Verhältnis
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einem Verhältnis versteht.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Um zwei Größen $a$ und $b$ miteinander zu vergleichen,
bildet man häufig deren Quotienten $a:b$ und nennt diesen
das Verhältnis $a$ zu $b$.
Die beiden Größen $a$ und $b$ heißen die Glieder des Verhältnisses.
Tipp: Verhältnisse lassen sich auch als Brüche schreiben, denn es gilt: $a:b = \frac{a}{b}$.
Verhältnis berechnen
Im Folgenden besprechen wir die drei populärsten Aufgabentypen.
Größen gegeben, Verhältnis gesucht
Gegeben: $a$ und $b$
Gesucht: $a:b$
Um das Verhältnis $a:b$ in möglichst einfacher Form darzustellen, kürzen wir den Bruch.
Falls $a$ und $b$ in gleichen Maßeinheiten angegeben sind, können wir auch diese streichen.
Der Bildschirm eines Fernsehers ist $80\ \textrm{cm}$ breit und $45\ \textrm{cm}$ hoch.
In welchem Verhältnis stehen die beiden Seiten zueinander?
Gegeben: Bildbreite und Bildhöhe
Gesucht: Verhältnis Bildbreite zu Bildhöhe
$$ \begin{align*} 80\ \textrm{cm} : 45\ \textrm{cm} &= \frac{80\ \textrm{cm}}{45\ \textrm{cm}} &&{\color{gray}| \text{ Bruch kürzen}} \\[5px] &= \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{5}}{3 \cdot 3 \cdot \cancel{5}} \frac{\cancel{\textrm{cm}}}{\cancel{\textrm{cm}}} \\[5px] &= \frac{16}{9} \end{align*} $$
Das Seitenverhältnis ist $16:9$ (sprich: 16 zu 9
).
Wenn man $16:9$ als Dezimalzahl schreibt, kann man folgende Aussage treffen:
Die Bildbreite entspricht der $1{,}\bar{7}\text{-fachen}$ Bildhöhe.
Unser Nachbar rührt Beton an: Er mischt u. a. $8\ \textrm{kg}$ Zement mit $32\ \textrm{kg}$ Kies.
In welchem Verhältnis stehen Zement und Kies zueinander?
Gegeben: Zement und Kies
Gesucht: Verhältnis Zement zu Kies
$$ \begin{align*} 8\ \textrm{kg} : 32\ \textrm{kg} &= \frac{8\ \textrm{kg}}{32\ \textrm{kg}} &&{\color{gray}| \text{ Bruch kürzen}} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2} \frac{\cancel{\text{kg}}}{\cancel{\text{kg}}} \\[5px] &= \frac{1}{4} \end{align*} $$
Das Mischungsverhältnis beträgt $1:4$ (sprich: 1 zu 4
).
Wenn man $1:4$ als Dezimalzahl schreibt, kann man folgende Aussage treffen:
Die Zementmenge entspricht der $0{,}25\text{-fachen}$ Kiesmenge.
Verhältnis und Summe der Größen gegeben, Größen gesucht
Gegeben: $a:b$ und $a+b$
Gesucht: $a$ und $b$
Oma Erna vererbt ihr Vermögen von $10.000\ \textrm{€}$ im Verhältnis $2:3$ an ihre Kinder und Enkel.
Wie viel Geld erhalten ihre Kinder und wie viel ihre Enkel?
Gegeben: Verhältnis der Teile des Vermögens und gesamtes Vermögen
Gesucht: Teile des Vermögens
Das Verhältnis $2:3$ bedeutet, dass wir das Vermögen rechnerisch in $5$ ($= 2 + 3$) Teile zerlegen:
$$ 10.000\ \textrm{€} : 5 = 2.000\ \textrm{€} $$
$\Rightarrow$ Ein Teil entspricht $2.000\ \textrm{€}$.
Die Kinder erhalten $2$ Teile:
$$ 2 \cdot 2.000\ \textrm{€} = 4.000\ \textrm{€} $$
Die Enkel erhalten $3$ Teile:
$$ 3 \cdot 2.000\ \textrm{€} = 6.000\ \textrm{€} $$
Die Kinder erben $4.000\ \textrm{€}$, die Enkel $6.000\ \textrm{€}$.
Bei einem Praktikum in einer Schreinerei gibt dir der Schreinermeister folgende Aufgabe:
Teile ein
$75\ \textrm{cm}$ langes Brett im Verhältnis $2:1$. Wie lang sind die einzelnen Stücke?
Gegeben: Verhältnis der Längen der einzelnen Teile und gesamte Länge
Gesucht: Längen der einzelnen Teile
Das Verhältnis $1:2$ bedeutet, dass wir das Brett rechnerisch in $3$ ($= 1 + 2$) Teile zerlegen:
$$ 75\ \textrm{cm} : 3 = 25\ \textrm{cm} $$
$\Rightarrow$ Ein Teil entspricht $25\ \textrm{cm}$.
Das kleinere Stück entspricht $1$ Teil:
$$ 1 \cdot 25\ \textrm{cm} = 25\ \textrm{cm} $$
Das größere Stück entspricht $2$ Teilen:
$$ 2 \cdot 25\ \textrm{cm} = 50\ \textrm{cm} $$
Das kleinere Stück ist $25\ \textrm{cm}$ lang, das größere Stück $50\ \textrm{cm}$ lang.
Der Sportlehrer teilt seine $27$ Schüler in drei Gruppen im Verhältnis $2:3:4$ auf.
Wie groß sind die einzelnen Gruppen?
Gegeben: Verhältnis der Schülerzahl in den einzelnen Gruppen und gesamte Schülerzahl
Gesucht: Schülerzahl in den einzelnen Gruppen
Das Verhältnis $2:3:4$ bedeutet, dass wir die Schülerzahl rechnerisch in $9$ ($= 2 + 3 + 4$) Teile zerlegen:
$$ 27:9 = 3 $$
$\Rightarrow$ Ein Teil entspricht $3$ Schülern.
Die kleinste Gruppe besteht aus $2$ Teilen:
$$ 2 \cdot 3 = 6 $$
Die mittlere Gruppe besteht aus $3$ Teilen:
$$ 3 \cdot 3 = 9 $$
Die größte Gruppe besteht aus $4$ Teilen:
$$ 4 \cdot 3 = 12 $$
Es sind $6$ Schüler in der kleinsten, $9$ in der mittleren und $12$ in der größten Gruppe.
Verhältnis und Größe gegeben, Größe gesucht
Gegeben: $a:b$ und $a$
Gesucht: $b$
Der Ansatz für diesen Aufgabentypen lautet: $\frac{{\color{green}a}}{{\color{green}b}} = \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}}$.
$25\ \textrm{kg}$ Reis kosten $100\ \textrm{€}$.
Wie viel kosten $10\ \textrm{kg}$ Reis?
Gegeben: Verhältnis Reis ($25\ \textrm{kg}$) zu Preis ($100\ \textrm{€}$) und Reis ($10\ \textrm{kg}$)
Gesucht: Preis (für $10\ \textrm{kg}$ Reis)
Es verhält sich Reis ($25\ \textrm{kg}$) zu Preis ($100\ \textrm{€}$) wie Reis ($10\ \textrm{kg}$) zu Preis ($x\ \textrm{kg}$).
Ansatz: $\frac{25}{100} = \frac{10}{x}$ (sprich: 25 zu 100 wie 10 zu x
)
Gleichungen dieser Art heißen Verhältnisgleichungen, da zwei Verhältnisse gleichgesetzt werden. Verhältnisgleichungen sind spezielle lineare Gleichungen, die wir mithilfe von Äquivalenzumformungen nach der Unbekannten $x$ auflösen können.
Der Einfachheit halber lassen wir im Folgenden die Maßeinheiten beim Rechnen weg.
$$ \begin{align*} \frac{25}{100} &= \frac{10}{x} &&{\color{gray}| \cdot x} \\[5px] x \cdot \frac{25}{100} &= 10 &&{\color{gray}| :\frac{25}{100}} \\[5px] x &= 10 : \frac{25}{100} \\[5px] x &= 10 \cdot \frac{100}{25} \\[5px] x &= 40 \end{align*} $$
$10\ \textrm{kg}$ Reis kosten $40 \textrm{€}$.
