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Bruchterme subtrahieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Bruchtermen.

Erforderliches Vorwissen

Gleichnamige Bruchterme subtrahieren 

$$ \frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}} $$

In Worten: Zwei Bruchterme mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert.

Der Nenner verändert sich bei der Subtraktion nicht. Er wird einfach beibehalten.

Beispiel 1 

$$ \frac{5}{{\color{green}b}} - \frac{2}{{\color{green}b}} = \frac{5-2}{{\color{green}b}} = \frac{3}{{\color{green}b}} $$

Beispiel 2 

$$ \frac{9c}{{\color{green}ab}} - \frac{4c}{{\color{green}ab}} = \frac{9c-4c}{{\color{green}ab}} = \frac{5c}{{\color{green}ab}} $$

Beispiel 3 

$$ \frac{8 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} - \frac{1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{8 \cdot (a+1) - 1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{7 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} $$

Nach dem Subtrahieren lässt sich der Bruchterm oft noch vereinfachen (siehe Bruchterme kürzen).

Ungleichnamige Bruchterme subtrahieren 

Brüche faktorisieren

Brüche kürzen

Brüche gleichnamig machen

Hauptnenner bestimmen

Erweiterungsfaktoren berechnen

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Brüche subtrahieren

Bruch kürzen

zu 1)

Hauptkapitel: Faktorisieren

zu 2)

Um die nachfolgenden Rechenschritte zu vereinfachen, kürzen wir die einzelnen Brüche, indem wir die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner streichen.

zu 3)

Hauptkapitel: Brüche gleichnamig machen

Da man nur gleichnamige Brüche subtrahieren kann, müssen wir die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner, den sog. Hauptnenner, bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche. Im Anschluss daran dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungsfaktoren zu berechnen. Diese verraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen.

zu 4)

Wie man gleichnamige Brüche subtrahiert, haben wir im vorherigen Abschnitt gelernt.

zu 5)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 4 

Berechne $\frac{2}{10x}-\frac{2}{6y}$.

Brüche faktorisieren

Primfaktorzerlegung

$$ = \frac{2}{2 \cdot 5 \cdot x} - \frac{2}{2 \cdot 3 \cdot y} $$

Brüche kürzen

$$ = \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5 \cdot x} - \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot y} $$

$$ = \frac{1}{{\color{blue}5x}} - \frac{1}{{\color{blue}3y}} $$

Brüche gleichnamig machen

Hauptnenner bestimmen

$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x$}} $$

$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$y$}} $$

$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$y$}} = {\color{green}15xy} $$

Erweiterungsfaktoren berechnen

$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5x}} = \frac{}{{\color{green}15xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15xy}:{\color{blue}5x} = {\color{red}3y} $$

$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{}{{\color{green}15xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15xy}:{\color{blue}3y} = {\color{red}5x} $$

Brüche auf Hauptnenner erweitern

$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5x}} = \frac{1}{{\color{blue}5x}} \cdot \frac{{\color{red}3y}}{{\color{red}3y}} = \frac{3y}{{\color{green}15xy}} $$

$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{1}{{\color{blue}3y}} \cdot \frac{{\color{red}5x}}{{\color{red}5x}} = \frac{5x}{{\color{green}15xy}} $$

Brüche subtrahieren

$$ \frac{3y}{{\color{green}15xy}} - \frac{5x}{{\color{green}15xy}} = \frac{3y - 5x}{{\color{green}15xy}} $$

Bruch kürzen

Bruch bereits vollständig gekürzt!

Beispiel 5 

Berechne $\frac{1}{7a+7b}-\frac{1}{c}$.

Brüche faktorisieren

Ausklammern

$$ = \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} - \frac{1}{{\color{blue}c}} $$

Brüche kürzen

Brüche bereits vollständig gekürzt!

Brüche gleichnamig machen

Hauptnenner bestimmen

$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$7$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+b)$}} $$

$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$c$}} $$

$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$7$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+b)$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$c$}}= {\color{green}7c(a+b)} $$

Erweiterungsfaktoren berechnen

$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} = \frac{}{{\color{green}7c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}7c(a+b)}:{\color{blue}7(a+b)} = {\color{red}c} $$

$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{}{{\color{green}7c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}7c(a+b)}:{\color{blue}c} = {\color{red}7(a+b)} $$

Brüche auf Hauptnenner erweitern

$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} = \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} \cdot \frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} = \frac{c}{{\color{green}7c(a+b)}} $$

$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{1}{{\color{blue}c}} \cdot \frac{{\color{red}7(a+b)}}{{\color{red}7(a+b)}} = \frac{7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} $$

Brüche subtrahieren

$$ \frac{c}{{\color{green}7c(a+b)}} - \frac{7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} = \frac{c - 7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} $$

Bruch kürzen

Bruch bereits vollständig gekürzt!

Beispiel 6 

Berechne $\frac{a-5}{a^2-10a+25}-\frac{1}{a+5}$.

Brüche faktorisieren

Binomische Formeln

$$ = \frac{a-5}{(a-5) \cdot (a-5)} - \frac{1}{a+5} $$

Brüche kürzen

$$ = \frac{\cancel{a-5}}{\cancel{(a-5)} \cdot (a-5)} - \frac{1}{a+5} $$

$$ = \frac{1}{{\color{blue}a-5}} - \frac{1}{{\color{blue}a+5}} $$

Brüche gleichnamig machen

Hauptnenner bestimmen

$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$a-5$}} $$

$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$a+5$}} $$

$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$(a-5)$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+5)$}} = {\color{green}(a-5)(a+5)} $$

Erweiterungsfaktoren berechnen

$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-5}} = \frac{}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a-5)(a+5)}:{\color{blue}(a-5)} = {\color{red}a+5} $$

$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+5}} = \frac{}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a-5)(a+5)}:{\color{blue}(a+5)} = {\color{red}a-5} $$

Brüche auf Hauptnenner erweitern

$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-5}} = \frac{1}{{\color{blue}a-5}} \cdot \frac{{\color{red}a+5}}{{\color{red}a+5}} = \frac{a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} $$

$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+5}} = \frac{1}{{\color{blue}a+5}} \cdot \frac{{\color{red}a-5}}{{\color{red}a-5}} = \frac{a-5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} $$

Brüche subtrahieren

$$\begin{align*} \frac{a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} - \frac{a-5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} &= \frac{a+5 - (a-5)}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\\ &= \frac{a+5-a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\\ &= \frac{10}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \end{align*}$$

Bruch kürzen

Bruch bereits vollständig gekürzt!

Online-Rechner 

Brüche online subtrahieren

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