Kehrwert
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Kehrwert ist.
Definition
Der Kehrwert einer von $0$ verschiedenen Zahl $x$ ist diejenige Zahl, die mit $x$ multipliziert die Zahl $1$ ergibt.
Kehrwert eines Bruchs
Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
Oft ist in diesem Fall auch von dem Kehrbruch
die Rede.
$$ \text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$3$}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{$3$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}}. $$
Umgekehrt gilt natürlich:
Bislang haben wir uns nur mit dem Kehrwert von Brüchen beschäftigt. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob auch ganze Zahlen einen Kehrwert besitzen. Die Antwort ist: Ja.
Kehrwert ganzer Zahlen
Ganze Zahlen lassen sich nämlich auch als Brüche schreiben,
da die Division durch $1$ am Ergebnis nichts ändert. Deshalb gilt:
$$ \text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{$5$}}}{{\colorbox{orange}{$1$}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{$1$}}}{{\colorbox{yellow}{$5$}}}. $$
Wir können festhalten:
Der Kehrwert einer ganzen Zahl $x$ ist $\frac{1}{x}$.
Laut den Potenzgesetzen gilt $\frac{1}{x} = x^{-1}$, weshalb man den Kehrwert einer Zahl $x$ sowohl $\frac{1}{x}$ als auch $x^{-1}$ schreiben kann.
Eigenschaft eines Kehrwerts
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert kommt $1$ raus.
$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$3$}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{$3$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} = 1 $$
$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$1$}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{$1$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} = 1 $$
