Kürzungszahl

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Kürzungszahl ist.

Notwendiges Vorwissen: Brüche kürzen

Die Zahl, durch die man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert,
heißt Kürzungszahl.

Im Zusammenhang mit der Kürzungszahl gibt es folgende vier Aufgabentypen:

a) Bruch kürzen mit gegebener Kürzungszahl

Kürze \(\frac{6}{9}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner durch gegebene Kürzungszahl dividieren

\[\frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3}\]

b) Kürzungszahl berechnen

Der Bruch \(\frac{2}{8}\) wurde auf den Bruch \(\frac{1}{4}\) gekürzt.
Mit welcher Kürzungszahl wurde der Bruch gekürzt?

Lösung

Vorgehensweise 1: Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren

\(2:1 = {\color{red}2}\)

Vorgehensweise 2: Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren

\(8:4 = {\color{red}2}\)

c) Zähler des gekürzten Bruchs bestimmen

\[\frac{15}{27} = \frac{?}{9}\]

Lösung

1.) Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren (= Kürzungszahl)

\(27:9 = {\color{red}3}\)

2.) Gegebenen Zähler durch Kürzungszahl dividieren (= gesuchter Zähler)

\(15 : {\color{red}3} = 5\)

\(\Rightarrow \frac{15}{27} = \frac{5}{9}\)

d) Nenner des gekürzten Bruchs bestimmen

\[\frac{14}{18} = \frac{7}{?}\]

Lösung

1.) Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren (= Kürzungszahl)

\(14:7 = {\color{red}2}\)

2.) Gegebenen Nenner durch Kürzungszahl dividieren (= gesuchter Nenner)

\(18 : {\color{red}2} = 9\)

\(\Rightarrow \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\)

Im Zusammenhang mit Bruchtermen (Brüche, die Variablen enthalten) spricht man statt von einer Kürzungszahl von einem Kürzungsfaktor. Die Berechnungen sind aber identisch.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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