Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche addieren

Der Nenner verändert sich bei der Addition nicht. Er wird einfach beibehalten.

Beispiele

\[\frac{1}{{\color{green}4}} + \frac{2}{{\color{green}4}} = \frac{1+2}{{\color{green}4}} = \frac{3}{{\color{green}4}}\]

\[\frac{3}{{\color{green}7}} + \frac{6}{{\color{green}7}} = \frac{3+6}{{\color{green}7}} = \frac{9}{{\color{green}7}}\]

\[\frac{2}{{\color{green}5}} + \frac{3}{{\color{green}5}} = \frac{2+3}{{\color{green}5}} = \frac{5}{{\color{green}5}}\]

Nach dem Addieren lässt sich der Bruch oftmals noch vereinfachen (> Brüche kürzen).

b) Ungleichnamige Brüche addieren

Notwendiges Vorwissen: Brüche gleichnamig machen

zu 1.1)

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen, zerlegen wir die Nenner mittels Primfaktorzerlegung in Primfaktoren. Anschließend markieren wir die unterschiedlichen Primfaktoren bei dem Nenner, bei dem sie am meisten vorkommen. Der Hauptnenner ist dann das Produkt der markierten Primfaktoren.

zu 1.2)

Im nächsten Schritt dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungszahlen zu berechnen. Diese veraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen (Schritt 1.3).

Beispiel 1

Berechne \(\frac{2}{{\color{blue}3}}+\frac{1}{{\color{blue}5}}\).

1.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(5\)}} = {\color{green}15}\)

1.2) Erweiterungszahlen berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}15}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15}:{\color{blue}3} = {\color{red}5}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5}} = \frac{}{{\color{green}15}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15}:{\color{blue}5} = {\color{red}3}\]

1.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{2}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} =\frac{10}{{\color{green}15}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5}} = \frac{1}{{\color{blue}5}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{3}{{\color{green}15}}\]

2.) Brüche addieren

\[\frac{10}{{\color{green}15}} + \frac{3}{{\color{green}15}} = \frac{10 + 3}{{\color{green}15}} = \frac{13}{{\color{green}15}}\]

Beispiel 2

Berechne \(\frac{1}{{\color{blue}4}}+\frac{2}{{\color{blue}3}}\).

1.1) Hauptnenner bestimmen

\(\text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)

\(\text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)

\(\text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} = {\color{green}12}\)

1.2) Erweiterungszahlen berechnen

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}4} = {\color{red}3}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}3} = {\color{red}4}\]

1.3) Brüche auf Hauptnenner erweitern

\[\text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}4}} = \frac{1}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} =\frac{3}{{\color{green}12}}\]

\[\text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{2}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{8}{{\color{green}12}}\]

2.) Brüche addieren

\[\frac{3}{{\color{green}12}} + \frac{8}{{\color{green}12}} = \frac{3 + 8}{{\color{green}12}} = \frac{11}{{\color{green}12}}\]

Wie man Brüche addiert, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme addieren. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche	\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch	Zähler < Nenner
> Stammbruch	Zähler = 1
> Zweigbruch	Zähler > 1
> Unechter Bruch	Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch	Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch	Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern	\[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl
Brüche kürzen	\[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl
Brüche gleichnamig machen
> Gleichnamige Brüche	\(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche	\(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert	\[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren	a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche subtrahieren	a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren	\[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren	\[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch	\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen
Gleichheit von Brüchen	\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen	\(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln
Brüche umwandeln	[6 Unterkapitel!]
Bruchterme
Bruchterme	[8 Unterkapitel!]