Bruchterme dividieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Dividieren von Bruchtermen.

Notwendiges Vorwissen: Brüche dividieren

Vorgehensweise

  1. Bruchterme faktorisieren
  2. Bruchterme dividieren
  3. Bruchterm kürzen

zu 1.)

> Hauptkapitel: Faktorisieren

zu 2.)

Durch einen Bruch wird dividiert,
indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

\[\frac{a}{b} : \frac{{\color{red}c}}{{\color{blue}d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{{\color{blue}d}}{{\color{red}c}}\]

zu 3.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1 (Primfaktorzerlegung)

Berechne \(\frac{6ab}{9ac} : \frac{2b}{d}\)

1.) Bruchterme faktorisieren

\[= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 3 \cdot a \cdot c} : \frac{{\color{red}2 \cdot b}}{{\color{blue}d}}\]

2.) Bruchterme dividieren

\[= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 3 \cdot a \cdot c} \cdot \frac{{\color{blue}d}}{{\color{red}2 \cdot b}}\]

3.) Bruchterm kürzen

\[= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot d}{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{a} \cdot c \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{b}}\]

\[= \frac{d}{3c}\]

Beispiel 2 (Ausklammern)

Berechne \(\frac{3b}{2ab+2bc} : \frac{3}{a+c}\)

1.) Bruchterme faktorisieren

\[= \frac{3 \cdot b}{2 \cdot b \cdot (a+c)} : \frac{{\color{red}3}}{{\color{blue}a+c}}\]

2.) Bruchterme dividieren

\[= \frac{3 \cdot b}{2 \cdot b \cdot (a+c)} \cdot \frac{{\color{blue}a+c}}{{\color{red}3}}\]

3.) Bruchterm kürzen

\[= \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a+c)}}{2 \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a+c)} \cdot \cancel{3}}\]

\[= \frac{1}{2}\]

Beispiel 3 (Binomische Formeln)

Berechne \(\frac{a+4}{a^2-8a+16} : \frac{a-5}{a-4}\)

1.) Bruchterme faktorisieren

\[= \frac{a+4}{(a-4) \cdot (a-4)} : \frac{{\color{red}a-5}}{{\color{blue}a-4}}\]

2.) Bruchterme dividieren

\[= \frac{a+4}{(a-4) \cdot (a-4)} \cdot \frac{{\color{blue}a-4}}{{\color{red}a-5}}\]

3.) Bruchterm kürzen

\[= \frac{(a+4) \cdot \cancel{(a-4)}}{\cancel{(a-4)} \cdot (a-4) \cdot (a-5)}\]

\[= \frac{a+4}{(a-4)(a-5)}\]

Bruchterme von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zu den Bruchtermen:

Bruchterme erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungsfaktor  
Bruchterme kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungsfaktor  
Bruchterme addieren

a) Gleichnamige Bruchterme

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Bruchterme

\(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen

Bruchterme subtrahieren

a) Gleichnamige Bruchterme

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Bruchterme

\(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen

Bruchterme multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Bruchterme dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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