Zusammen­gesetzter Dreisatz

In diesem Kapitel besprechen wir den zusammengesetzten Dreisatz.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Der Dreisatz ist ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben.

Wir kennen zwei Arten von Proportionalität:

Anleitung 

Die Bezeichnung Dreisatz kommt daher, dass die Lösung in drei Schritten berechnet wird:

Bekannt: Welche Daten sind bekannt?

Folgerung: Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?

Schluss: Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?

Beim einfachen Dreisatz hat man es mit zwei Größen zu tun. Ein zusammengesetzter Dreisatz setzt sich aus mehreren einfachen Dreisätzen zusammen, weshalb mindestens drei Größen vorkommen.

Die folgende Tabelle zeigt einen Überblick über das Thema:

DreisatzAnzahl an GrößenWelche Varianten gibt es?
Einfacher2 Größen> gerader Dreisatz
(= proportional)
> ungerader Dreisatz
(= antiproportional)
Zweifach verschachtelter3 Größen> proportional-proportional
> proportional-antiproportional
> antiproportional-antiproportional
Dreifach verschachtelter4 Größen> prop-prop-prop
> prop-prop-antiprop
> prop-antiprop-antiprop
> antiprop-antiprop-antiprop

Beim zweifachen Dreisatz muss man den 2. Schritt (Folgerung) und den 3. Schritt (Schluss) jeweils zweimal ausführen, beim dreifachen Dreisatz jeweils dreimal.

Beispiele 

Beispiel 1 

Ein $7\ \textrm{m}^2$ großes und $5\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $313{,}6\ \textrm{kg}$.

Wie viel wiegt ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $6\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?

Vorüberlegungen

Es sind drei Größen gegeben: Größe, Dicke und Gewicht.

Zwischen Größe und Gewicht besteht ein proportionaler Zusammenhang:

  • Je mehr (Größe), desto mehr (Gewicht)
  • Je weniger (Größe), desto weniger (Gewicht)

Zwischen Dicke und Gewicht besteht ein proportionaler Zusammenhang:

  • Je mehr (Dicke), desto mehr (Gewicht)
  • Je weniger (Dicke), desto weniger (Gewicht)

Welche Daten sind bekannt?

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & & 5 & & 313{,}6 & \end{array} $$

Ein $7\ \textrm{m}^2$ großes und $5\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $313{,}6\ \textrm{kg}$.

Folgerung

Wie viel wiegt $1\ \textrm{m}^2$?

Je weniger (Fläche), desto weniger (Gewicht) $\Rightarrow$ Division

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :{\color{red}7} & 5 & & 313{,}6 & :{\color{red}7} \\ 1 & & 5 & & \frac{313{,}6}{{\color{red}7}} & \end{array} $$

Ein $1\ \textrm{m}^2$ großes und $5\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{313{,}6}{{\color{red}7}}\ \textrm{kg}$.

Wie viel wiegt ein $1\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?

Je weniger (Dicke), desto weniger (Gewicht) $\Rightarrow$ Division

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :7 & 5 & & 313{,}6 & :7 \\ 1 & & 5 & :{\color{red}5} & \frac{313{,}6}{7} & :{\color{red}5} \\ 1 & & 1 & & \frac{313{,}6}{{\color{red}5} \cdot 7} & \\ \end{array} $$

Ein $1\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{313{,}6}{{\color{red}5} \cdot 7}\ \textrm{kg}$.

Schluss

Wie viel wiegt ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?

Je mehr (Fläche), desto mehr (Gewicht) $\Rightarrow$ Multiplikation

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :7 & 5 & & 313{,}6 & :7 \\ 1 & & 5 & :5 & \frac{313{,}6}{7} & :5 \\ 1 & \cdot {\color{green}4} & 1 & & \frac{313{,}6}{5 \cdot 7} & \cdot {\color{green}4} \\ 4 & & 1 & & \frac{{\color{green}4} \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7} & \end{array} $$

Ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{{\color{green}4} \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7}\ \textrm{kg}$.

Wie viel wiegt ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $6\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?

Je mehr (Dicke), desto mehr (Gewicht) $\Rightarrow$ Multiplikation

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :7 & 5 & & 313{,}6 & :7 \\ 1 & & 5 & :5 & \frac{313{,}6}{7} & :5 \\ 1 & \cdot 4 & 1 & & \frac{313{,}6}{5 \cdot 7} & \cdot 4 \\ 4 & & 1 & \cdot {\color{green}6} & \frac{4 \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7} & \cdot {\color{green}6} \\ 4 & & 6 & & \frac{{\color{green}6} \cdot 4 \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7} & \end{array} $$

Ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $6\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{{\color{green}6} \cdot 4 \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7}\ \textrm{kg} \approx 215\ \textrm{kg}$.

Beispiel 2 

$4$ Arbeiter pflastern $25\ \textrm{m}^2$ Fläche in $12$ Stunden.

Wie lange brauchen $5$ Arbeiter für $40\ \textrm{m}^2$ Fläche?

Vorüberlegungen

Es sind drei Größen gegeben: Arbeiter, Fläche und Stunden.

Zwischen Arbeiter und Stunden besteht ein antiproportionaler Zusammenhang:

  • Je mehr Arbeiter, desto weniger Stunden werden benötigt
  • Je weniger Arbeiter, desto mehr Stunden werden benötigt

Zwischen Fläche und Stunden besteht ein proportionaler Zusammenhang:

  • Je mehr Fläche, desto mehr Stunden werden benötigt
  • Je weniger Fläche, desto weniger Stunden werden benötigt

Welche Daten sind bekannt?

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & & 25 & & 12 & \end{array} $$

$4$ Arbeiter pflastern $25\ \textrm{m}^2$ Fläche in $12$ Stunden.

Folgerung

Wie lange braucht $1$ Arbeiter?

Je weniger (Arbeiter), desto mehr (Stunden) $\Rightarrow$ Multiplikation

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :{\color{red}4} & 25 & & 12 & \cdot {\color{green}4} \\ 1 & & 25 & & {\color{green}4} \cdot 12 & \end{array} $$

$1$ Arbeiter pflastert $25\ \textrm{m}^2$ Fläche in ${\color{green}4} \cdot 12$ Stunden.

Wie lange braucht $1$ Arbeiter für $1\ \textrm{m}^2$?

Je weniger (Fläche), desto weniger (Stunden) $\Rightarrow$ Division

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\ 1 & & 25 & :{\color{red}25} & 4 \cdot 12 & :{\color{red}25} \\ 1 & & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{{\color{red}25}} & \end{array} $$

$1$ Arbeiter pflastert $1\ \textrm{m}^2$ Fläche in $\frac{4 \cdot 12}{{\color{red}25}}$ Stunden.

Schluss

Wie lange brauchen $5$ Arbeiter für $1\ \textrm{m}^2$?

Je mehr (Arbeiter), desto weniger (Stunden) $\Rightarrow$ Division

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\ 1 & & 25 & :25 & 4 \cdot 12 & :25 \\ 1 & \cdot {\color{green}5} & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{25} & :{\color{red}5} \\ 5 & & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{{\color{red}5} \cdot 25} & \end{array} $$

$5$ Arbeiter pflastern $1\ \textrm{m}^2$ Fläche in $\frac{4 \cdot 12}{{\color{red}5} \cdot 25}$ Stunden.

Wie lange brauchen $5$ Arbeiter für $40\ \textrm{m}^2$?

Je mehr (Fläche), desto mehr (Stunden) $\Rightarrow$ Multiplikation

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\ 1 & & 25 & :25 & 4 \cdot 12 & :25 \\ 1 & \cdot 5 & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{25} & :5 \\ 5 & & 1 & \cdot {\color{green}40} & \frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 25} & \cdot {\color{green}40} \\ 5 & & 40 & & \frac{{\color{green}40} \cdot 4 \cdot 12}{5 \cdot 25} & \\ \end{array} $$

$5$ Arbeiter pflastern $40\ \textrm{m}^2$ Fläche in $\frac{{\color{green}40} \cdot 4 \cdot 12}{5 \cdot 25} = 15{,}36$ Stunden – also in ca. 15 Stunden und 22 Minuten.

Anmerkungen 

Es spielt keine Rolle, bei welcher der beiden Größen man zuerst auf eine Einheit folgert (2. Schritt). Es ist auch egal, bei welcher der beiden Größen man zuerst auf die gesuchte Größe schließt (3. Schritt). Folglich gibt es verschiedene Reihenfolgen, die alle zum demselben Ergebnis führen.

Unter Umständen ist es sinnvoll, als Übergangswert im 2. Schritt statt $1$ den größten gemeinsamen Teiler zu verwenden. Wie das funktioniert, erfährst du im Hauptkapitel Dreisatz.

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