Nachbarwinkel

So wie wir einzelne Winkel nach ihrer Größe in verschiedene Winkelarten eingeteilt haben, können wir Winkelpaare nach ihrer Lage an einer doppelten Geradenkreuzung einteilen. Eines dieser Winkelpaare heißt Nachbarwinkel.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Problemstellung

Gegeben ist eine doppelte Geradenkreuzung, die dadurch entsteht, dass entweder zwei parallele Geraden oder aber zwei nicht-parallele Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden.

1. Fall
Die beiden parallelen Geraden $g_1$ und $g_2$ werden von einer Gerade $h$ geschnitten.

Abb. 1 / Doppelte Geradenkreuzung 1

2. Fall
Die beiden nicht-parallelen Geraden $g_1$ und $g_2$ werden von einer Gerade $h$ geschnitten.

Abb. 2 / Doppelte Geradenkreuzung 2

Wie wir bereits wissen, können wir die Winkelpaare an einer einfachen Geradenkreuzung in Nebenwinkel und Scheitelwinkel einteilen. An einer doppelten Geradenkreuzung treten drei weitere Arten von Winkelpaaren auf: Stufenwinkel, Wechselwinkel und Nachbarwinkel.

Definition

Zwei Winkel, die
(1) auf derselben Seite der Schnittgerade $h$ und
(2) auf unterschiedlichen Seiten der geschnittenen Geraden $g_1$ und $g_2$
liegen, heißen Nachbarwinkel.

An einer doppelten Geradenkreuzung gibt es vier Nachbarwinkelpaare, nämlich:

$\alpha_1$ und $\delta_2$
$\beta_1$ und $\gamma_2$
$\gamma_1$ und $\beta_2$
$\delta_1$ und $\alpha_2$

Abb. 3 / Nachbarwinkelpaare

Merkhilfe

Wer sich zum ersten Mal mit Nachbarwinkeln und seinen Geschwistern, den Stufenwinkeln und Wechselwinkeln, beschäftigt, steht schnell vor dem Problem, diese irgendwie auseinanderhalten zu müssen. Kluge Mathematiker haben dafür eine Lösung gefunden: Sie haben die Schenkel der Nachbarwinkel farbig hervorgehoben und festgestellt, dass diese dem (eventuell gespiegelten) Buchstaben E ähnlich sehen. Deshalb werden Nachbarwinkel auch als E-Winkel bezeichnet.

WARNUNG: Es braucht etwas Fantasie und Übung, um das E zu sehen.

$\alpha_1$ und $\delta_2$ $\Rightarrow$ gespiegeltes E

Abb. 4 / E-Winkel 1

$\beta_1$ und $\gamma_2$ $\Rightarrow$ normales E

Abb. 5 / E-Winkel 2

$\gamma_1$ und $\beta_2$ $\Rightarrow$ normales E

Abb. 6 / E-Winkel 3

$\delta_1$ und $\alpha_2$ $\Rightarrow$ gespiegeltes E

Abb. 7 / E-Winkel 4

Eine weitere Möglichkeit, sich die zusammengehörenden Winkel zu merken, ist es, sich vorzustellen, dass die zweite Geradenkreuzung aus der ersten entstanden ist.

Gegeben ist eine einfache Geradenkreuzung, die aus den Geraden $g_1$ und $h$ gebildet wird.

Abb. 8 / Entstehung der zweiten Geradenkreuzung 1

1) Wir legen auf $g_1$ eine identische Gerade $g_2$ .

Beobachtung
Wenn sich beiden Geradenkreuzungen überdecken, sind die vier Nachbarwinkelpaare $\alpha_1$ und $\delta_2$ , $\beta_1$ und $\gamma_2$ , $\gamma_1$ und $\beta_2$ , $\delta_1$ und $\alpha_2$ nichts anderes als Nebenwinkel.

Da sich Nebenwinkel zu $180^\circ$ ergänzen, gilt: $\alpha_1 + \delta_2 = 180^\circ$ , $\beta_1 + \gamma_2 = 180^\circ$ $\gamma_1 + \beta_2 = 180^\circ$ und $\delta_1 + \alpha_2 = 180^\circ$ .

Abb. 9 / Entstehung der zweiten Geradenkreuzung 2

2) Wir verschieben $g_2$ parallel.

Beobachtung
Durch die Parallelverschiebung hat sich die Größe der Winkel nicht verändert. Es gilt noch: $\alpha_1 + \delta_2 = 180^\circ$ , $\beta_1 + \gamma_2 = 180^\circ$ , $\gamma_1 + \beta_2 = 180^\circ$ und $\delta_1 + \alpha_2 = 180^\circ$ .

Abb. 10 / Entstehung der zweiten Geradenkreuzung 3

3) Wir drehen $g_2$ .

Beobachtung
Durch die Drehung der Gerade hat sich die Größe der Winkel verändert. Folglich gilt: $\alpha_1 + \delta_2 \neq 180^\circ$ , $\beta_1 + \gamma_2 \neq 180^\circ$ , $\gamma_1 + \beta_2 \neq 180^\circ$ und $\delta_1 + \alpha_2 \neq 180^\circ$ .

Abb. 11 / Entstehung der zweiten Geradenkreuzung 4

Im Umkehrschluss heißt das: Nachbarwinkel sind solche, die zu Nebenwinkeln werden, wenn wir eine der Geraden so verschieben (und ggf. drehen), dass sie die andere überdeckt.

Darüber hinaus folgt aus unseren obigen Beobachtungen der

Nachbarwinkelsatz

Nachbarwinkel an Parallelen ergänzen sich zu $180^\circ$ .

Wenn $g_1$ und $g_2$ parallel sind, so gilt:

$\alpha_1 + \delta_2 = 180^\circ$
$\beta_1 + \gamma_2 = 180^\circ$
$\gamma_1 + \beta_2 = 180^\circ$
$\delta_1 + \alpha_2 = 180^\circ$

Abb. 12 / Nachbarwinkelsatz

Die Umkehrung des Satzes gilt auch:

Wenn sich die Nachbarwinkel zu $180^\circ$ ergänzen, so liegen sie an parallelen Geraden.

Anmerkungen

Der Fachbegriff für einen Winkel mit einer Größe von $180^\circ$ ist gestreckter Winkel.
$\Rightarrow$ Nachbarwinkel an Parallelen ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel.
Der Fachbegriff für Winkel, die sich zu $180^\circ$ ergänzen, ist Supplementwinkel.
$\Rightarrow$ Nachbarwinkel an Parallelen sind Supplementwinkel.