Kürzungszahl
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Kürzungszahl ist.
Notwendiges Vorwissen: Brüche kürzen
Die Zahl, durch die man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert,
heißt Kürzungszahl.
Im Zusammenhang mit der Kürzungszahl gibt es folgende vier Aufgabentypen:
a) Bruch kürzen mit gegebener Kürzungszahl
Kürze \(\frac{6}{9}\) mit 3.
Lösung
Zähler und Nenner durch gegebene Kürzungszahl dividieren
\[\frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3}\]
b) Kürzungszahl berechnen
Der Bruch \(\frac{2}{8}\) wurde auf den Bruch \(\frac{1}{4}\) gekürzt.
Mit welcher Kürzungszahl wurde der Bruch gekürzt?
Lösung
Vorgehensweise 1: Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren
\(2:1 = {\color{red}2}\)
Vorgehensweise 2: Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren
\(8:4 = {\color{red}2}\)
c) Zähler des gekürzten Bruchs bestimmen
\[\frac{15}{27} = \frac{?}{9}\]
Lösung
1.) Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren (= Kürzungszahl)
\(27:9 = {\color{red}3}\)
2.) Gegebenen Zähler durch Kürzungszahl dividieren (= gesuchter Zähler)
\(15 : {\color{red}3} = 5\)
\(\Rightarrow \frac{15}{27} = \frac{5}{9}\)
d) Nenner des gekürzten Bruchs bestimmen
\[\frac{14}{18} = \frac{7}{?}\]
Lösung
1.) Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren (= Kürzungszahl)
\(14:7 = {\color{red}2}\)
2.) Gegebenen Nenner durch Kürzungszahl dividieren (= gesuchter Nenner)
\(18 : {\color{red}2} = 9\)
\(\Rightarrow \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\)
Im Zusammenhang mit Bruchtermen (Brüche, die Variablen enthalten) spricht man statt von einer Kürzungszahl von einem Kürzungsfaktor. Die Berechnungen sind aber identisch.
Bruchrechnung von A bis Z
In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:
| Brüche | \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] |
| > Echter Bruch | Zähler < Nenner |
| > Stammbruch | Zähler = 1 |
| > Zweigbruch | Zähler > 1 |
| > Unechter Bruch | Zähler \(\geq\) Nenner |
| > Scheinbruch | Zähler ist Vielfaches von Nenner |
| > Dezimalbruch | Nenner = \(10^n\) |
| Brüche erweitern | \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\] |
| > Erweiterungszahl | |
| Brüche kürzen | \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\] |
| > Kürzungszahl | |
| Brüche gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Brüche | \(=\) gleicher Nenner |
| > Ungleichnamige Brüche | \(=\) unterschiedlicher Nenner |
| Kehrwert | \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\] |
| Brüche addieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche subtrahieren |
a) Gleichnamige Brüche \[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\] b) Ungleichnamige Brüche \(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen |
| Brüche multiplizieren | \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\] |
| Brüche dividieren | \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\] |
| Doppelbruch | \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\] |
| Brüche vergleichen | |
| Gleichheit von Brüchen | \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) |
| Brüche vergleichen | \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) |
| Brüche umwandeln | |
| Brüche umwandeln | [6 Unterkapitel!] |
| Bruchterme | |
| Bruchterme | [8 Unterkapitel!] |
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Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider