Kehrwert

Kehrwert eines Bruchs

Oft ist in diesem Fall auch die Rede von dem "Kehrbruch".

Beispiel

\[\text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(3\)}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{\(3\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}.\] Umgekehrt gilt natürlich:

\[\text{Der Kehrwert von } \frac{3}{2} \text{ ist } \frac{2}{3}.\]

Bislang haben wir uns nur mit dem Kehrwert von Brüchen beschäftigt. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob auch ganze Zahlen einen Kehrwert besitzen. Die Antwort ist: Ja.

Kehrwert ganzer Zahlen

Ganze Zahlen lassen sich nämlich auch als Brüche schreiben,

\[5 \text{ ist dasselbe wie } \frac{5}{1}\]

da die Division durch \(1\) am Ergebnis nichts ändert. Deshalb gilt:

\[\text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}{{\colorbox{orange}{\(1\)}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{\(1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}.\]

Weitere Beispiele

\[\text{Der Kehrwert von } 2 \text{ ist } \frac{1}{2}.\]

\[\text{Der Kehrwert von } 3 \text{ ist } \frac{1}{3}.\]

\[\text{Der Kehrwert von } 4 \text{ ist } \frac{1}{4}.\]

Wir können festhalten:

Laut den Potenzgesetzen gilt \(\frac{1}{x} = x^{-1}\), weshalb man den Kehrwert einer Zahl \(x\) allgemein sowohl mit \(\frac{1}{x}\) als auch mit \(x^{-1}\) bezeichnen kann.

Eigenschaft eines Kehrwerts

Beispiele

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(3\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(3\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}} = 1\]

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(1\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}} = 1\]

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}{{\colorbox{orange}{\(4\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(4\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}} = 1\]

In diesem Kapitel haben wir gelernt, wie man den Kehrwert von Brüchen und ganzen Zahlen bildet. Außerdem wissen wir nun, dass die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert 1 ergibt.