Verhältnis

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einem Verhältnis versteht.

Um zwei Größen \(a\) und \(b\) miteinander zu vergleichen,
bildet man häufig deren Quotienten \(a:b\) und nennt diesen
das Verhältnis \(a\) zu \(b\).

Die beiden Größen \(a\) und \(b\) heißen die Glieder des Verhältnisses.

Jetzt wiederholen: Bruchrechnung

Verhältnisse lassen sich auch als Brüche schreiben, denn es gilt: \(a:b = \frac{a}{b}\).
Um zu wiederholen, wie man mit Brüchen rechnet, lies dir das Kapitel Bruchrechnung durch.

Verhältnis berechnen

Im Folgenden besprechen wir die drei populärsten Aufgabentypen.

Aufgabentyp 1: Größen gegeben, Verhältnis gesucht

Gegeben: \(a\) und \(b\)
Gesucht: \(a\):\(b\)

Um das Verhältnis \(a:b\) in möglichst einfacher Form darzustellen, kürzen wir den Bruch.
Falls \(a\) und \(b\) in gleichen Maßeinheiten angegeben sind, können wir auch diese streichen.

Beispiel 1

Der Bildschirm des Fernsehers XYZ ist 80 cm breit und 45 cm hoch.
In welchem Verhältnis stehen die beiden Seiten zueinander?

Gegeben: Bildbreite und Bildhöhe
Gesucht: Verhältnis Bildbreite zu Bildhöhe

\(\begin{align*}
80~\text{cm} : 45~\text{cm}&= \frac{80~\text{cm}}{45~\text{cm}} &&{\color{gray}| \text{ Bruch kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{5}}{3 \cdot 3 \cdot \cancel{5}} \frac{\cancel{\text{cm}}}{\cancel{\text{cm}}}\\[5pt]
&= \frac{16}{9}
\end{align*}\)

Das Seitenverhältnis ist 16:9 (sprich: 16 zu 9).

Wenn man \(16:9\) als Dezimalzahl schreibt, kann man folgende Aussage treffen:
Die Bildbreite entspricht der \(1,\bar{7}\text{-fachen}\) Bildhöhe.

Beispiel 2

Unser Nachbar rührt Beton an: Er mischt u. a. 8 kg Zement mit 32 kg Kies.
In welchem Verhältnis stehen Zement und Kies zueinander?

Gegeben: Zement und Kies
Gesucht: Verhältnis Zement zu Kies

\(\begin{align*}
8~\text{kg} : 32~\text{kg} &= \frac{8~\text{kg}}{32~\text{kg}} &&{\color{gray}| \text{ Bruch kürzen}}\\[5pt]
&= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2} \frac{\cancel{\text{kg}}}{\cancel{\text{kg}}}\\[5pt]
&= \frac{1}{4}
\end{align*}\)

Das Mischungsverhältnis beträgt 1:4 (sprich: 1 zu 4).

Wenn man \(1:4\) als Dezimalzahl schreibt, kann man folgende Aussage treffen:
Die Zementmenge entspricht der \(0,25\text{-fachen}\) Kiesmenge.

Aufgabentyp 2: Verhältnis und Summe der Größen gegeben, Größen gesucht

Gegeben: \(a:b\) und \(a+b\)
Gesucht: \(a\) und \(b\)

Beispiel 3

Oma Erna vererbt ihr Vermögen von 10.000 € im Verhältnis 2:3 an ihre Kinder und Enkel.
Wie viel Geld erhalten ihre Kinder und wie viel ihre Enkel?

Gegeben: Verhältnis der Teile des Vermögens und gesamtes Vermögen
Gesucht: Teile des Vermögens

Das Verhältnis 2:3 bedeutet, dass wir das Vermögen (rechnerisch) in 5 Teile zerlegen:
\(10.000~\text{€} : 5 = 2.000~\text{€} \; \Rightarrow \;\) Ein Teil entspricht 2.000 €.

Die Kinder erhalten 2 Teile:
\(2 \cdot 2.000~\text{€} = 4.000~\text{€}\)

Die Enkel erhalten 3 Teile:
\(3 \cdot 2.000~\text{€} = 6.000~\text{€}\)

Die Kinder erben 4.000 €, die Enkel 6.000 €.

Beispiel 4

Bei einem Praktikum in einer Schreinerei gibt dir der Schreinermeister folgende Aufgabe:
„Teile ein 75 cm langes Brett im Verhältnis 2:1. Wie lang sind die einzelnen Stücke?“

Gegeben: Verhältnis der Längen der einzelnen Teile und gesamte Länge
Gesucht: Längen der einzelnen Teile

Das Verhältnis 1:2 bedeutet, dass wir das Brett (rechnerisch) in 3 Teile zerlegen:
\(75~\text{cm} : 3 = 25~\text{cm} \; \Rightarrow \;\) Ein Teil entspricht 25 cm.

Das kleinere Stück entspricht einem Teil:
\(1 \cdot 25~\text{cm} = 25~\text{cm}\)

Das größere Stück entspricht zwei Teilen:
\(2 \cdot 25~\text{cm} = 50~\text{cm}\)

Das kleinere Stück ist 25 cm lang, das größere Stück 50 cm lang.

Beispiel 5

Der Sportlehrer teilt seine 27 Schüler in drei Gruppen im Verhältnis 2:3:4 auf.
Wie groß sind die einzelnen Gruppen?

Gegeben: Verhältnis der Schülerzahl in den einzelnen Gruppen und gesamte Schülerzahl
Gesucht: Schülerzahl in den einzelnen Gruppen

Das Verhältnis 2:3:4 bedeutet, dass wir die Schülerzahl (rechnerisch) in 9 Teile zerlegen:
\(27:9 = 3 \; \quad \Rightarrow \;\) Ein Teil entspricht 3 Schülern.

Die kleinste Gruppe besteht aus 2 Teilen:
\(2 \cdot 3 = 6\)

Die mittlere Gruppe besteht aus 3 Teilen:
\(3 \cdot 3 = 9\)

Die größte Gruppe besteht aus 4 Teilen:
\(4 \cdot 3 = 12\)

Es sind 6 Schüler in der kleinsten, 9 in der mittleren und 12 in der größten Gruppe.

Aufgabentyp 3: Verhältnis und Größe gegeben, Größe gesucht

Gegeben: \(a:b\) und \(a\)
Gesucht: \(b\)

Der Ansatz für diesen Aufgabentypen lautet: \(\frac{{\color{green}a}}{{\color{green}b}} = \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}}\).

Beispiel 6

25 kg Reis kosten 100 Euro.
Wie viel kosten 10 kg Reis?

Gegeben: Verhältnis Reis (25 kg) zu Preis (100 €) und Reis (10 kg)
Gesucht: Preis (für 10 kg Reis)

Es verhält sich Reis (25 kg) zu Preis (100 €) wie Reis (10 kg) zu Preis (\(x\) kg).

Ansatz: \(\frac{25}{100} = \frac{10}{x}\) (sprich: 25 zu 100 wie 10 zu x)

Gleichungen dieser Art heißen Verhältnisgleichungen, da zwei Verhältnisse gleichgesetzt werden. Verhältnisgleichungen sind spezielle lineare Gleichungen, die wir mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der Unbekannten \(x\) auflösen können.

Der Einfachheit halber lassen wir im Folgenden die Maßeinheiten beim Rechnen weg.

\(\begin{align*}
\frac{25}{100} &= \frac{10}{x} &&{\color{gray}| \cdot x}\\[5pt]
x \cdot \frac{25}{100} &= 10 &&{\color{gray}| :\frac{25}{100}}\\[5pt]
x &= 10 : \frac{25}{100}\\[5pt]
x &= 10 \cdot \frac{100}{25}\\[5pt]
x &= 40
\end{align*}\)

10 kg Reis kosten 40 Euro.

Im nächsten Kapitel nehmen wir Verhältnisgleichungen etwas genauer unter die Lupe.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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