Brüche erweitern
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Erweitern von Brüchen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Bruch?
Einordnung
Eine Torte wird in vier gleich große Teile geteilt.
Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Viertel ($\frac{1}{4}$) der Torte.
Wenn die einzelnen Stücke der Torte noch einmal geteilt werden, hat jedes Stück nun eine Größe von einem Achtel ($\frac{1}{8}$) der Torte.
Wenn wir 2 Stück Torte essen (= $\frac{2}{8}$), ist ein Viertel (= $\frac{1}{4}$) der Torte weg.
Offenbar gilt:
$$ \frac{1}{4} = \frac{2}{8} $$
Das Umformen von $\frac{1}{4}$ zu $\frac{2}{8}$ bezeichnet man als Erweitern
.
Erweitern heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu verfeinern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 4 großen auf 8 kleine Stücke verfeinert.
Satz
Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der Wert
des Bruchs genannt wird.
Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.
$$ \frac{1}{4} = 0{,}25 $$
$$ \frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0{,}25 $$
$$ \frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0{,}25 $$
$$ \frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0{,}25 $$
…
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot {\color{red}c}}{b \cdot {\color{red}c}} \quad \text{mit } c \neq 0 $$
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert.
Der obige Satz gilt wegen $\frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} = 1$.
Letztlich wird hier also mit $1$ multipliziert, was den Wert einer Zahl bekanntlich nicht verändert.
Die Zahl, mit der man Zähler und Nenner beim Erweitern multipliziert, heißt Erweiterungszahl.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Erweiterungszahl.
Beispiel
Erweitere $\frac{2}{3}$ mit $3$.
Zähler und Nenner mit $3$ multiplizieren
$$ \frac{2 \cdot {\color{red}3}}{3 \cdot {\color{red}3}} = \frac{6}{9} $$
Anwendungen
Im Wesentlichen gibt es zwei Aufgabentypen, bei denen man Brüche erweitern muss:
- Brüche addieren / Brüche subtrahieren
$\Rightarrow$Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist nur möglich, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Brüche zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann addiert oder subtrahiert werden. - Brüche vergleichen
$\Rightarrow$Das Vergleichen von Brüchen ist nur möglich, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Brüche zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann verglichen werden.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche gleichnamig machen.
Bruchterme erweitern
Wie man Brüche erweitert, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme erweitern. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau die gleiche ist.
