Gleichheit von Brüchen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Gleichheit von Brüchen versteht.

Problemstellung

Gegeben sind zwei Brüche \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\).

Die Frage ist, ob die Brüche gleich \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder ungleich \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) sind.

Bei zähler- und nennergleichen Brüchen lässt sich diese Frage ohne Rechnung beantworten.

a) Zählergleiche Brüche

Zwei zählergleiche Brüche sind genau dann gleich,
wenn auch ihre Nenner gleich sind.

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}6}}\) gleich sind.
Da die Zähler gleich, die Nenner jedoch ungleich sind, gilt: \(\frac{3}{5} \neq \frac{3}{6}\).

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}\) und \(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}\) gleich sind.
Da sowohl die Zähler als auch die Nenner gleich sind, gilt: \(\frac{4}{9} = \frac{4}{9}\).

b) Nennergleiche Brüche

Zwei nennergleiche Brüche sind genau dann gleich,
wenn auch ihre Zähler gleich sind.

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{green}7}}\) und \(\frac{{\color{red}5}}{{\color{green}7}}\) gleich sind.
Da die Nenner gleich, die Zähler jedoch ungleich sind, gilt: \(\frac{4}{7} \neq \frac{5}{7}\).

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}\) und \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}\) gleich sind.
Da sowohl die Nenner als auch die Zähler gleich sind, gilt: \(\frac{3}{8} = \frac{3}{8}\).

c) Brüche mit ungleichen Zählern & Nennern

Bei Brüchen, deren Zähler und Nenner sich voneinander unterscheiden, lässt sich nicht auf den ersten Blick erkennen, ob die Brüche gleich sind. Wir müssen dann ein wenig rechnen.

Multiplikation über Kreuz

\[(1) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]

\[(2) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} \neq \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} \neq {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}4}}\) und \(\frac{{\color{red}6}}{{\color{green}8}}\) gleich sind.

\[{\color{green}3} \cdot {\color{green}8} = {\color{red}4} \cdot {\color{red}6} \quad \Rightarrow \quad 24 = 24 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} = \frac{6}{8}\]

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{red}3}}{{\color{green}10}}\) gleich sind.

\[{\color{green}2} \cdot {\color{green}10} \neq {\color{red}5} \cdot {\color{red}3} \quad \Rightarrow \quad 20 \neq 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}\]

Beispiel 3

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}14}}{{\color{red}18}}\) und \(\frac{{\color{red}35}}{{\color{green}45}}\) gleich sind.

\[{\color{green}14} \cdot {\color{green}45} = {\color{red}18} \cdot {\color{red}35} \quad \Rightarrow \quad 630 = 630 \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45}\]

Wenn größere Zahlen vorkommen (Beispiel 3), kann eine Berechnung ohne Taschenrechner ziemlich mühsam sein. Einfacher ist es in vielen Fällen, wenn man statt der Multiplikation über Kreuz die Brüche vollständig kürzt (> Brüche kürzen) und anschließend miteinander vergleicht.

Beispiel 3 (Fortsetzung)

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{14}{18}\) und \(\frac{35}{45}\) gleich sind.

\[\frac{14}{18} = \frac{\cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9}\]

\[\frac{35}{45} = \frac{\cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9}\]

\[\frac{7}{9} = \frac{7}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45}\]

Eine weitere Möglichkeit, um auf Gleichheit von Brüchen zu prüfen, ist es, die Brüche zunächst gleichnamig zu machen (> Brüche gleichnamig machen), d. h. die Brüche auf denselben Nenner zu bringen, und anschließend ihre Zähler miteinander zu vergleichen. Im Normalfall geht aber die Multiplikation über Kreuz oder das Kürzen der Brüche deutlich schneller.

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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