Raute

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Raute ist.

Eine Raute ist ein Viereck mit
- vier gleich langen Seiten

Manche Mathematiker bezeichnen eine Raute auch als „Rhombus“.


Beispiel einer Raute

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir mit dem Kleinbuchstaben \(a\).

Eigenschaften einer Raute

a) Allgemeine Eigenschaften

Ecken

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Seiten

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Winkel

In jedem Viereck
- gibt es vier Innenwinkel
- beträgt die Winkelsumme 360°
   \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)

Diagonale

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

b) Besondere Eigenschaften

Seiten

In einer Raute sind
- alle Seiten gleich lang
   \(a = b = c = d\)
- gegenüberliegende Seiten parallel
   \(a \parallel c\) und \(b \parallel d\)

Winkel

In einer Raute
- sind gegenüberliegende Winkel gleich groß
   \(\alpha = \gamma\) und \(\beta = \delta\)
- ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°
   \(\alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta = \delta + \alpha = 180^\circ\)

Diagonale

Die Diagonalen einer Raute
- halbieren einander
- stehen aufeinander senkrecht (\(e \bot f\))
- halbieren die Innenwinkel der Raute

Symmetrie

Eine Raute ist achsensymmetrisch zu
- den beiden Diagonalen

Eine Raute ist punktsymmetrisch zu
- dem Schnittpunkt der Diagonalen \(S\)

Höhe

Die Höhe einer Raute entspricht dem Abstand der parallelen Seiten.

In einer Raute sind alle Höhen gleich lang.
\(h_a = h_b = h_c = h_d\)

Inkreis

Eine Raute besitzt einen Inkreis.
(\(\Rightarrow\) Tangentenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt \(S\)

Radius: \(r_i = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha\)
Der Inkreisradius entspricht dem
Normalabstand des Mittelpunkts
zu einer Seite der Raute.

Raute berechnen

Umfang einer Raute

\(U = 4a\)

Flächeninhalt einer Raute

\(\begin{align*} A &= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt] &= \frac{1}{2} e f &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}\\[5pt] &= a^2 \sin \alpha &&{\color{gray}|\text{ 3. Formel}} \end{align*}\)

Diagonale

\(e = 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2}\)

\(f = 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2}\)

Seitenlänge

\(a = \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2}\)

Spezielle Rauten

Quadrat

= rechtwinklige Raute

Vierecke im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Vierecke und ihre Eigenschaften.

  Definierende Eigenschaften
Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- Gleichschenkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- gleich lange Schenkel
- Rechtwinkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht
Parallelogramm - zwei Paare paralleler Seiten
Raute - vier gleich lange Seiten
Rechteck - vier rechte Winkel
Quadrat - vier rechte Winkel
- vier gleich lange Seiten
Drachenviereck - eine Diagonale als Symmetrieachse
Sehnenviereck - alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis)
Tangentenviereck - alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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