Kehrwert
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Kehrwert versteht.
Der Kehrwert einer von \(0\) verschiedenen Zahl \(x\) ist diejenige Zahl, die mit \(x\) multipliziert die Zahl \(1\) ergibt.
Wenn du diese Definition nicht auf Anhieb verstehst, ist das kein Problem. In den folgenden Abschnitten werden wir das Thema ausführlich anhand von Beispielen besprechen.
Kehrwert eines Bruchs
Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
Oft ist in diesem Fall auch die Rede von dem "Kehrbruch".
Beispiel
\[\text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(3\)}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{\(3\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}.\] Umgekehrt gilt natürlich:
\[\text{Der Kehrwert von } \frac{3}{2} \text{ ist } \frac{2}{3}.\]
Bislang haben wir uns nur mit dem Kehrwert von Brüchen beschäftigt. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob auch ganze Zahlen einen Kehrwert besitzen. Die Antwort ist: Ja.
Kehrwert ganzer Zahlen
Ganze Zahlen lassen sich nämlich auch als Brüche schreiben,
\[5 \text{ ist dasselbe wie } \frac{5}{1}\]
da die Division durch \(1\) am Ergebnis nichts ändert. Deshalb gilt:
\[\text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}{{\colorbox{orange}{\(1\)}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{\(1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}.\]
Weitere Beispiele
\[\text{Der Kehrwert von } 2 \text{ ist } \frac{1}{2}.\]
\[\text{Der Kehrwert von } 3 \text{ ist } \frac{1}{3}.\]
\[\text{Der Kehrwert von } 4 \text{ ist } \frac{1}{4}.\]
Wir können festhalten:
Der Kehrwert einer ganzen Zahl \(x\) ist \(\frac{1}{x}\).
Laut den Potenzgesetzen gilt \(\frac{1}{x} = x^{-1}\), weshalb man den Kehrwert einer Zahl \(x\) allgemein sowohl mit \(\frac{1}{x}\) als auch mit \(x^{-1}\) bezeichnen kann.
Eigenschaft eines Kehrwerts
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert kommt 1 raus.
Beispiele
\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(3\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(3\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}} = 1\]
\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(1\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}} = 1\]
\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}{{\colorbox{orange}{\(4\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(4\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}} = 1\]
In diesem Kapitel haben wir gelernt, wie man den Kehrwert von Brüchen und ganzen Zahlen bildet. Außerdem wissen wir nun, dass die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert 1 ergibt.
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
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