Bruchterme subtrahieren

a) Gleichnamige Bruchterme subtrahieren

Der Nenner verändert sich bei der Subtraktion nicht. Er wird einfach beibehalten.

Beispiele

\[\frac{5}{{\color{green}b}} - \frac{2}{{\color{green}b}} = \frac{5-2}{{\color{green}b}} = \frac{3}{{\color{green}b}}\]

\[\frac{9c}{{\color{green}ab}} - \frac{4c}{{\color{green}ab}} = \frac{9c-4c}{{\color{green}ab}} = \frac{5c}{{\color{green}ab}}\]

\[\frac{8 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} - \frac{1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{8 \cdot (a+1) - 1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{7 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}}\]

Nach dem Subtrahieren lässt sich der Bruchterm oft noch vereinfachen (> Bruchterme kürzen).

b) Ungleichnamige Bruchterme subtrahieren

Notwendiges Vorwissen: Brüche gleichnamig machen

zu 1.)

> Hauptkapitel: Faktorisieren

• Natürliche Zahlen zerlegen wir mittels Primfaktorzerlegung in Faktoren.
• Summen und Differenzen lassen sich häufig durch Ausklammern oder das Anwenden der binomischen Formeln faktorisieren.

zu 2.)

Um die nachfolgenden Rechenschritte zu vereinfachen, kürzen wir die einzelnen Brüche, indem wir jeweils die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner streichen.

zu 3.)

Da man nur gleichnamige Brüche subtrahieren kann, müssen wir die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner, den sog. „Hauptnenner“, bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche. Im Anschluss daran dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungsfaktoren zu berechnen. Diese verraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen.

zu 4.)

siehe Abschnitt „a) Gleichnamige Bruchterme subtrahieren“

zu 5.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1 (Primfaktorzerlegung)

Berechne \(\frac{2}{10x}-\frac{2}{6y}\).

1.) Brüche faktorisieren

\[= \frac{2}{2 \cdot 5 \cdot x} - \frac{2}{2 \cdot 3 \cdot y}\]

2.) Brüche kürzen

\[= \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5 \cdot x} - \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot y}\]

\[= \frac{1}{{\color{blue}5x}} - \frac{1}{{\color{blue}3y}}\]

3.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(x\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(y\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(x\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(y\)}} = {\color{green}15xy}\)

3.2) Erweiterungsfaktoren berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5x}} = \frac{}{{\color{green}15xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15xy}:{\color{blue}5x} = {\color{red}3y}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{}{{\color{green}15xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15xy}:{\color{blue}3y} = {\color{red}5x}\]

3.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5x}} = \frac{1}{{\color{blue}5x}} \cdot \frac{{\color{red}3y}}{{\color{red}3y}} = \frac{3y}{{\color{green}15xy}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{1}{{\color{blue}3y}} \cdot \frac{{\color{red}5x}}{{\color{red}5x}} = \frac{5x}{{\color{green}15xy}}\]

4.) Bruchterme subtrahieren

\[\frac{3y}{{\color{green}15xy}} - \frac{5x}{{\color{green}15xy}} = \frac{3y - 5x}{{\color{green}15xy}}\]

5.) Bruch kürzen

Bruch bereits vollständig gekürzt!

Beispiel 2 (Ausklammern)

Berechne \(\frac{1}{7a+7b}-\frac{1}{c}\).

1.) Brüche faktorisieren

\[= \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} - \frac{1}{{\color{blue}c}}\]

2.) Brüche kürzen

Brüche bereits vollständig gekürzt!

3.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(7\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\((a+b)\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(c\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(7\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\((a+b)\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(c\)}}= {\color{green}7c(a+b)}\)

3.2) Erweiterungsfaktoren berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} = \frac{}{{\color{green}7c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}7c(a+b)}:{\color{blue}7(a+b)} = {\color{red}c}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{}{{\color{green}7c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}7c(a+b)}:{\color{blue}c} = {\color{red}7(a+b)}\]

3.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} = \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} \cdot \frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} = \frac{c}{{\color{green}7c(a+b)}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{1}{{\color{blue}c}} \cdot \frac{{\color{red}7(a+b)}}{{\color{red}7(a+b)}} = \frac{7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}}\]

4.) Bruchterme subtrahieren

\[\frac{c}{{\color{green}7c(a+b)}} - \frac{7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} = \frac{c - 7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}}\]

5.) Bruch kürzen

Bruch bereits vollständig gekürzt!

Beispiel 3 (Binomische Formeln)

Berechne \(\frac{a-5}{a^2-10a+25}-\frac{1}{a+5}\).

1.) Brüche faktorisieren

\[= \frac{a-5}{(a-5) \cdot (a-5)} - \frac{1}{a+5}\]

2.) Brüche kürzen

\[= \frac{\cancel{a-5}}{\cancel{(a-5)} \cdot (a-5)} - \frac{1}{a+5}\]

\[= \frac{1}{{\color{blue}a-5}} - \frac{1}{{\color{blue}a+5}}\]

3.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(a-5\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(a+5\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\((a-5)\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\((a+5)\)}} = {\color{green}(a-5)(a+5)}\)

3.2) Erweiterungsfaktoren berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-5}} = \frac{}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a-5)(a+5)}:{\color{blue}(a-5)} = {\color{red}a+5}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+5}} = \frac{}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a-5)(a+5)}:{\color{blue}(a+5)} = {\color{red}a-5}\]

3.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-5}} = \frac{1}{{\color{blue}a-5}} \cdot \frac{{\color{red}a+5}}{{\color{red}a+5}} = \frac{a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+5}} = \frac{1}{{\color{blue}a+5}} \cdot \frac{{\color{red}a-5}}{{\color{red}a-5}} = \frac{a-5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\]

4.) Bruchterme subtrahieren

\[\begin{align*}
\frac{a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} - \frac{a-5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} &= \frac{a+5 - (a-5)}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\\
&= \frac{a+5-a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\\
&= \frac{10}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}
\end{align*}\]

5.) Bruch kürzen

Bruch bereits vollständig gekürzt!