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Antiproportionale Zuordnung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine antiproportionale Zuordnung ist.
[Alternative Bezeichnung: indirekte Proportionalität]

Für das Verständnis dieses Themas ist es erforderlich, dass du die Lektion Zuordnung bereits gelesen hast. Dort werden die notwendigen Grundlagen ausführlich erklärt.

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Allgemeines Beispiel

\(x \longmapsto y\)
(sprich: \(x\) wird \(y\) eindeutig zugeordnet)

Dabei bezeichnet man \(x\) als Ausgangswert und \(y\) als zugeordneten Wert.

Beispiel 1

1 kg Äpfel kostet 2 Euro. 2 kg Äpfel kosten 4 Euro... usw.

Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
\(\text{Menge der Äpfel} \longmapsto \text{ Preis der Äpfel}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)
...

Beispiel 2

1 Gärtner braucht zum Mähen einer bestimmten Rasenfläche 12 Minuten.
Wenn 2 Gärtner zusammenhelfen, brauchen sie nur 6 Minuten... usw.

Die Anzahl der Gärtner lässt sich der Arbeitszeit eindeutig zuordnen:
\(\text{Anzahl Gärtner} \longmapsto \text{ Arbeitszeit}\)

\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)
...

Schau dir die beiden Beispiele noch einmal genau an. Kannst du Unterschiede feststellen?

Unterschied 1

  • In Beispiel 1 gilt: Je mehr Äpfel, desto mehr Geld muss man bezahlen.
  • In Beispiel 2 gilt: Je mehr Gärtner, desto weniger Zeit wird benötigt.

Unterschied 2

  • Beispiel 1 besitzt einen Nullpunkt.
    0 Äpfel kosten 0 Euro: \(0 \longmapsto 0\).
  • Beispiel 2 besitzt keinen Nullpunkt.
    Es ist nicht logisch, dass 0 Gärtner 0 Minuten zum Mähen des Rasens benötigen.

Fazit

\(\Rightarrow\) Bei Beispiel 1 handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.
\(\Rightarrow\) Bei Beispiel 2 handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.

Da es in diesem Kapitel um antiproportionale Zuordnungen geht, betrachten wir Beispiel 2 etwas genauer. Proportionale Zuordnungen werden in einem anderen Kapitel besprochen.

Eigenschaften einer antiproportionalen Zuordnung

Gegeben ist die Zuordnung aus Beispiel 2

\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)

Wir erkennen: Wenn sich der linke Wert vergrößert, verkleinert sich der rechte Wert. Dabei läuft die Entwicklung der beiden Werte genau gegenläufig ab, d.h. wenn wir den linken Wert verdoppeln, halbiert sich der rechte Wert; wenn wir den linken Wert verdreifachen, wird der rechte Wert gedrittelt... usw.

Beispiel 2 (Fortsetzung 1)

1 Gärtner braucht 12 Minuten.
\(1 \longmapsto 12\)

Wenn wir die Anzahl der Gärtner verdoppeln, halbiert sich die Arbeitszeit.
\({\color{red}{2}} \cdot 1 \longmapsto \frac{1}{{\color{red}{2}}} \cdot 12\)
2 Gärtner brauchen also 6 Minuten.

Wenn wir die Anzahl der Gärtner verdreifachen, ergibt sich ein Drittel der Arbeitszeit.
\({\color{red}{3}} \cdot 1 \longmapsto \frac{1}{{\color{red}{3}}} \cdot 12\)
3 Gärtner brauchen also 4 Minuten.

Wir können festhalten: Antiproportionale Zuordnungen beschreiben gegenläufiges Wachstum.

Daraus lässt sich folgende Eigenschaft ableiten:

Das Produkt aus Ausgangswert (\(x\)) und zugeordnetem Wert (\(y\)) ist immer gleich.

Für eine antiproportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt also:

\(x \cdot y = \text{konstant}\)

Man sagt: Die Zahlenpaare \(x\) und \(y\) sind produktgleich.

Das Produkt aus Ausgangswert (\(x\)) und zugeordnetem Wert (\(y\)) heißt Antiproportionalitätsfaktor.

Für eine antiproportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt also:

\(x \cdot y = \text{Antiproportionalitätsfaktor}\)

Beispiel 2 (Fortsetzung 2)

Wenn wir den Ausgangswert mit dem zugeordneten Wert multiplizieren,

\(\begin{align*}
&1 \longmapsto 12 \qquad \qquad & 1 \cdot 12 = {\color{red}{12}} \\
&2 \longmapsto 6 \qquad \qquad & 2 \cdot 6 = {\color{red}{12}} \\
&3 \longmapsto 4 \qquad \qquad & 3 \cdot 4 = {\color{red}{12}} \\
&4 \longmapsto 3 \qquad \qquad & 4 \cdot 3 = {\color{red}{12}} \\
&5 \longmapsto 2,4 \qquad \quad & 5 \cdot 2,4 = {\color{red}{12}} \\
&6 \longmapsto 2 \qquad \quad & 6 \cdot 2 = {\color{red}{12}} \\
\end{align*}\)

stellen wir fest, dass immer derselbe Wert herauskommt.

Diesen Wert (hier: 12) nennt man Antiproportionalitätsfaktor der Zuordnung.

Wenn man den Antiproportionalitätsfaktor kennt, lässt sich der zugeordnete Wert (\(y\)) in Abhängigkeit des Ausgangswertes (\(x\)) ausdrücken.

Herleitung:

\(x \cdot y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \qquad |: x\)

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

Man kann \(x \longmapsto y\) folglich umschreiben zu

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x \longmapsto k \cdot \frac{1}{x}\)}}\)
Dabei ist \(k\) der Antiproportionalitätsfaktor.

Beispiel 2 (Fortsetzung 3)

\(1 \longmapsto {\color{red}{12}} \cdot \frac{1}{1}\)
\(2 \longmapsto {\color{red}{12}} \cdot \frac{1}{2}\)
\(3 \longmapsto {\color{red}{12}} \cdot \frac{1}{3}\)
\(4 \longmapsto {\color{red}{12}} \cdot \frac{1}{4}\)
\(5 \longmapsto {\color{red}{12}} \cdot \frac{1}{5}\)
\(6 \longmapsto {\color{red}{12}} \cdot \frac{1}{6}\)

Mit diesem Wissen können wir endlich festlegen, wann eine Zuordnung antiproportional ist.

Eine Zuordnung \(x \longmapsto y\) heißt antiproportional,
wenn jeder \(x\)-Wert durch Multiplikation mit dem zugehörigen \(y\)-Wert eine gleich große Zahl (Antiproportionalitätsfaktor) ergibt.

Mathematisch formuliert:
\(x \longmapsto k \cdot \frac{1}{x}\)
Dabei ist \(k\) der Antiproportionalitätsfaktor.

Darstellung antiproportionaler Zuordnungen

Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, um eine antiproportionale Zuordnung darzustellen.

  1. Pfeildiagramm
  2. Zuordnungstabelle (= Wertetabelle)
  3. Koordinatensystem
  4. Mathematische Vorschrift (= Zuordnungsvorschrift)

Zu jeder Darstellung schauen wir uns ein Beispiel an.
Dabei geht es jeweils um folgende Zuordnung:

- 1 Gärtner braucht 12 Minuten um eine bestimmte Rasenfläche zu mähen
- 2 Gätner brauchen 6 Minuten
- 3 Gärtner brauchen 4 Minuten
- 4 Gärtner brauchen 3 Minuten
- 5 Gärtner brauchen 2,4 Minuten
- 6 Gärtner brauchen 2 Minuten

1. Pfeildiagramm

Das Pfeildiagramm haben wir bereits weiter oben kennengelernt.

\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)

Die Zahl links vom Pfeil ist der Ausgangswert, die rechte Zahl der zugeordnete Wert.

2. Zuordnungstabelle (= Wertetabelle)

Zuordnungstabellen lassen sich sowohl waagrecht als auch senkrecht darstellen. Welche Darstellung du wählst, ist dir überlassen. Orientiere dich am besten an der Darstellung, die dein Lehrer verwendet.

Eine (waagrechte) Zuordnungstabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe befinden sich die Ausgangswerte und in der unteren Reihe die zugeordneten Werte.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ausgangswert} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
\text{zugeordneter Wert} & 12 & 6 & 4 & 3 & 2,4 & 2 \\
\end{array}\)

Eine (senkrechte) Zuordnungstabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte befinden sich die Ausgangswerte und in der rechten Spalte die zugeordneten Werte.

\(\begin{array}{l|l|}
\text{Ausgangswert} & \text{zugeordneter Wert} \\ \hline
1 & 12 \\
2 & 6 \\
3 & 4 \\
4 & 3 \\
5 & 2,4 \\
6 & 2 \\
\end{array}\)

Häufig sagt man zu einer Zuordnungstabelle auch einfach Wertetabelle.

3. Koordinatensystem

Wenn du auf einem karierten Blatt Papier...

...zwei Geraden einzeichnest, die aufeinander senkrecht stehen, erhälst du ein Koordinatensystem. Diese Geraden bezeichnet man dann als Koordinatenachsen. Wichtig ist, dass du die Koordinatenachsen richtig beschriftet (siehe Abbildung).

Die waagrechte Koordinatenachse steht für die Ausgangswerte, die senkrechte Koordinatenachse für die zugeordneten Werte der Zuordnung.

Gegeben ist folgende Zuordnung
\(1 \longmapsto 12\)

Wie können wir diese Zuordnung grapisch darstellen?
Die Zuordnung entspricht einem Punkt im Koordinatensystem. Diesen Punkt erhält man, indem man vom Koordinatenursprung eine Einheit nach rechts und zwölf Einheiten nach oben geht.

Die graphische Darstellung der Zuordnung
\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)
aus unserem Beispiel ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet.

Wenn wir die Punkte miteinander verbinden, erkennen wir:

Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel, die von oben links nach unten rechts fallend verläuft.

4. Mathematische Vorschrift (= Zuordnungsvorschrift)

Mit Hilfe einer mathematischen Vorschrift lässt sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen. Diese mathematische Vorschrift bezeichnet man im Fall von Zuordnungen als Zuordnungsvorschrift.

Für antiproportionale Zuordnungen lautet die Zuordnungsvorschrift:

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

oder

\(y = k \cdot \frac{1}{x}\)

wenn \(k\) für den Antiproportionalitätsfaktor steht.

Beispiel

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung antiproportional ist.
Gebe ggf. eine Zuordnungsvorschrift an!

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 4 & 5 \\ \hline
y & 4 & 2 & 1 & 0,8 \\
\end{array}\)

Um zu überprüfen, ob eine Zuordnung antiproportional ist, multipliziert man die Werte der oberen Zeile mit den Werten der unteren Zeile. Kommt dabei jeweils dieselbe Zahl heraus, ist die Zuordnung antiproportional.

\(1 \cdot 4 = 4\)
\(2 \cdot 2 = 4\)
\(4 \cdot 1 = 4\)
\(5 \cdot 0,8 = 4\)

Da man bei der Multiplikation der oberen mit der unteren Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung antiproportional. Das Ergebnis der Multiplikationen (hier: 4) ist dann der Antiproportionalitätsfaktor.

Die Zuordnungsvorschrift lautet allgemein:

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

oder in diesem Fall

\(y = 4 \cdot \frac{1}{x}\)

Die Zuordnungsvorschrift \(y = 4 \cdot \frac{1}{x}\) hilft uns dabei, den \(y\)-Wert zu berechnen, wenn ein \(x\)-Wert gegeben ist.

Gilt beispielsweise \(x = 20\), so berechnet sich \(y\) zu

\(y = 4 \cdot \frac{1}{20} = 0,2\)

Anderherum funktioniert das natürlich genauso!

Gilt beispielsweise \(y = 16\), so berechnet sich \(x\) zu

\(16 = 4 \cdot \frac{1}{x} |:4\)

\(4 = \frac{1}{x} |\cdot x\)

\(4x = 1 |:4\)

\(x = 0,25\)

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Zuordnungsvorschrift.

Proportional oder antiproportional?

Häufig gilt es, eine proportionale Zuordnung von einer antiproportionalen Zuordnung zu unterscheiden. In der folgenden Übersicht sind einige Unterschiede aufgelistet.

  Proportionale Zuordnung
(Direkte Proportionalität)
Antiproportionale Zuordnung
(Indirekte Proportionalität)
Bedeutung Gleichmäßiges Wachstum Gegenläufiges Wachstum
Merksatz "Je mehr, desto mehr" "Je mehr, desto weniger"

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & {\color{green}0} & {\color{green}1} & {\color{green}2} & {\color{green}3} & {\color{green}4} & {\color{green}5} \\ \hline
y & {\color{green}0} & {\color{green}2} & {\color{green}4} & {\color{green}6} & {\color{green}8} & {\color{green}10} \\
\end{array}\)
\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & {\color{green}1} & {\color{green}2} & {\color{green}3} & {\color{green}4} & {\color{green}5} & {\color{green}6} \\ \hline
y & {\color{red}12} & {\color{red}6} & {\color{red}4} & {\color{red}3} & {\color{red}2,4} & {\color{red}2} \\
\end{array}\)

Graph

Steigende Halbgerade
durch den Nullpunkt

Hyperbel, die von oben links nach unten rechts fallend verläuft

Zuordnungs-
vorschrift

\(x \longmapsto k \cdot x\)
\(k\) heißt Proportionalitätsfaktor.

\(x \longmapsto k \cdot \frac{1}{x}\)
\(k\) heißt Antiproportionalitätsfaktor.

Eigenschaft

Die Zahlenpaare \(x\) und \(y\) sind quotientengleich, d.h.
\(y:x = \text{konstant}\)

Die Zahlenpaare \(x\) und \(y\) sind produktgleich, d.h.
\(x \cdot y = \text{konstant}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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