Bruchrechnen
In diesem Kapitel sprechen wir über das Bruchrechnen, d.h. das Rechnen mit Brüchen.
Wenn du noch nicht weißt, was ein Bruch ist oder wozu man die Bruchrechnung braucht, lies dir unseren Einführungsartikel durch (> Bruchrechnung).
Wiederholung
\[\frac{4}{5} \qquad \rightarrow \qquad \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
Merke: Der Zähler steht oben, der Nenner unten.
Bruchrechnen 1a): Erweitern
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl multipliziert.
Beispiel
\[\frac{2}{3} =\frac{2 \cdot {\color{red}4}}{3 \cdot {\color{red}4}} =\frac{8}{12}\]
Warum gilt das? Antwort: Wegen \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = 1\).
Letztlich wird also mit "1" multipliziert, was den Wert einer Zahl bekanntlich nicht verändert.
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche erweitern.
Bruchrechnen 1b): Kürzen
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches durch einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt.
Dazu zerlegt man jeweils den Zähler und den Nenner des Bruchs in Primfaktoren. Gemeinsame Primfaktoren werden anschließend herausgestrichen. Was übrig bleibt, ist der gekürzte Bruch.
\[\frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3}\]
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche kürzen.
Bruchrechnen 1c): Gleichnamig machen
Bevor wir Brüche addieren oder subtrahieren können, muss man sie "gleichnamig machen". Das bedeutet, wir müssen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen - das ist der sog. Hauptnenner.
Doch wie berechnet man den Hauptnenner?
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner dieser Brüche.
Vorgehen
- Hauptnenner finden
- Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen
Beispiel
Die folgenden beiden Brüche sollen gleichnamig gemacht werden.
\[\frac{1}{3}; \quad \frac{2}{4};\]
1.) Hauptnenner finden
Der Hauptnenner entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der beiden Nenner. Das kgV von 3 und 4 ist 12.
2.) Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen
\[\frac{1}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{4}{12}\]
\[\frac{2}{{\color{red}4}} \cdot \frac{{\color{blue}3}}{{\color{blue}3}} = \frac{6}{12}\]
Damit wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht.
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche gleichnamig machen.
Bruchrechnen 2a): Addieren
Vorgehen
- Brüche gleichnamig machen
- Zähler addieren
Beispiel
\[\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} =\frac{10 + 3}{15} = \frac{13}{15}\]
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche addieren.
Bruchrechnen 2b): Subtrahieren
Vorgehen
- Brüche gleichnamig machen
- Zähler voneinander subtrahieren
Beispiel
\[\frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} - \frac{1}{5} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}}=\frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}\]
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche subtrahieren.
Bruchrechnen 2c): Multiplizieren
Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Beispiel
\[\frac{{\color{blue}2}}{{\color{red}3}} \cdot \frac{{\color{blue}4}}{{\color{red}5}} = \frac{{\color{blue}2} \cdot {\color{blue}4}}{{\color{red}3} \cdot {\color{red}5}} =\frac{8}{15}\]
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche multiplizieren.
Bruchrechnen 2d): Dividieren
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
Beispiel
\[\frac{2}{3} :\frac{{\color{blue}3}}{{\color{red}5}} = \frac{2}{3} \cdot\frac{{\color{red}5}}{{\color{blue}3}} =\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}\]
...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche dividieren.
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!