Kehrwert

Kehrwert eines Bruchs

Oft ist in diesem Fall auch die Rede von dem "Kehrbruch".

Beispiel

\[\text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(3\)}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{\(3\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}.\] Umgekehrt gilt natürlich:

\[\text{Der Kehrwert von } \frac{3}{2} \text{ ist } \frac{2}{3}.\]

Bislang haben wir uns nur mit dem Kehrwert von Brüchen beschäftigt. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob auch ganze Zahlen einen Kehrwert besitzen. Die Antwort ist: Ja.

Kehrwert ganzer Zahlen

Ganze Zahlen lassen sich nämlich auch als Brüche schreiben,

\[5 \text{ ist dasselbe wie } \frac{5}{1}\]

da die Division durch \(1\) am Ergebnis nichts ändert. Deshalb gilt:

\[\text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}{{\colorbox{orange}{\(1\)}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{\(1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}.\]

Weitere Beispiele

\[\text{Der Kehrwert von } 2 \text{ ist } \frac{1}{2}.\]

\[\text{Der Kehrwert von } 3 \text{ ist } \frac{1}{3}.\]

\[\text{Der Kehrwert von } 4 \text{ ist } \frac{1}{4}.\]

Wir können festhalten:

Laut den Potenzgesetzen gilt \(\frac{1}{x} = x^{-1}\), weshalb man den Kehrwert einer Zahl \(x\) allgemein sowohl mit \(\frac{1}{x}\) als auch mit \(x^{-1}\) bezeichnen kann.

Eigenschaft eines Kehrwerts

Beispiele

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(3\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(3\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}} = 1\]

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}{{\colorbox{orange}{\(1\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(1\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}} = 1\]

\[\frac{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}}{{\colorbox{orange}{\(4\)}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{\(4\)}}}{{\colorbox{yellow}{\(5\)}}} = 1\]

In diesem Kapitel haben wir gelernt, wie man den Kehrwert von Brüchen und ganzen Zahlen bildet. Außerdem wissen wir nun, dass die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert 1 ergibt.

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche	\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch	Zähler < Nenner
> Stammbruch	Zähler = 1
> Zweigbruch	Zähler > 1
> Unechter Bruch	Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch	Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch	Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern	\[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl
Brüche kürzen	\[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl
Brüche gleichnamig machen
> Gleichnamige Brüche	\(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche	\(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert	\[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren	a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche subtrahieren	a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren	\[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren	\[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch	\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen
Gleichheit von Brüchen	\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen	\(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln
Brüche umwandeln	[6 Unterkapitel!]
Bruchterme
Bruchterme	[8 Unterkapitel!]