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Brüche erweitern

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Erweitern von Brüchen.

Eine Torte wird in vier gleich große Teile geteilt. Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Viertel (\(\frac{1}{4}\)) der Torte.

Wenn die einzelnen Stücke der Torte noch einmal geteilt werden, hat jedes Stück nun eine Größe von einem Achtel (\(\frac{1}{8}\)) der Torte.

Wenn wir 2 Stück Torte essen (= \(\frac{2}{8}\)),
ist ein Viertel (= \(\frac{1}{4}\)) der Torte weg.

Offenbar gilt: \[\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\]

Das Umformen von \(\frac{1}{4}\) zu \(\frac{2}{8}\) bezeichnet man als „Erweitern“.
Erweitern heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu verfeinern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 4 großen auf 8 kleine Stücke verfeinert.

Problemstellung

Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der „Wert“ des Bruchs genannt wird.

Beispiel

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.

Beispiel

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0,25\)

...

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert:

\[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot {\color{red}c}}{b \cdot {\color{red}c}} \quad \text{mit } c \neq 0\]

Warum gilt das? Antwort: Wegen \(\frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} = 1\).
Letztlich wird also mit "1" multipliziert, was den Wert einer Zahl bekanntlich nicht verändert.

Brüche erweitern - Beispiel

Erweitere \(\frac{2}{3}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren

\(\frac{2 \cdot {\color{red}3}}{3 \cdot {\color{red}3}} = \frac{6}{9}\)

Begriff: Erweiterungszahl

Die Zahl, mit der man Zähler und Nenner beim Erweitern multipliziert,
heißt Erweiterungszahl.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Erweiterungszahl.

Brüche erweitern - Anwendungen

Im Wesentlichen gibt es zwei Aufgabentypen, bei denen man Brüche erweitern muss:

  1. Brüche addieren und Brüche subtrahieren
    \(\Rightarrow\) Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist nur möglich, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Brüche zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann addiert oder subtrahiert werden.
  2. Brüche vergleichen
    \(\Rightarrow\) Das Vergleichen von Brüchen ist nur möglich, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Brüche zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann verglichen werden.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche gleichnamig machen.

Wie man Brüche erweitert, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme erweitern. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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