Brüche erweitern
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Erweitern von Brüchen.
Eine Torte wird in vier gleich große Teile geteilt. Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Viertel (\(\frac{1}{4}\)) der Torte.
Wenn die einzelnen Stücke der Torte noch einmal geteilt werden, hat jedes Stück nun eine Größe von einem Achtel (\(\frac{1}{8}\)) der Torte.
Wenn wir 2 Stück Torte essen (= \(\frac{2}{8}\)),
ist ein Viertel (= \(\frac{1}{4}\)) der Torte weg.
Offenbar gilt: \[\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\]
Das Umformen von \(\frac{1}{4}\) zu \(\frac{2}{8}\) bezeichnet man als „Erweitern“.
Erweitern heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu verfeinern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 4 großen auf 8 kleine Stücke verfeinert.
Problemstellung
Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der „Wert“ des Bruchs genannt wird.
Beispiel
\(\frac{1}{4} = 0,25\)
Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.
Beispiel
\(\frac{1}{4} = 0,25\)
\(\frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0,25\)
\(\frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0,25\)
\(\frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0,25\)
...
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert:
\[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot {\color{red}c}}{b \cdot {\color{red}c}} \quad \text{mit } c \neq 0\]
Warum gilt das? Antwort: Wegen \(\frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} = 1\).
Letztlich wird also mit "1" multipliziert, was den Wert einer Zahl bekanntlich nicht verändert.
Brüche erweitern - Beispiel
Erweitere \(\frac{2}{3}\) mit 3.
Lösung
Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren
\(\frac{2 \cdot {\color{red}3}}{3 \cdot {\color{red}3}} = \frac{6}{9}\)
Begriff: Erweiterungszahl
Die Zahl, mit der man Zähler und Nenner beim Erweitern multipliziert,
heißt Erweiterungszahl.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Erweiterungszahl.
Brüche erweitern - Anwendungen
Im Wesentlichen gibt es zwei Aufgabentypen, bei denen man Brüche erweitern muss:
- Brüche addieren und Brüche subtrahieren
\(\Rightarrow\) Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist nur möglich, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Brüche zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann addiert oder subtrahiert werden. - Brüche vergleichen
\(\Rightarrow\) Das Vergleichen von Brüchen ist nur möglich, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Brüche zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann verglichen werden.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche gleichnamig machen.
Wie man Brüche erweitert, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme erweitern. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider