Bruchterme kürzen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Bruchtermen.

Notwendiges Vorwissen: Brüche kürzen

Einen Bruchterm zu kürzen, bedeutet, den Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren.

Beispiel

Kürze \(\frac{6ab}{9ac}\) mit \(a\).

\[\frac{6ab: {\color{red}a}}{9ac : {\color{red}a}} = \frac{6b}{9c}\]

Begriff: Kürzungsfaktor

Der Faktor, durch den man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert,
heißt Kürzungsfaktor.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Kürzungsfaktor.

Bruchterme vollständig kürzen

Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, bei der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt. Man sagt dann, der Bruch ist vollständig gekürzt. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) von Zähler und Nenner gibt.

Beispiel

Wir kürzen den Bruch \(\frac{6ab}{9ac}\) auf \(\frac{6b}{9c}\) (\(\rightarrow\) Kürzungsfaktor = \(a\)).
Der Bruch \(\frac{6b}{9c}\) ist nicht vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner noch durch \(3\) dividiert werden können.

Wir kürzen den Bruch \(\frac{6ab}{9ac}\) auf \(\frac{2b}{3c}\) (\(\rightarrow\) Kürzungsfaktor = \(3a\)).
Der Bruch \(\frac{2b}{3c}\) ist vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner (außer 1) keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, musst du den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen. Der Kürzungsfaktor ist also der ggT des Nenners und des Zählers.

Vorgehensweise

  1. Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen
  2. Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, streichen

zu 1.)

Zunächst zerlegen wir den Zähler und Nenner des Bruchs in Faktoren. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als „Faktorisieren“. Beim Faktorisieren werden natürliche Zahlen mittels Primfaktorzerlegung in Faktoren zerlegt. Summen und Differenzen lassen sich meist durch Ausklammern oder das Anwenden der binomischen Formeln in Faktoren umwandeln.

zu 2.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1 (Primfaktorzerlegung)

\[\frac{2ab}{4ac} = \frac{2 \cdot a \cdot b}{2 \cdot 2 \cdot a \cdot c} = \frac{\bcancel{2} \cdot \bcancel{a} \cdot b}{\bcancel{2} \cdot 2 \cdot \bcancel{a} \cdot c} = \frac{b}{2c}\]

Beispiel 2 (Ausklammern)

\[\frac{3}{3a+3b} =\frac{3}{3 \cdot (a+b)} =\frac{\bcancel{3}}{\bcancel{3} \cdot (a+b)} = \frac{1}{a+b}\]

Beispiel 3 (Binomische Formeln)

\[\frac{a+4}{a^2+8a+16} = \frac{a+4}{(a+4) \cdot (a+4)} = \frac{\bcancel{a+4}}{\bcancel{(a+4)} \cdot (a+4)} = \frac{1}{a+4}\]

Anmerkung: Das Streichen (oder Kürzen) der gemeinsamen Faktoren entspricht der Division des Zählers und des Nenners durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT).

Bruchterme richtig kürzen

Nur Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen gekürzt werden.

Besonders wichtig ist die Beachtung des folgenden Merkspruchs:

Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!

Beispiele

Der Bruch \(\frac{x}{x+y}\) lässt sich nicht kürzen.

Der Bruch \(\frac{x}{x \cdot y}\) lässt sich kürzen: \(\frac{\cancel{x}}{\cancel{x} \cdot y} = \frac{1}{y}\)

Auch der Bruch \(\frac{x+1}{2(x+1)}\) lässt sich kürzen: \(\frac{\cancel{x+1}}{2\cancel{(x+1)}} = \frac{1}{2}\)

Beim letzten Beispiel denkst du dir bestimmt, wieso man \(x+1\) kürzen darf, obwohl doch im Zähler eine Summe steht. Durch einen kleinen Trick, der immer funktioniert, können wir die Summe in ein Produkt umwandeln. Wir multiplizieren in diesem Fall den Zähler mit 1: \(\frac{1 \cdot (x+1)}{2 \cdot (x+1)}\). Jetzt steht im Zähler keine Summe mehr, sondern ein Produkt. Kürzen ist also erlaubt!

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Bruchterme von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zu den Bruchtermen:

Bruchterme erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungsfaktor  
Bruchterme kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungsfaktor  
Bruchterme addieren

a) Gleichnamige Bruchterme

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Bruchterme

\(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen

Bruchterme subtrahieren

a) Gleichnamige Bruchterme

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Bruchterme

\(\Rightarrow\) Bruchterme gleichnamig machen

Bruchterme multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Bruchterme dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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