Kehrwert

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Kehrwert ist.

Definition 

Der Kehrwert einer von $0$ verschiedenen Zahl $x$ ist diejenige Zahl, die mit $x$ multipliziert die Zahl $1$ ergibt.

Kehrwert eines Bruchs 

Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Oft ist in diesem Fall auch von dem Kehrbruch die Rede.

Beispiel 1 

$$ \text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$3$}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{$3$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}}. $$

Umgekehrt gilt natürlich:

Beispiel 2 

$$ \text{Der Kehrwert von } \frac{3}{2} \text{ ist } \frac{2}{3}. $$

Bislang haben wir uns nur mit dem Kehrwert von Brüchen beschäftigt. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob auch ganze Zahlen einen Kehrwert besitzen. Die Antwort ist: Ja.

Kehrwert ganzer Zahlen 

Ganze Zahlen lassen sich nämlich auch als Brüche schreiben,

Beispiel 3 

$$ 5 \text{ ist dasselbe wie } \frac{5}{1} $$

da die Division durch $1$ am Ergebnis nichts ändert. Deshalb gilt:

Beispiel 4 

$$ \text{Der Kehrwert von } \frac{{\colorbox{yellow}{$5$}}}{{\colorbox{orange}{$1$}}} \text{ ist } \frac{{\colorbox{orange}{$1$}}}{{\colorbox{yellow}{$5$}}}. $$

Beispiel 5 

$$ \text{Der Kehrwert von } 2 \text{ ist } \frac{1}{2}. $$

Beispiel 6 

$$ \text{Der Kehrwert von } 3 \text{ ist } \frac{1}{3}. $$

Beispiel 7 

$$ \text{Der Kehrwert von } 4 \text{ ist } \frac{1}{4}. $$

Wir können festhalten:

Der Kehrwert einer ganzen Zahl $x$ ist $\frac{1}{x}$.

Laut den Potenzgesetzen gilt $\frac{1}{x} = x^{-1}$, weshalb man den Kehrwert einer Zahl $x$ sowohl $\frac{1}{x}$ als auch $x^{-1}$ schreiben kann.

Eigenschaft eines Kehrwerts 

Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert kommt $1$ raus.

Beispiel 8 

$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$3$}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{$3$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} = 1 $$

Beispiel 9 

$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$1$}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{$1$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} = 1 $$

Beispiel 10 

$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$5$}}}{{\colorbox{orange}{$4$}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{$4$}}}{{\colorbox{yellow}{$5$}}} = 1 $$

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern