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Bruchterme multiplizieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Multiplizieren von Bruchtermen.

Notwendiges Vorwissen: Brüche multiplizieren

Vorgehensweise

  1. Bruchterme faktorisieren
  2. Bruchterme multiplizieren
  3. Bruchterm kürzen

zu 1.)

> Hauptkapitel: Faktorisieren

zu 2.)

Bruchterme werden miteinander multipliziert,
indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{{\color{blue}c}}{{\color{red}d}} = \frac{a \cdot {\color{blue}c}}{b \cdot {\color{red}d}}\]

zu 3.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1 (Primfaktorzerlegung)

Berechne \(\frac{4ab}{6ac} \cdot \frac{d}{3b}\)

1.) Bruchterme faktorisieren

\[= \frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot b}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot c} \cdot \frac{{\color{blue}d}}{{\color{red}3 \cdot b}}\]

2.) Bruchterme multiplizieren

\[= \frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot {\color{blue}d}}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot c \cdot {\color{red}3 \cdot b}}\]

3.) Bruchterm kürzen

\[= \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot d}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot \cancel{a} \cdot c \cdot 3 \cdot \cancel{b}}\]

\[= \frac{2d}{9c}\]

Beispiel 2 (Ausklammern)

Berechne \(\frac{5a}{3ab+3ac} \cdot \frac{b+c}{b}\)

1.) Bruchterme faktorisieren

\[= \frac{5 \cdot a}{3 \cdot a \cdot (b+c)} \cdot \frac{{\color{blue}b+c}}{{\color{red}b}}\]

2.) Bruchterme multiplizieren

\[= \frac{5 \cdot a \cdot ({\color{blue}b+c})}{3 \cdot a \cdot (b+c) \cdot {\color{red}b}}\]

3.) Bruchterm kürzen

\[= \frac{5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(b+c)}}{3 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(b+c)} \cdot b}\]

\[= \frac{5}{3b}\]

Beispiel 3 (Binomische Formeln)

Berechne \(\frac{a-2}{a^2+4a+4} \cdot \frac{a+2}{a+3}\)

1.) Bruchterme faktorisieren

\[= \frac{a-2}{(a+2) \cdot (a+2)} \cdot \frac{{\color{blue}a+2}}{{\color{red}a+3}}\]

2.) Bruchterme multiplizieren

\[= \frac{(a-2) \cdot ({\color{blue}a+2})}{(a+2) \cdot (a+2) \cdot ({\color{red}a+3})}\]

3.) Bruchterm kürzen

\[= \frac{(a-2) \cdot \cancel{(a+2)}}{\cancel{(a+2)} \cdot (a+2) \cdot (a+3)}\]

\[= \frac{a-2}{(a+2)(a+3)}\]

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Bruchterme von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zu den Bruchtermen:

Bruchterme erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungsfaktor  
Bruchterme kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungsfaktor  
Bruchterme addieren

a) Gleichnamige Bruchterme

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Bruchterme

\(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen

Bruchterme subtrahieren

a) Gleichnamige Bruchterme

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Bruchterme

\(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen

Bruchterme multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Bruchterme dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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