Verhältnisrechnung

In der Verhältnisrechnung geht es um das Rechnen mit Verhältnissen.

Definition 

Unter einem Verhältnis zweier zu vergleichender Größen $a$ und $b$ versteht man deren Quotienten $\boldsymbol{a:b}$ (oder in Bruchschreibweise: $\boldsymbol{\frac{a}{b}}$).

Verhältnisse werden gewöhnlich in gekürzter Form angegeben (Brüche kürzen).

Beispiel 1 

In Patricks Klasse befinden sich $18$ Jungen und $12$ Mädchen.

In welchem Verhältnis stehen Jungen und Mädchen zueinander?

$$ \begin{align*} 18 : 12 &= \frac{18}{12} &&{\color{gray}| \text{ Bruch kürzen}} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot 3 \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3}} \\[5px] &= \frac{3}{2} \end{align*} $$

Die Jungen und Mädchen stehen im Verhältnis $3:2$ (sprich: 3 zu 2) zueinander.

Verhältnisgleichungen 

In vielen Aufgabenstellungen lassen sich zwei Verhältnisse gleichsetzen.

Verhältnisgleichungen sind Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen:

$$ a:b = c:d \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

Jede Verhältnisgleichung lässt sich zu einer linearen Gleichung umformen.

Lineare Gleichungen lösen wir gewöhnlich mittels Äquivalenzumformungen.

Beispiel 2 

In Patricks Nachbarklasse ist das Jungen-Mädchen-Verhältnis auch $3:2$.

Wie viele Jungen sind in der Nachbarklasse, wenn dort $8$ Mädchen sind?

$3$ Jungen verhalten sich zu $2$ Mädchen wie $x$ Jungen zu $8$ Mädchen.

Ansatz: $\frac{3}{2} = \frac{x}{8}$ (sprich: 3 zu 2 wie x zu 8)

$$ \begin{align*} \frac{3}{2} &= \frac{x}{8} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{x}{8} &= \frac{3}{2} &&{\color{gray}| \cdot 8} \\[5px] x &= \frac{3}{2} \cdot 8 \\[5px] x &= 12 \end{align*} $$

In Patricks Nachbarklasse sind $12$ Jungen.

Neben dem äquivalenten Umformen gibt es noch ein weiteres Lösungsverfahren:

Ein beliebtes Lösungsverfahren für Verhältnisgleichungen ist der Dreisatz.

Die zeitintensive Anwendung des Dreisatzes kann man sich sparen, wenn man weiß, wie man eine Verhältnisgleichung aufstellt und diese durch einfache mathematische Operationen löst.

Verhältnisrechnung für Fortgeschrittene 

Nach dieser kurzen Einführung in die Verhältnisrechnung wird es Zeit, sich tiefergehend mit diesem Thema auseinanderzusetzen: Dabei sollen dir die Kapitel zum Verhältnis und zu den Verhältnisgleichungen helfen. Außerdem ist der Dreisatz in diesem Zusammenhang von Bedeutung.

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