Gleichheit von Brüchen

a) Zählergleiche Brüche

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}6}}\) gleich sind.
Da die Zähler gleich, die Nenner jedoch ungleich sind, gilt: \(\frac{3}{5} \neq \frac{3}{6}\).

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}\) und \(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}\) gleich sind.
Da sowohl die Zähler als auch die Nenner gleich sind, gilt: \(\frac{4}{9} = \frac{4}{9}\).

b) Nennergleiche Brüche

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{green}7}}\) und \(\frac{{\color{red}5}}{{\color{green}7}}\) gleich sind.
Da die Nenner gleich, die Zähler jedoch ungleich sind, gilt: \(\frac{4}{7} \neq \frac{5}{7}\).

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}\) und \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}\) gleich sind.
Da sowohl die Nenner als auch die Zähler gleich sind, gilt: \(\frac{3}{8} = \frac{3}{8}\).

c) Brüche mit ungleichen Zählern & Nennern

Bei Brüchen, deren Zähler und Nenner sich voneinander unterscheiden, lässt sich nicht auf den ersten Blick erkennen, ob die Brüche gleich sind. Wir müssen dann ein wenig rechnen.

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}4}}\) und \(\frac{{\color{red}6}}{{\color{green}8}}\) gleich sind.

\[{\color{green}3} \cdot {\color{green}8} = {\color{red}4} \cdot {\color{red}6} \quad \Rightarrow \quad 24 = 24 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} = \frac{6}{8}\]

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{red}3}}{{\color{green}10}}\) gleich sind.

\[{\color{green}2} \cdot {\color{green}10} \neq {\color{red}5} \cdot {\color{red}3} \quad \Rightarrow \quad 20 \neq 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}\]

Beispiel 3

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}14}}{{\color{red}18}}\) und \(\frac{{\color{red}35}}{{\color{green}45}}\) gleich sind.

\[{\color{green}14} \cdot {\color{green}45} = {\color{red}18} \cdot {\color{red}35} \quad \Rightarrow \quad 630 = 630 \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45}\]

Wenn größere Zahlen vorkommen (Beispiel 3), kann eine Berechnung ohne Taschenrechner ziemlich mühsam sein. Einfacher ist es in vielen Fällen, wenn man statt der Multiplikation über Kreuz die Brüche vollständig kürzt (> Brüche kürzen) und anschließend miteinander vergleicht.

Beispiel 3 (Fortsetzung)

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{14}{18}\) und \(\frac{35}{45}\) gleich sind.

\[\frac{14}{18} = \frac{\cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9}\]

\[\frac{35}{45} = \frac{\cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9}\]

\[\frac{7}{9} = \frac{7}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45}\]

Eine weitere Möglichkeit, um auf Gleichheit von Brüchen zu prüfen, ist es, die Brüche zunächst gleichnamig zu machen (> Brüche gleichnamig machen), d. h. die Brüche auf denselben Nenner zu bringen, und anschließend ihre Zähler miteinander zu vergleichen. Im Normalfall geht aber die Multiplikation über Kreuz oder das Kürzen der Brüche deutlich schneller.