Brüche
gleichnamig machen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem gleichnamig Machen von Brüchen.
Notwendiges Vorwissen
Problemstellung
Gegeben sind zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner.
Ziel ist es, die Brüche so zu erweitern, dass beide Brüche den gleichen Nenner haben.
„Gleichnamig machen“ bedeutet, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
\(\Rightarrow\) Brüche mit gleichem Nenner nennt man gleichnamig.
\(\Rightarrow\) Brüche mit unterschiedlichem Nenner nennt man ungleichnamig.
Den gesuchten gemeinsamen Nenner bezeichnet man auch als „Hauptnenner“.
Brüche gleichnamig machen - Beispiele
Vorgehensweise
- Hauptnenner bestimmen
- Erweiterungszahlen berechnen
- Brüche auf Hauptnenner erweitern
zu 1.)
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen, zerlegen wir die Nenner mittels Primfaktorzerlegung in Primfaktoren. Anschließend markieren wir die unterschiedlichen Primfaktoren bei dem Nenner, bei dem sie am meisten vorkommen. Der Hauptnenner ist dann das Produkt der markierten Primfaktoren.
zu 2.)
Im nächsten Schritt dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungszahlen zu berechnen. Diese veraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen (Schritt 3).
Beispiel 1
Die folgenden beiden Brüche sollen gleichnamig gemacht werden.
\[\frac{1}{{\color{blue}3}}; \quad \frac{2}{{\color{blue}4}};\]
1.) Hauptnenner bestimmen
\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)
\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)
\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}} = {\color{green}12}\)
2.) Erweiterungszahlen berechnen
\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}3} = {\color{red}4}\]
\[\text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}4} = {\color{red}3}\]
3.) Brüche auf Hauptnenner erweitern
\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{4}{{\color{green}12}}\]
\[\text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{6}{{\color{green}12}}\]
Damit wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht.
Beispiel 2
\[\frac{3}{{\color{blue}4}}; \quad \frac{5}{{\color{blue}7}};\]
1.) Hauptnenner bestimmen
\(\text{Nenner 1} ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)
\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(7\)}}\)
\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(7\)}} = {\color{green}28}\)
2.) Erweiterungszahlen berechnen
\[\text{(1)} \quad \frac{3}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}28}} \qquad \Rightarrow {\color{green}28}:{\color{blue}4} = {\color{red}7}\]
\[\text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}7}} = \frac{}{{\color{green}28}} \qquad \Rightarrow {\color{green}28}:{\color{blue}7} = {\color{red}4}\]
3.) Brüche auf Hauptnenner erweitern
\[\text{(1)} \quad \frac{3}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}7}}{{\color{red}7}} = \frac{21}{{\color{green}28}}\]
\[\text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}7}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{20}{{\color{green}28}}\]
Beispiel 3
\[\frac{1}{{\color{blue}6}}; \quad \frac{5}{{\color{blue}9}};\]
1.) Hauptnenner bestimmen
\(\text{Nenner 1} ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot 3\)
\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)
\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} = {\color{green}18}\)
2.) Erweiterungszahlen berechnen
\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}6}} = \frac{}{{\color{green}18}} \qquad \Rightarrow {\color{green}18}:{\color{blue}6} = {\color{red}3}\]
\[\text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}9}} = \frac{}{{\color{green}18}} \qquad \Rightarrow {\color{green}18}:{\color{blue}9} = {\color{red}2}\]
3.) Brüche auf Hauptnenner erweitern
\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}6}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{3}{{\color{green}18}}\]
\[\text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}9}} \cdot \frac{{\color{red}2}}{{\color{red}2}} = \frac{10}{{\color{green}18}}\]
Brüche gleichnamig machen - Anwendungen
Im Wesentlichen spielt das gleichnamig Machen bei folgenden Aufgaben eine Rolle:
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider