\text{Otto}}\) (\(x\)) zu Kies\(_{\text{Otto}}\) (26).

Ansatz: \(\frac{5}{20} = \frac{x}{26}\) (sprich: 5 zu 20 wie x zu 26)

\(\begin{align*}
\frac{5}{20} &= \frac{x}{26} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
\frac{x}{26} &= \frac{5}{20} &&{\color{gray}| \cdot 26}\\[5pt]
x &= \frac{5}{20} \cdot 26\\[5pt]
x &= 6,5
\end{align*}\)

Herr Otto benötigt 6,5 kg Zement.

In vielen Aufgabenstellungen zu den Verhältnisgleichungen kommt das Wort „Maßstab“ vor.

Als Maßstab bezeichnet man das Verhältnis zwischen
der abgebildeten Größe auf einer Karte oder in einem Modell
und der entsprechenden Größe in der Realität.

Beispiel: Eine Landkarte im Maßstab 1:5000 stellt die Realität 5000 mal kleiner dar.
               \(\Rightarrow\) 1 cm auf der Karte entspricht 5.000 cm in der Realität
               \(\Rightarrow\) 10 cm auf der Karte entsprechen 50.000 cm in der Realität

Beispiel 5

Opa Fritz möchte das Lieblingsauto seines Enkels Sebastian als Modell nachbauen.
„Das Auto ist in der Realität 500 cm lang“, erzählt der Enkel seinem Opa begeistert.
Wie lang wird das Modellauto, wenn Opa Fritz das Modell im Maßstab 1:25 anfertigt?

Gegeben: Maßstab (= Verhältnis Modelllänge zu Naturlänge), Naturlänge
Gesucht: Modelllänge

Idee: Länge\(_{\text{Modell}}\) (1) zu Länge\(_{\text{Natur}}\) (25) wie Länge\(_{\text{Modell}}\) (\(x\)) zu Länge\(_{\text{Natur}}\) (500).

Ansatz: \(\frac{1}{25} = \frac{x}{500}\) (sprich: 1 zu 25 wie x zu 500)

\(\begin{align*}
\frac{1}{25} &= \frac{x}{500} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
\frac{x}{500} &= \frac{1}{25} &&{\color{gray}| \cdot 500}\\[5pt]
x &= \frac{1}{25} \cdot 500\\[5pt]
x &= 20
\end{align*}\)

Das Modell wird 20 cm lang.

Beispiel 5 (Alternativer Ansatz)

Ein anderer Ansatz ergibt sich z. B. indem wir die Innenglieder untereinander vertauschen:

Idee: Länge\(_{\text{Modell}}\) (1) zu Länge\(_{\text{Modell}}\) (\(x\)) wie Länge\(_{\text{Natur}}\) (25) zu Länge\(_{\text{Natur}}\) (500).

Ansatz: \(\frac{1}{x} = \frac{25}{500}\)

Beispiel 6

Luisa und ihre Freundin Sarah sind zum ersten Mal zum Shopping in Berlin.
Auf ihrem Stadtplan ist ihr Ziel, der Kurfürstendamm, genau 15 cm entfernt.
Wie lang ist die Strecke in Wirklichkeit, wenn der Maßstab der Karte 1:10000 ist?

Gegeben: Maßstab (= Verhältnis Kartenstrecke zu Naturstrecke), Kartenstrecke
Gesucht: Naturstrecke

Idee: Strecke\(_{\text{Karte}}\) (1) zu Strecke\(_{\text{Natur}}\) (10000) wie Strecke\(_{\text{Karte}}\) (15) zu Strecke\(_{\text{Natur}}\) (\(x\))

Ansatz: \(\frac{1}{10000} = \frac{15}{x}\) (sprich: 1 zu 10000 wie 15 zu x)

\(\begin{align*}
\frac{1}{10000} &= \frac{15}{x} &&{\color{gray}| \cdot x}\\[5pt]
x \cdot \frac{1}{10000} &= 15 &&{\color{gray}| :\frac{1}{10000}}\\[5pt]
x &= 15 : \frac{1}{10000}\\[5pt]
x &= 15 \cdot \frac{10000}{1}\\[5pt]
x &= 150000
\end{align*}\)

In Wirklichkeit ist die Strecke 150000 cm (= 1500 m) lang.

Beispiel 6 (Alternativer Ansatz)

Ein anderer Ansatz ergibt sich z. B. indem wir die Innenglieder untereinander vertauschen:

Idee: Strecke\(_{\text{Karte}}\) (1) zu Strecke\(_{\text{Karte}}\) (15) wie Strecke\(_{\text{Natur}}\) (10000) zu Strecke\(_{\text{Natur}}\) (\(x\))

Ansatz: \(\frac{1}{15} = \frac{10000}{x}\)

Offenbar gibt es stets mehrere Wege, um eine Verhältnisgleichung zu lösen. Auch interessant:

Ein beliebtes Lösungsverfahren für Verhältnisgleichungen ist der Dreisatz.

Die zeitintensive Anwendung des Dreisatzes kann man sich sparen, wenn man weiß, wie man eine Verhältnisgleichung aufstellt und diese durch einfache mathematische Operationen löst.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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