Wechselwinkel (Z-Winkel)

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wechselwinkel sind.

Kontext

So wie wir einzelne Winkel nach ihrer Größe in verschiedene Winkelarten eingeteilt haben, können wir Winkelpaare nach ihrer Lage an einer doppelten Geradenkreuzung einteilen.

Problemstellung

Gegeben ist eine doppelte Geradenkreuzung, die dadurch entsteht, dass entweder zwei parallele Geraden oder aber zwei nicht-parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden.

1. Fall
Die beiden parallelen Geraden \(g_1\) und \(g_2\) werden von einer Geraden \(h\) geschnitten.

2. Fall
Die beiden nicht-parallelen Geraden \(g_1\) und \(g_2\) werden von einer Geraden \(h\) geschnitten.

Wie wir bereits wissen, können wir die Winkelpaare an einer einfachen Geradenkreuzung in Nebenwinkel und Scheitelwinkel einteilen. An einer doppelten Geradenkreuzung treten drei weitere Arten von Winkelpaaren auf: Stufenwinkel, Wechselwinkel und Nachbarwinkel.

Wechselwinkel: Definition

Zwei Winkel, die
(1) auf unterschiedlichen Seiten der Schnittgeraden \(h\) und
(2) auf unterschiedlichen Seiten der geschnittenen Geraden \(g_1\) und \(g_2\)
liegen, heißen Wechselwinkel.

An einer doppelten Geradenkreuzung gibt es
vier Wechselwinkelpaare, nämlich:

\(\alpha_1\) und \(\gamma_2\)
\(\beta_1\) und \(\delta_2\)
\(\gamma_1\) und \(\alpha_2\)
\(\delta_1\) und \(\beta_2\)

Merkhilfe

Wer sich zum ersten Mal mit Wechselwinkeln und seinen Geschwistern, den Stufenwinkeln und Nachbarwinkeln, beschäftigt, steht schnell vor dem Problem, diese irgendwie auseinanderhalten zu müssen. Kluge Mathematiker haben dafür eine Lösung gefunden: Sie haben die Schenkel der Wechselwinkel farbig hervorgehoben und festgestellt, dass diese dem (eventuell gespiegelten) Buchstaben Z ähnlich sehen. Deshalb werden Wechselwinkel auch als Z-Winkel bezeichnet.

WARNUNG: Es braucht etwas Fantasie und Übung, um das Z zu sehen.

\(\alpha_1\) und \(\gamma_2\) \(\Rightarrow\) gespiegeltes Z

\(\beta_1\) und \(\delta_2\) \(\Rightarrow\) normales Z

\(\gamma_1\) und \(\alpha_2\) \(\Rightarrow\) normales Z

\(\delta_1\) und \(\beta_2\) \(\Rightarrow\) gespiegeltes Z

Eine weitere Möglichkeit, sich die zusammengehörenden Winkel zu merken, ist es, sich vorzustellen, dass die zweite Geradenkreuzung aus der ersten entstanden ist.

Gegeben ist eine einfache Geradenkreuzung, die aus den Geraden \(g_1\) und \(h\) gebildet wird.

1.) Wir legen auf \(g_1\) eine identische Gerade \(g_2\).

Beobachtung
Wenn sich beiden Geradenkreuzungen überdecken, sind die vier Wechselwinkelpaare \(\alpha_1\) und \(\gamma_2\), \(\beta_1\) und \(\delta_2\), \(\gamma_1\) und \(\alpha_2\), \(\delta_1\) und \(\beta_2\) nichts anderes als Scheitelwinkel.

Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt:
\(\alpha_1 = \gamma_2\), \(\beta_1 = \delta_2\), \(\gamma_1 = \alpha_2\) und \(\delta_1 = \beta_2\).

2.) Wir verschieben \(g_2\) parallel.

Beobachtung
Durch die Parallelverschiebung hat sich die Größe der Winkel nicht verändert. Es gilt noch:
\(\alpha_1 = \gamma_2\), \(\beta_1 = \delta_2\), \(\gamma_1 = \alpha_2\) und \(\delta_1 = \beta_2\).

3.) Wir drehen \(g_2\).

Beobachtung
Durch die Drehung der Geraden hat sich die Größe der Winkel verändert. Folglich gilt:
\(\alpha_1 \neq \gamma_2\), \(\beta_1 \neq \delta_2\), \(\gamma_1 \neq \alpha_2\) und \(\delta_1 \neq \beta_2\).

Im Umkehrschluss heißt das: Wechselwinkel sind solche, die zu Scheitelwinkeln werden,
wenn wir eine der Geraden so verschieben (und ggf. drehen), dass sie die andere überdeckt.

Darüber hinaus folgt aus unseren obigen Beobachtungen der

Wechselwinkelsatz

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Wenn \(g_1\) und \(g_2\) parallel sind, so gilt:

\(\alpha_1 = \gamma_2\)
\(\beta_1 = \delta_2\)
\(\gamma_1 = \alpha_2\)
\(\delta_1 = \beta_2\)

Die Umkehrung des Satzes gilt auch:
Wenn die Wechselwinkel gleich groß sind, so liegen sie an parallelen Geraden.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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