Bruchrechnen

Bruchrechnen 1a): Erweitern

Beispiel

\[\frac{2}{3} =\frac{2 \cdot {\color{red}4}}{3 \cdot {\color{red}4}} =\frac{8}{12}\]

Warum gilt das? Antwort: Wegen \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = 1\).

Letztlich wird also mit "1" multipliziert, was den Wert einer Zahl bekanntlich nicht verändert.

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche erweitern.

Bruchrechnen 1b): Kürzen

Dazu zerlegt man jeweils den Zähler und den Nenner des Bruchs in Primfaktoren. Gemeinsame Primfaktoren werden anschließend herausgestrichen. Was übrig bleibt, ist der gekürzte Bruch.

\[\frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3}\]

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Bruchrechnen 1c): Gleichnamig machen

Bevor wir Brüche addieren oder subtrahieren können, muss man sie "gleichnamig machen". Das bedeutet, wir müssen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen - das ist der sog. Hauptnenner.

Doch wie berechnet man den Hauptnenner?

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner dieser Brüche.

Beispiel

Die folgenden beiden Brüche sollen gleichnamig gemacht werden.

\[\frac{1}{3}; \quad \frac{2}{4};\]

1.) Hauptnenner finden

Der Hauptnenner entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der beiden Nenner. Das kgV von 3 und 4 ist 12.

2.) Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen

\[\frac{1}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{4}{12}\]

\[\frac{2}{{\color{red}4}} \cdot \frac{{\color{blue}3}}{{\color{blue}3}} = \frac{6}{12}\]

Damit wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht.

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche gleichnamig machen.

Bruchrechnen 2a): Addieren

Beispiel

\[\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} =\frac{10 + 3}{15} = \frac{13}{15}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche addieren.

Bruchrechnen 2b): Subtrahieren

Beispiel

\[\frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} - \frac{1}{5} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}}=\frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche subtrahieren.

Bruchrechnen 2c): Multiplizieren

Beispiel

\[\frac{{\color{blue}2}}{{\color{red}3}} \cdot \frac{{\color{blue}4}}{{\color{red}5}} = \frac{{\color{blue}2} \cdot {\color{blue}4}}{{\color{red}3} \cdot {\color{red}5}} =\frac{8}{15}\]

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Bruchrechnen 2d): Dividieren

Beispiel

\[\frac{2}{3} :\frac{{\color{blue}3}}{{\color{red}5}} = \frac{2}{3} \cdot\frac{{\color{red}5}}{{\color{blue}3}} =\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche dividieren.