Bruchterme dividieren
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Dividieren von Bruchtermen.
Notwendiges Vorwissen: Brüche dividieren
Vorgehensweise
- Bruchterme faktorisieren
- Bruchterme dividieren
- Bruchterm kürzen
zu 1.)
> Hauptkapitel: Faktorisieren
- Natürliche Zahlen zerlegen wir mittels Primfaktorzerlegung in Faktoren.
- Summen und Differenzen lassen sich häufig durch Ausklammern oder das Anwenden der binomischen Formeln faktorisieren.
zu 2.)
Durch einen Bruch wird dividiert,
indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
\[\frac{a}{b} : \frac{{\color{red}c}}{{\color{blue}d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{{\color{blue}d}}{{\color{red}c}}\]
zu 3.)
Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).
Beispiel 1 (Primfaktorzerlegung)
Berechne \(\frac{6ab}{9ac} : \frac{2b}{d}\)
1.) Bruchterme faktorisieren
\[= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 3 \cdot a \cdot c} : \frac{{\color{red}2 \cdot b}}{{\color{blue}d}}\]
2.) Bruchterme dividieren
\[= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 3 \cdot a \cdot c} \cdot \frac{{\color{blue}d}}{{\color{red}2 \cdot b}}\]
3.) Bruchterm kürzen
\[= \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot d}{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{a} \cdot c \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{b}}\]
\[= \frac{d}{3c}\]
Beispiel 2 (Ausklammern)
Berechne \(\frac{3b}{2ab+2bc} : \frac{3}{a+c}\)
1.) Bruchterme faktorisieren
\[= \frac{3 \cdot b}{2 \cdot b \cdot (a+c)} : \frac{{\color{red}3}}{{\color{blue}a+c}}\]
2.) Bruchterme dividieren
\[= \frac{3 \cdot b}{2 \cdot b \cdot (a+c)} \cdot \frac{{\color{blue}a+c}}{{\color{red}3}}\]
3.) Bruchterm kürzen
\[= \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a+c)}}{2 \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a+c)} \cdot \cancel{3}}\]
\[= \frac{1}{2}\]
Beispiel 3 (Binomische Formeln)
Berechne \(\frac{a+4}{a^2-8a+16} : \frac{a-5}{a-4}\)
1.) Bruchterme faktorisieren
\[= \frac{a+4}{(a-4) \cdot (a-4)} : \frac{{\color{red}a-5}}{{\color{blue}a-4}}\]
2.) Bruchterme dividieren
\[= \frac{a+4}{(a-4) \cdot (a-4)} \cdot \frac{{\color{blue}a-4}}{{\color{red}a-5}}\]
3.) Bruchterm kürzen
\[= \frac{(a+4) \cdot \cancel{(a-4)}}{\cancel{(a-4)} \cdot (a-4) \cdot (a-5)}\]
\[= \frac{a+4}{(a-4)(a-5)}\]
Bruchterme von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zu den Bruchtermen:
| Bruchterme erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungsfaktor | |
| Bruchterme kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungsfaktor | |
| Bruchterme addieren |
a) Gleichnamige Bruchterme \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Bruchterme \(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen |
| Bruchterme subtrahieren |
a) Gleichnamige Bruchterme \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Bruchterme \(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen |
| Bruchterme multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Bruchterme dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
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