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Zusammengesetzter Dreisatz

In diesem Kapitel besprechen wir den zusammengesetzten Dreisatz.

Um das Thema zu verstehen, solltest du bereits den einfachen Dreisatz kennen.

Der Dreisatz ist ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben.

Wir kennen zwei Arten von Proportionalität:

Die Bezeichnung "Dreisatz" kommt daher, dass die Lösung in drei Schritten berechnet wird:

Vorgehensweise

  1. Bekannt: Welche Daten sind bekannt?
  2. Folgerung: Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?
  3. Schluss: Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?

Beim einfachen Dreisatz hat man es mit zwei Größen zu tun. Ein zusammengesetzter Dreisatz setzt sich aus mehreren einfachen Dreisätzen zusammen, weshalb mindestens drei Größen vorkommen. Die folgende Tabelle zeigt einen Überblick über das Thema:

  Anzahl an Größen Welche Varianten gibt es?
einfacher Dreisatz 2 Größen > gerader Dreisatz
   (= proportional)
> ungerader Dreisatz
   (= antiproportional)
zweifach verschachtelter Dreisatz 3 Größen > proportional-proportional
> proportional-antiproportional
> antiproportional-antiproportional
dreifach verschachtelter Dreisatz 4 Größen > prop-prop-prop
> prop-prop-antiprop
> prop-antiprop-antiprop
> antiprop-antiprop-antiprop
... ... ...

Hinweis:
Beim zweifachen Dreisatz muss man den 2. Schritt (Folgerung) und den 3. Schritt (Schluss) jeweils zweimal ausführen, beim dreifachen Dreisatz jeweils dreimal.

Im Folgenden schauen wir uns zwei zweifach verschachtelte Dreisätze an. Im ersten Beispiel sind die vorkommenden Dreisätze proportional. Im zweiten Beispiel ist ein Dreisatz proportional, der andere dagegen antiproportional.

Ein 7 m2 großes und 5 mm dickes Kupferblech wiegt 313,6 kg.
Wie viel wiegt ein 4 m² großes und 6 mm dickes Kupferblech?

Vorüberlegungen

Es sind drei Größen gegeben: "Größe", "Dicke" und "Gewicht".

Zwischen "Größe" und "Gewicht" besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr (Größe), desto mehr (Gewicht)
- Je weniger (Größe), desto weniger (Gewicht)

Zwischen "Dicke" und "Gewicht" besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr (Dicke), desto mehr (Gewicht)
- Je weniger (Dicke), desto weniger (Gewicht)

1.) Welche Daten sind bekannt?

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\
\hline
7 & & 5 & & 313,6 &
\end{array}\)

Ein \(7\) m2 großes und \(5\) mm dickes Kupferblech wiegt \(313,6\) kg.

2.1) Wie viel wiegt 1 m²?

Je weniger (Fläche), desto weniger (Gewicht)
\(\Rightarrow\) Division

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\
\hline
7 & :{\color{red}7} & 5 & & 313,6 & :{\color{red}7} \\
1 & & 5 & & \frac{313,6}{{\color{red}7}} &
\end{array}\)

Ein \(1\) m2 großes und \(5\) mm dickes Kupferblech wiegt \(\frac{313,6}{{\color{red}7}}\) kg.

2.2) Wie viel wiegt ein 1 m² großes und 1 mm dickes Kupferblech?

Je weniger (Dicke), desto weniger (Gewicht)
\(\Rightarrow\) Division

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\
\hline
7 & :7 & 5 & & 313,6 & :7 \\
1 & & 5 & :{\color{red}5} & \frac{313,6}{7} & :{\color{red}5} \\
1 & & 1 & & \frac{313,6}{{\color{red}5} \cdot 7} & \\
\end{array}\)

Ein \(1\) m2 großes und \(1\) mm dickes Kupferblech wiegt \(\frac{313,6}{{\color{red}5} \cdot 7}\) kg.

3.1) Wie viel wiegt ein 4 m² großes und 1 mm dickes Kupferblech?

Je mehr (Gewicht), desto mehr (Gewicht)
\(\Rightarrow\) Multiplikation

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\
\hline
7 & :7 & 5 & & 313,6 & :7 \\
1 & & 5 & :5 & \frac{313,6}{7} & :5 \\
1 & \cdot {\color{green}4} & 1 & & \frac{313,6}{5 \cdot 7} & \cdot {\color{green}4} \\
4 & & 1 & & \frac{{\color{green}4} \cdot 313,6}{5 \cdot 7} &
\end{array}\)

Ein \(4\) m2 großes und \(1\) mm dickes Kupferblech wiegt \(\frac{{\color{green}4} \cdot 313,6}{5 \cdot 7}\) kg.

3.2) Wie viel wiegt ein 4 m² großes und 6 mm dickes Kupferblech?

Je mehr (Dicke), desto mehr (Gewicht)
\(\Rightarrow\) Multiplikation

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\
\hline
7 & :7 & 5 & & 313,6 & :7 \\
1 & & 5 & :5 & \frac{313,6}{7} & :5 \\
1 & \cdot 4 & 1 & & \frac{313,6}{5 \cdot 7} & \cdot 4 \\
4 & & 1 & \cdot {\color{green}6} & \frac{4 \cdot 313,6}{5 \cdot 7} & \cdot {\color{green}6} \\
4 & & 6 & & \frac{{\color{green}6} \cdot 4 \cdot 313,6}{5 \cdot 7} &
\end{array}\)

Ein \(4\) m2 großes Kupferblech mit \(6\) mm Dicke wiegt \(\frac{{\color{green}6} \cdot 4 \cdot 313,6}{5 \cdot 7}\) kg.

Antwort: Ein \(4\) m2 großes und \(6\) mm dickes Kupferblech wiegt \(\frac{7526,4}{35}\) kg.
[also ca. 215 kg]

4 Arbeiter pflastern 25 m² Fläche in 12 Stunden.
Wie lange brauchen 5 Arbeiter für 40 m² Fläche?

Vorüberlegungen

Es sind drei Größen gegeben: "Arbeiter", "Fläche" und "Stunden".

Zwischen "Arbeiter" und "Stunden" besteht ein antiproportionaler Zusammenhang:
- Je mehr Arbeiter, desto weniger Stunden werden benötigt
- Je weniger Arbeiter, desto mehr Stunden werden benötigt

Zwischen "Fläche" und "Stunden" besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr Fläche, desto mehr Stunden werden benötigt
- Je weniger Fläche, desto weniger Stunden werden benötigt

1.) Welche Daten sind bekannt?

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\
\hline
4 & & 25 & & 12 &
\end{array}\)

\(4\) Arbeiter pflastern \(25\) m² Fläche in \(12\) Stunden.

2.1) Wie lange braucht 1 Arbeiter?

Je weniger (Arbeiter), desto mehr (Stunden)
\(\Rightarrow\) Multiplikation

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\
\hline
4 & :{\color{red}4} & 25 & & 12 & \cdot {\color{green}4} \\
1 & & 25 & & {\color{green}4} \cdot 12 &
\end{array}\)

\(1\) Arbeiter pflastert \(25\) m² in \({\color{green}4} \cdot 12\) Stunden.

2.2) Wie lange braucht 1 Arbeiter für 1 m²?

Je weniger (Fläche), desto weniger (Stunden)
\(\Rightarrow\) Division

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\
\hline
4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\
1 & & 25 & :{\color{red}25} & 4 \cdot 12 & :{\color{red}25} \\
1 & & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{{\color{red}25}} &
\end{array}\)

\(1\) Arbeiter pflastert \(1\) m² in \(\frac{4 \cdot 12}{{\color{red}25}}\) Stunden.

3.1) Wie lange brauchen 5 Arbeiter für 1 m²?

Je mehr (Arbeiter), desto weniger (Stunden)
\(\Rightarrow\) Division

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\
\hline
4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\
1 & & 25 & :25 & 4 \cdot 12 & :25 \\
1 & \cdot {\color{green}5} & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{25} & :{\color{red}5} \\
5 & & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{{\color{red}5} \cdot 25} &
\end{array}\)

\(5\) Arbeiter pflastern \(1\) m² in \(\frac{4 \cdot 12}{{\color{red}5} \cdot 25}\) Stunden.

3.2) Wie lange brauchen 5 Arbeiter für 40 m²?

Je mehr (Fläche), desto mehr (Stunden)
\(\Rightarrow\) Multiplikation

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\
\hline
4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\
1 & & 25 & :25 & 4 \cdot 12 & :25 \\
1 & \cdot 5 & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{25} & :5 \\
5 & & 1 & \cdot {\color{green}40} & \frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 25} & \cdot {\color{green}40} \\
5 & & 40 & & \frac{{\color{green}40} \cdot 4 \cdot 12}{5 \cdot 25} & \\
\end{array}\)

\(5\) Arbeiter pflastern \(40\) m² in \(\frac{{\color{green}40} \cdot 4 \cdot 12}{5 \cdot 25}\) Stunden.

Antwort: \(5\) Arbeiter pflastern \(40\) m² in \(\frac{384}{25}\) = 15,36 Stunden.
[also in ca. 15 Stunden und 22 Minuten]

Anmerkungen zum
zusammengesetzten Dreisatz

Es spielt keine Rolle, bei welcher der beiden Größen man zuerst auf eine Einheit folgert (Schritt 2). Es ist auch egal, bei welcher der beiden Größen man zuerst auf die gesuchte Größe schließt (Schritt 3). Folglich gibt es verschiedene Reihenfolgen, die alle zum demselben Ergebnis führen:

  • Schritt 1 > Schritt 2.1 > Schritt 2.2 > Schritt 3.1 > Schritt 3.2
  • Schritt 1 > Schritt 2.2 > Schritt 2.1 > Schritt 3.1 > Schritt 3.2
  • Schritt 1 > Schritt 2.1 > Schritt 2.2 > Schritt 3.2 > Schritt 3.1
  • Schritt 1 > Schritt 2.2 > Schritt 2.1 > Schritt 3.2 > Schritt 3.1

Unter Umständen ist es sinnvoll, als Übergangswert im 2. Schritt (statt 1) den größten gemeinsamen Teiler zu verwenden. Wie das funktioniert, erfährst du im Hauptartikel "Dreisatz".

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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