Brüche vergleichen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Brüche vergleichen kann.
Problemstellung
Gegeben sind zwei Brüche \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\).
Die Frage ist, ob \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) gilt.
Bei zähler- und nennergleichen Brüchen lässt sich diese Frage ohne Rechnung beantworten.
a) Zählergleiche Brüche
Bei zählergleichen Brüchen
ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.
Beispiel 1
\(\frac{{\color{green}5}}{6} > \frac{{\color{green}5}}{7}\)
Der größere Bruch ist der mit dem kleineren Nenner.
Beispiel 2
\(\frac{{\color{green}3}}{4} = \frac{{\color{green}3}}{4}\)
Die Brüche sind gleich.
Beispiel 3
\(\frac{{\color{green}7}}{9} < \frac{{\color{green}7}}{8}\)
Der größere Bruch ist der mit dem kleineren Nenner.
b) Nennergleiche Brüche
Bei nennergleichen Brüchen
ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.
Beispiel 1
\(\frac{2}{{\color{green}3}} > \frac{1}{{\color{green}3}}\)
Der größere Bruch ist der mit dem größeren Zähler.
Beispiel 2
\(\frac{5}{{\color{green}6}} = \frac{5}{{\color{green}6}}\)
Die Brüche sind gleich.
Beispiel 3
\(\frac{1}{{\color{green}4}} < \frac{3}{{\color{green}4}}\)
Der größere Bruch ist der mit dem größeren Zähler.
c) Brüche mit ungleichen Zählern & Nennern
Bei Brüchen, deren Zähler und Nenner sich voneinander unterscheiden, lässt sich nicht auf den ersten Blick erkennen, wie die Brüche zueinander stehen. Wir müssen dann ein wenig rechnen.
Multiplikation über Kreuz
\[(1) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} > \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} > {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]
\[(2) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]
\[(3) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} < \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} < {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]
Beispiel 1
Vergleiche die Brüche \(\frac{{\color{green}7}}{{\color{red}9}}\) und \(\frac{{\color{red}3}}{{\color{green}4}}\).
\[{\color{green}7} \cdot {\color{green}4} > {\color{red}9} \cdot {\color{red}3} \quad \Rightarrow \quad 28 > 27 \quad \Rightarrow \quad \frac{7}{9} > \frac{3}{4}\]
Beispiel 2
Vergleiche die Brüche \(\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{green}10}}\).
\[{\color{green}2} \cdot {\color{green}10} = {\color{red}5} \cdot {\color{red}4} \quad \Rightarrow \quad 20 = 20 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\]
Beispiel 3
Vergleiche die Brüche \(\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}3}}\) und \(\frac{{\color{red}5}}{{\color{green}7}}\).
\[{\color{green}2} \cdot {\color{green}7} < {\color{red}3} \cdot {\color{red}5} \quad \Rightarrow \quad 14 < 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3} < \frac{5}{7}\]
Neben der Multiplikation über Kreuz gibt es weitere Methoden, um Brüche zu vergleichen:
- Brüche gleichnamig machen und anschließend die Zähler vergleichen
- Dezimalbrüche berechnen und diese vergleichen
Außerdem kann man manchmal ohne Rechnung feststellen, wie die Brüche zueinander stehen:
Wenn bei einem der Brüche der Zähler größer ist als der Nenner (der Bruch also größer als eins ist) und beim anderen der Zähler kleiner als der Nenner ist (der Bruch also kleiner als eins ist), kann man auch ohne zu rechnen sehen, welcher Bruch größer ist.
Beispiel
\[\frac{121}{120} > \frac{77}{78}\]
Oftmals ist es auch sinnvoll, sich Zähler und Nenner unter dem Aspekt anzuschauen,
ob der Zähler mehr oder weniger als der Hälfte des Nenners entspricht.
Beispiel
\[\frac{400}{777} > \frac{107}{232}\]400 ist mehr als die Hälfte von 777 und 107 ist weniger als die Hälfte von 232
In der Regel verwendet man die Multiplikation über Kreuz, um Brüche zu vergleichen. Unabhängig davon, welches Verfahren du verwendest, lohnt es sich meistens, die Brüche zunächst zu kürzen (> Brüche kürzen), um die nachfolgenden Rechnungen zu vereinfachen.
Sonderfall: Wenn die beiden vollständig gekürzten Brüche einander entsprechen, kann man sich weitere Berechnungen sparen. Die Brüche sind dann gleich (> Gleichheit von Brüchen).
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
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