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Brüche subtrahieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Brüchen.

a) Gleichnamige Brüche subtrahieren

Vorgehensweise

Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden subtrahiert,
indem man ihre Zähler subtrahiert.

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

Der Nenner verändert sich bei der Subtraktion nicht. Er wird einfach beibehalten.

Beispiele

\[\frac{3}{{\color{green}4}} - \frac{2}{{\color{green}4}} = \frac{3-2}{{\color{green}4}} = \frac{1}{{\color{green}4}}\]

\[\frac{9}{{\color{green}7}} - \frac{6}{{\color{green}7}} = \frac{9-6}{{\color{green}7}} = \frac{3}{{\color{green}7}}\]

\[\frac{5}{{\color{green}5}} - \frac{3}{{\color{green}5}} = \frac{5-3}{{\color{green}5}} = \frac{2}{{\color{green}5}}\]

Nach dem Subtrahieren lässt sich der Bruch oftmals noch vereinfachen (> Brüche kürzen).

b) Ungleichnamige Brüche subtrahieren

Notwendiges Vorwissen: Brüche gleichnamig machen

Vorgehensweise

  1. Brüche gleichnamig machen
    1.1 Hauptnenner bestimmen
    1.2 Erweiterungszahlen berechnen
    1.3 Brüche auf Hauptnenner erweitern
  2. Brüche subtrahieren

zu 1.1)

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen, zerlegen wir die Nenner mittels Primfaktorzerlegung in Primfaktoren. Anschließend markieren wir die unterschiedlichen Primfaktoren bei dem Nenner, bei dem sie am meisten vorkommen. Der Hauptnenner ist dann das Produkt der markierten Primfaktoren.

zu 1.2)

Im nächsten Schritt dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungszahlen zu berechnen. Diese veraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen (Schritt 1.3).

Beispiel 1

Berechne \(\frac{2}{{\color{blue}3}}-\frac{1}{{\color{blue}5}}\).

1.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(5\)}} = {\color{green}15}\)

1.2) Erweiterungszahlen berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}15}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15}:{\color{blue}3} = {\color{red}5}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5}} = \frac{}{{\color{green}15}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15}:{\color{blue}5} = {\color{red}3}\]

1.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{2}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} =\frac{10}{{\color{green}15}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5}} = \frac{1}{{\color{blue}5}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{3}{{\color{green}15}}\]

2.) Brüche subtrahieren

\[\frac{10}{{\color{green}15}} - \frac{3}{{\color{green}15}} = \frac{10 - 3}{{\color{green}15}} = \frac{7}{{\color{green}15}}\]

Beispiel 2

Berechne \(\frac{1}{{\color{blue}4}}-\frac{2}{{\color{blue}3}}\).

1.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} = {\color{green}12}\)

1.2) Erweiterungszahlen berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}4} = {\color{red}3}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}3} = {\color{red}4}\]

1.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}4}} = \frac{1}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} =\frac{3}{{\color{green}12}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{2}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{8}{{\color{green}12}}\]

2.) Brüche subtrahieren

\[\frac{3}{{\color{green}12}} - \frac{8}{{\color{green}12}} = \frac{3 - 8}{{\color{green}12}} = \frac{-5}{{\color{green}12}} = -\frac{5}{{\color{green}12}}\]

Wie man Brüche subtrahiert, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme subtrahieren. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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